精品解析：河北保定市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高 二 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. ln 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导即可求得结果. 【详解】对函数求导得. 所以. 2. 已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到总项数为11. 【详解】根据题意，二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大，故只有第6项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为11， 故的值为10. 3. 假设是两个事件，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，，由于不一定相等， 所以不一定相等，所以B错误； 对于C，若独立，则,但不一定相等，故C错误； 对于D，与的大小无法比较，所以D错误. 4. 若函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间为 D. 的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，再依次分析各选项即可得答案. 【详解】由导函数的图象可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A，由图象可知是函数的零点，故A选项错误； 对于B，是函数的极小值点，无极大值点，故B选项错误； 对于C，函数的单调递增区间为，故C选项正确； 对于D，在上单调递减，故的解集为，D选项错误. 5. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有8个黑球、2个白球，乙箱中有5个黑球、5个白球．掷一枚质地均匀的骰子一次，若点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；若点数为3，4，5，6，则从乙箱子随机摸出1个球，那么摸出黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】摸出黑球分成两种情况，一种点数为1或2从甲箱子随机摸出1个球，另一种是点数为3，4，5，6从乙箱子随机摸出1个球，用全概率公式把两种情况概率相加即可求解. 【详解】设事件：点数为1或2；事件：点数为3，4，5，6；事件：摸出黑球， 那么. 6. 已知在R上可导的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，求导得， 所以函数在R上单调递增，所以，即. 7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 15种 【答案】B 【解析】 【详解】两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组， 再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法； 高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法； 综上所述：不同的分配方案共有种. 8. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为2cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O． E，F，G，H为圆O上的点，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GCD，△HDA，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥．当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm³)的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过O作于点P，连接.设，求得高，进而可得，令，利用导数可求最大值. 【详解】得到的四棱锥如图所示， 连接，过O作于点P，连接. 设，则，所以， 由题意得， 故四棱锥的体积为， 构造函数，求导得到， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在上单调递减. 故，取得最大值，最大值为. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，常数的导数是0，故，A选项错误； 对于B，，B选项错误； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 10. 下列正确的是（ ） A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可． 【详解】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确； 若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误； 数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确； 若三位数比320大，则百位是4时，有个， 若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项直接求的解即可；对于BCD选项，先对求导，根据函数单调性，求出极值，结合函数图象走势即可判断. 【详解】对于A选项，令，得 ，即, ，有两个实根，故A选项正确； 对于B选项，， 由得，；由得，或， 在上单调递增，在上单调递减 在处取极小值，在处取极大值， 由于当时，恒成立， 所以，根据函数图象走势可知，没有最大值，在处取最小值， 所以，B选项错误； 对于C选项,由B选项可知，最小值为 极大值为，根据函数图象可知， 当 时， 有两个实根； 当 时， 有三个实根；所以，C选项错误; 对于D选项，由函数图象可知，当时，在时，的最大值也是， 故的最小值不是5，所以，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘法公式展开即可求出各项，进而确定系数和. 【详解】的结果中含的项， 一定是三个括号用x另一个括号用具体数字进行相乘， 因此含的项为. 因此含的项的系数为-1+(-2)+(-3)+(-4)=-10. 故答案为：-10. 13. 爱国主义是我们民族精神的核心，是我们每个人心中永不磨灭的信念．某中学甲、乙、丙、丁四位同学通过参观爱国主义教育基地，革命纪念馆，历史博物馆三种场所了解英雄事迹，感受革命精神．若每人只去一种场所，每个场所都有人去，且甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有________种． 【答案】24 【解析】 【详解】把甲、乙、丙、丁四位同学分为三个组，再安排到3个场所， 1.甲同学单独1个组，另外三位同学分为一个2人组和一个1人组，有种分组方法， 再把这3个组的同学安排到3个场所种安排方法，由分步乘法计数原理有种安排方法； 2.甲同学与另一位同学为1个组，有种分组方法，再把这3个组的同学安排到3个场所种安排方法，由分步乘法计数原理有种安排方法； 综上所述：甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有种. 14. 已知函数 与 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上有解，进而得，令，利用求导可得，当且仅当时取到等号，从而得，进而参变分离，利用导数可求解. 【详解】则关于原点对称的函数为， 由题意知在上有解， 即在上有解， 由，得， 所以， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，所以，即在上有解， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，解得，所以实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，再求得，最后代入解析式即可得答案； （2）求导研究函数在上的单调性，再结合极值与区间端点值的大小即可求得最值. 【小问1详解】 解：因为， 所以，，解得 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又 即最大值为1，最小值为． 16. 已知( 且 求： （1）n和； （2） （3） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过使用二项式定理展开的通项就可以得到通项的表达式，再利用求解; （2）使用赋值法，令直接解； （3）使用两次赋值法，令，得到，令得，，两式联立即可求解. 【小问1详解】 由于，运用二项式定理展开可知， ，． 【小问2详解】 令得， 【小问3详解】 令得，， 令得，， . 17. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了七大类校本课程，具体为学科拓展(A)、大学先修(B)、生涯规划(C)、社会实践(D)、劳动实践(E)、科学探索(F)、文化艺术(G)七大类，将这七类课程在假期里连续开设七天，每天一类且不重复． （1）某学生从中选3类课程，已知他已经选择课程D，不会选择课程B，求他的不同选课方法共有多少种； （2）课程C和课程F 中间间隔一天开课，共有多少种不同排法？ （3）课程结束后，我校将评出七类课程中学生最喜欢的前四名课程．已知课程G不是第一名，则前四名的不同排法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）从A,C,E,F,G中选两个，利用组合数即可求解. （2）先确定C,F的位置，然后进行全排列即可. （3）用直接法第一名从除 G 外的 6 类中选，剩下 3 个名次从剩下的 6 类（含 G）中选. 【小问1详解】 由题意知，他的不同选课方法共有种. 【小问2详解】 由题意知，课程C和课程F 中间间隔一天开课，共有种. 【小问3详解】 由题意知，前四名的不同排法有种. 18. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【小问1详解】 设事件“取出饺子是肉馅”，， 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 【小问3详解】 设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若对任意的 都有 成立，求实数m的取值范围；(注：) （3）当时，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程，最后得出面积公式计算； （2）先求出导函数，根据导函数正负得出单调性，再应用参数分离结合函数最值求解； （3）先化简再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性进而求解最值证明即可. 【小问1详解】 当时， ， ， 切线方程为， 令则，令，则， ； 【小问2详解】 ，令得． 当 单调递减，当 单调递增，最小值为． 对任意的恒成立，即 恒成立， 令， ， 令 在单调递减， 当 在单调递增； 当 在单调递减， ， ， ， 故 【小问3详解】 当时，， 求证： ．即证 令， ，得， 当 单调递增； 当 单调递减 令， ，得 当