山东青岛市城阳区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

**基本信息** 八年级数学期中试卷，以几何与代数知识为载体，通过中心对称图形辨析、“和谐分割线”概念探究、购物优惠方案选择等问题，考查抽象能力、推理能力与应用意识，体现知识综合与思维梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、三角形外心、旋转性质|结合英文大写字母（如X）考查中心对称（数学眼光）| |填空题|6/18|多边形内角和、不等式应用、旋转角度|以抢答赛得分（至少答对题数）考查不等式应用（应用意识）| |作图题|1/4|三角形高线与角平分线|尺规作图融合双重几何性质（几何直观）| |解答题|7/68|不等式组解法、旋转平移、新概念探究|引入“和谐分割线”概念（创新意识），“课本再现-拓展应用”体现推理能力|

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题。第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，90分。 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效。 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下四个英文大写正体字母中，是中心对称图形的字母为 A．V     B．W     C．X     D．Y 2．若，则下列不等式一定成立的是 A．    B．    C．    D． 3．如图，三个社区分别坐落在A，B，C所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在 A．三边的垂直平分线的交点处    B．的三条高线的交点处 C．的三角角平分线的交点处    D．的三条中线的交点处 4．如图，在中，，，点D在底边BC上，如果绕点B按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为 A．     B．     C．     D． 5．用反证法证明命题 “在△中，∠，∠，∠所对的边分别为，，，若，则∠。” 时，应假设 A．∠　　 B．∠　　 C．　　　　 D． 6．下列命题的逆命题是真命题的是 A．互为邻补角的两个角的和为　　 B．若，，则 C．全等三角形的对应角相等　　　 D．同位角相等，两直线平行 7．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为 A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则∠的度数为 A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 9．如图，在中，∠，，。现将沿方向平移得到，与相交于点，若点恰好在∠的平分线上，则的周长为 A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 10．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，要在格点上确定一点，使是以为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点的个数是 A．5个　　　 B．6个　　　 C．7个　　　 D．8个 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是            边形。 12. 某校举行 “学以致用，数你最行” 数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分。在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了            道题。 13. 如图所示的图案是由6个相同的六边形组成，它可以看成是由其中一个六边形通过连续5次旋转形成的，则每次旋转的度数是            °。 (第13题) (第14题) (第16题) 14. 如图，BD，CE是的高，且。若°，则的度数是            °。 15. 已知等腰三角形的底角为15°，腰长是4cm，则这个等腰三角形的面积是            cm²。 16. 如图，某公园内有一条 “L型” 景观水道，°，水道的宽度为2米，水道分为东西方向和南北方向两段。两个凉亭分别位于A，B两点，其中A位于南北方向水道的西侧，B位于东西方向水道的南侧，已知A，B两点在东西方向上的水平距离为17米，在南北方向上的竖直距离为10米。现要建造两座与水道垂直的景观桥和(桥长均为2米)，使得从A处到B处的游览路径()最短，则最短路径的长为            米。 三、作图题（本题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 17. 已知：如图，。 求作：点，使点在的边的高线上，且到，两边的距离相等。 四、解答题（本题共7小题，共68分） 18. （本题满分14分，第（1）（2）题每小题3分，第（3）（4）题每小题4分） （1） 解不等式：； （2） 解不等式：； （3） 解不等式组： （4） 求不等式组的整数解。 19. （本题满分6分） 已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围。 20．（本题满分8分） 已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点。 求证：（1）； 　　　（2）。 21．（本题满分8分） 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，点的坐标为，请按下列要求画图并填空。 （1）将线段绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的线段； （2）平移线段，使点与点重合，则点的对应点的坐标为            ； （3）在（2）的平移过程中，平移的距离为            个单位长度； （4）已知动点在轴上，当的周长最小时，点的坐标为            。 22． （本题满分10分） 【概念引入】 我们约定：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引出一条射线，将直角分成两个锐角，这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中除直角外的两个内角的度数，那么我们把这条射线叫做这个直角三角形的和谐分割线。 【初步理解】 在Rt中，AD是的和谐分割线，且与斜边交于点D，则的形状为         。(只填写序号) ①等腰三角形；②直角三角形；③等腰三角形或直角三角形； 【深入探究】 在Rt中，°，°，的和谐分割线AD交BC于点D，若，则AD的长度为            ； 【类比应用】 在钝角中，是唯一最小的内角，且°。D是BC边上的动点(不与B，C重合)，已知过顶点A的线段AD将分成两个三角形，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的度数。 23．（本题满分10分） 某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买11件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为40元。各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前10件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 （1）该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ （2）该公司准备购买30件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 24．（本题满分12分） 【课本再现】 如图1，在等边中，D是BC边上一点，过点C作BA的平行线l；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E。 （1）请在图1中画出； （2）此时旋转角的度数为            °； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是BC边外一点，点D与点A在BC两旁，且，连接AD，延长DC到E，使，连接AE，求证：； 【拓展应用】 (4)在(3)的条件下，若，，则AD的长度为            。 八年级数学试题 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题参考答案及评分标准 说明： 1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则． 2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分． 3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤． 4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D D C C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．四 12．18 13．60 14．23 15．4 16．21 3、 作图题（本题满分4分） 作图 ………………3分 结论 ………………4分 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18．（本题满分14分，第(1)(2)题每小题3分，第(3)(4)题每小题4分）（此题分步给分） （1）x＞－1； 3分 （2）； 3分 （3）解不等式①得，x≥0； 解不等式②得，x<2； 所以，不等式组的解集为0≤x<2； 4分 （4）解不等式①得，x≥－5； 解不等式②得，x≤－4； 所以，不等式组的解集为－5≤x≤－4； 所以，不等式组的整数解为－5，－4。 4分 19．（本题满分6分） 解：由得 2分 ∵方程的根是非负数 ∴≥0 4分 解得：m≤6。 6分 20．（本题满分8分）C A B D E F H G （第21题） 证明：（1）∵∠BAC=90° ∴∠ABE+∠AEB=90° ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∴∠DBF+∠DFB=90° ∵BE平分∠ABC ∴∠DBF=∠EBA ∴∠AEB=∠DFB 又∵∠DFB=∠AFE ∴∠AEB=∠AFE.....................................................5分 （2）由（1）知∠AEB=∠AFE ∴△AEF为等腰三角形 又∵AG平分∠CAD ∴AG⊥BE .....................................................8分 21．（本题满分8分） （1）图略；.....................................................2分 （2）（1，0）；.....................................................4分 （3）5；.....................................................6分 （4） （2，0）。.....................................................8分 22．（本题满分10分） （1）③；.....................................................2分 （2）2或；.....................................................4分 （3）110°，115°，125°。.....................................................10分 23．（本题满分10分） 解：（1）设该公司购买纪念品的件数是x件，选择甲商店时所需的费用为y1元，选择乙商店时，所需的费用为y2元，根据题意，得 y1=40×10+40×0.7×(x−10)=28x+120 y2=40×0.9×x=36x，.....................................................4分 由y1=y2得28x+120=36x解得x=15； 由y1>y2得28x+120>36x解得x<15； 由y1<y2得28x+120<36x解得x>15。 所以当x=15时，甲乙两商店一样合算，当11≤x<15时，选择乙商店更合算，当x>15时，选择甲商店更合算。.....................................................8分 （2）方法一：y1=28×30+120=840+120=960； y2=36×30=1080 显然 960<1080，所以到乙商店购买 30 件并不合算。................................................10分 方法二：∵30＞15 ∴选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算。................................................10分 24．（本题满分12分） （1）图略；.....................................................2分 （2）60；.....................................................4分 （3）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60° ∵∠BDC=120° ∴在四边形ABDC中， ∠ABD+∠ACD=360°－∠BDC－∠BAC =360°－120°－60° =180° 又∵∠ACE+∠ACD=180° ∴∠ABD=∠ACE ∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，CE=BD ∴△ABD≌△ACE.....................................................9分 （4）.....................................................12分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $