精品解析：2026年天津市部分区初中毕业年级第一次模拟考试 数学试题

2026年初中毕业年级 第一次模拟考试数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. -12 B. 12 C. D. 2 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计1的值在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 据《光明日报》报道，截止2026年1月底，我国农用无人机保有量超辆，从播种到管理，这些“飞在田间的农民”正用科技力量守护现代农业，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余 辆空车；若每 人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有 辆车，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 ，于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点 ，连接 并延长交 于点 ．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中， ，，将绕点 逆时针旋转得到，点 ， 的对应点分别为，，若点恰好落在 中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 12. 如图，在中，，，．动点 从点 出发，以的速度沿边向终点 匀速运动，运动到终点停止运动，当点 出发后，以 为边做正方形，使点 ， 始终在边同侧，设点 运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于 的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点 重合时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 一个不透明的袋子里装有个球，其中有 个红球，个蓝球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则它是绿球的概率为______． 14. 计算的结果等于__________． 15. 计算的结果等于__________． 16. 已知一次函数向上平移3个单位后过原点，则b的值为_______． 17. 如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点 ， ， 分别在的边 ，，上． （1）点 到边的距离为__________； （2） 的长为__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于 ，点 为格点， 为直径，，． （1）的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点 的 的切线，与 的延长线交于点 ，并简要说明点 位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 20. 为弘扬华夏文明，传承津沽文化，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了 名学生的成绩（成绩为60~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为__________，图①中 的值为__________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生成绩数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？ 21. 已知内接于 ，，， 是 的直径，连接 ． （1）如图①，求 和的大小； （2）如图②，过点 作 的切线，与的延长线交于点 ，过点 作 的切线，与 交于点 ，若，求 的长． 22. 京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点 为参照点，于所在的河岸边任取两点 ， （点 ， ， 在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 23. 已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中 表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间 的函数解析式； （2）当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中， 为原点，的顶点，，，点 在轴负半轴上，点 在第一象限，边 交 轴于点 ．是等腰直角三角形，，点，点 在第二象限． （1）填空：如图①，点 的坐标为__________，点 的坐标为__________； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边 交于点 ，与边 交于点 ，与重合部分为四边形时，试用含 的式子表示线段的长，并直接写出 的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（请直接写出结果即可）． 25. 抛物线 （ ， ， 为常数，）的顶点为 ，且，与 轴交于点 ， （点 在点 左侧），与轴交于点 ，对称轴交 轴于点 ， 为坐标原点． （1）当， 时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）若点，且，求 的值； （3）若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点 的坐标和 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级 第一次模拟考试数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. -12 B. 12 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列 有2个正方形，故选A. 3. 估计1的值在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用“夹逼法”得出的范围，继而也可得出的范围． 【详解】 ， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形．据此可判断A、B、D都不符合轴对称图形的定义，故选C． 5. 据《光明日报》报道，截止2026年1月底，我国农用无人机保有量超辆，从播种到管理，这些“飞在田间的农民”正用科技力量守护现代农业，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将的小数点向左移动 位，可得，满足，移动次数为 ，即， ∴． 6. 的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，判断出反比例函数图象所在象限及增减性，即可求解． 【详解】解：∵反比例系数， ∴函数在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值 随x的增大而增大， ∵点在第二象限，点和点在第四象限， ∴，，， ∵在第四象限， 随的增大而增大，且， ∴， ∴，即． 故选：D． 8. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余 辆空车；若每 人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找准总人数不变的等量关系，分别用含的式子表示两种乘车情况的总人数，即可列出方程． 【详解】设共有辆车，题目中总人数保持不变， ∵ 每人同乘一车，剩余 辆空车， 表示为， ∵ 每 人同乘一车，剩余人步行， ∴ 总人数可表示为， ∵ 两种情况总人数相等， ∴ 可列方程． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对分母因式分解，再通分合并，最后约分得到化简结果，用到平方差公式和分式的基本性质． 【详解】∵， ∴原式， ， ， ． 10. 如图， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 ， 于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点 ，连接 并延长交 于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图可知 平分，故，结合 利用平行线的性质即可得出正确结论． 【详解】解：由作图可知， 平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，故B正确，A，C，D 错误． 11. 如图，在中，，，将绕点 逆时针旋转得到，点 ， 的对应点分别为，，若点恰好落在 中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在 中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 12. 如图，在中，，，．动点 从点 出发，以的速度沿 边向终点 匀速运动，运动到终点停止运动，当点 出发后，以 为边做正方形，使点 ， 始终在 边同侧，设点 运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ① 长为； ②当时， 关于 的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点 重合时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点 作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出 ，，可判断①；分两种情况：当点 在线段上运动时；当点 在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点 作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点 在线段上运动时， ∵动点 从点 出发，以的速度沿 边向终点 匀速运动，运动到终点停止运动，点 运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点 与点 重合时，点 与点重合， 此时， ∴； 当点 在线段的延长线上运动时，如图，设交 于点 此时点 在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时， 关于 的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点 重合时，如图， 此时点 为 的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是 ． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 一个不透明的袋子里装有个球，其中有 个红球，个蓝球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵装有个球，其中有 个红球，个蓝球和个绿球， ∴从袋子中随机取出 个球，它是绿球的概率是． 14. 计算的结果等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的加减法，去括号时，括号前面是负号，括号里面的符号要变号，掌握去括号的规则是解决本题的关键． 【详解】． 15. 计算的结果等于__________． 【答案】25 【解析】 【详解】解：． 16. 已知一次函数向上平移3个单位后过原点，则b的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一次函数平移的规律：左右平移时x值左加右减，上下平移时b值左减右加，熟记平移的规律是解题的关键． 根据一次函数平移的规律得到平移后的函数解析式为，将点代入计算即可． 【详解】解：平移后的函数解析式为， 将点代入，得， 得， 故答案为：． 17. 如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点 ，，分别在的边 ， ， 上． （1）点到 边的距离为__________； （2） 的长为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（ ）通过证明，找出等量关系，设，则,结合勾股定理即可． （2）先根据勾股定理求出、，再根据代入即可． 【详解】（ ）过作交于 ， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴, ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 整理得， 解得， ∴． （ ）由（ ）可知，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，综合掌握相关的知识点是解决问题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于 ，点 为格点， 为直径，，． （1） 的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点 的 的切线，与的延长线交于点 ，并简要说明点 位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 ①. ②. 如图，取圆与格线交点 ，，连接 交 于点 ，点 即为圆心，连接与格线交于点，取格点 ， ， ，，Q，T，连接 ，，延长交 于 ，连接并延长，交格线于点 ，连接并延长，交延长线于点 ，点 即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用直径定理和勾股定理求解； （2）根据 的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质以及全等三角形的判定和性质证明，得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 【详解】解：（1）∵ 为直径， ∴， ∴由勾股定理得； （2）如图，取圆与格线交点 ，，连接 交 于点 ，点 即为圆心，连接与格线交于点，取格点 ， ， ，，Q，T，连接 ，，延长交 于 ，连接并延长，交格线于点 ，连接并延长，交延长线于点 ，点 即为所求． 说明：根据 的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质证明，证明，得到，进而得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得__________； （2）解不等式②，得__________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2） （3） 解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4） 【解析】 【分析】（ ）根据解不等式的步骤解答即可； （ ）根据解不等式的步骤解答即可； （）把不等式的解集在数轴上表示出来即可； （）根据数轴写成不等式组的解集即可； 本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由数轴可得，原不等式组的解集为． 20. 为弘扬华夏文明，传承津沽文化，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了 名学生的成绩（成绩为60~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为__________，图①中 的值为__________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生成绩数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？ 【答案】（1）200，20，80，80； （2）83； （3）估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为1350． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图求得总人数 ，根据100分的人数除以总人数得出 的值，根据众数和中位数定义求出众数和中位数； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 ，，所以，众数80，中位数80. 【小问2详解】 观察条形统计图， ， 这组数据的平均数是83． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，成绩不低于80分的学生占75%， 根据样本数据，估计该校1800名学生中，成绩不低于80分的学生约占75%，有． 估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为1350． 21. 已知内接于 ，，， 是 的直径，连接 ． （1）如图①，求和 的大小； （2）如图②，过点 作 的切线，与 的延长线交于点，过点 作 的切线，与 交于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2）6． 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接 ，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【小问1详解】 （1），， ． ． 是 的直径， ． ； 【小问2详解】 解：连接 ． 切 于点 ， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 22. 京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点 为参照点，于所在的河岸边任取两点 ， （点 ， ， 在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】所测量的这段大运河的宽度约为37m． 【解析】 【分析】如图，过点 作，垂足为 ，由得到，从而得解． 【详解】解：如图，过点 作，垂足为 ． 根据题意得：，，， 在Rt 中，， ． 在Rt中，， ． ， ． ． 答：所测量的这段大运河的宽度约为37m． 23. 已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间， 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离 关于时间的函数解析式； （2）当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1），，；；； （2）． 【解析】 【分析】（ ）求出速度为，再结合图象即可求解； 根据题意列出算式即可求解； 分当时；当时；当时，求出解析式即可； （ ）求出妈妈的速度为，设 分钟两人相遇，根据题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，速度为（）， ∴当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 故答案为：，，； 小明从人工智能科普馆返回家的速度为：（）， 故答案为：； 当时，设， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，； 当时，设， 把，代入得： ，解得：， ∴； 综上可得：； 【小问2详解】 解：妈妈的速度为（），设 分钟两人相遇， 根据题意得：，解得：， ∴两人相遇时离家的距离是． 24. 在平面直角坐标系中， 为原点， 的顶点，，，点 在 轴负半轴上，点 在第一象限，边 交轴于点 ．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． （1）填空：如图①，点的坐标为__________，点 的坐标为__________； （2）将沿水平方向向右平移，得到，点 ，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边 交于点 ，与边 交于点 ，与 重合部分为四边形时，试用含 的式子表示线段的长，并直接写出 的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）延长交轴于 ，过 作轴于 ，根据 得到轴， ，，，，，则四边形是矩形，，则，，即可求出，，得到；根据是等腰直角三角形，得到，则； （2）①先证明，当过 点时，，则边与边 交于点 时，，再证明是等腰直角三角形，得到； ②根据，，分情况讨论，分别表示出 ，求出最大值和最小值，最后得到 的取值范围． 【小问1详解】 解：延长交轴于 ，过 作轴于 ， ∵ 的顶点，，， ∴轴， ，，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵是等腰直角三角形，，点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵将沿水平方向向右平移，得到， ∴，， ∵边与边 交于点 ， ∴， ∴， 当过 点时，， 由（1）可得，， ∴， ∴，，， ∴边与边 交于点 时， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 此时， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随 的增大而增大， 当时， 最小值为，当时， 最大值为； 当时，如图所示，与 轴、 分别交于点 、 ， 此时，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随 的增大而增大， 当时， 最小值为，当 时， 最大值为； 当时，如图所示，、与 分别交于点 、 ，过 作于， 此时，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随 的增大而减小， 当时， 最小值为，当 时， 最大值为； 综上所述，当时， 最小值为，最大值为，即 的取值范围为． 25. 抛物线（ ，，为常数，）的顶点为 ，且，与轴交于点 ， （点 在点 左侧），与 轴交于点 ，对称轴交轴于点 ， 为坐标原点． （1）当，时，求该抛物线顶点 的坐标； （2）若点，且，求 的值； （3）若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点 的坐标和 的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据，求出，再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点 的坐标； （2）先由得，则抛物线对称轴为直线，再将代入抛物线解析式得出，则，再用 表示出 、 的坐标，再根据列方程求解； （3）由（2）知，且对称轴为直线，则点，如图，过点 作，过点 作，垂足为 ，连接，则，再根据抛物线的对称性得，则，得点 ， ， 共线，即时，有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； 【小问3详解】 解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点 作，过点 作，垂足为 ，连接， ， 又∵， ， 点 ， ， 共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $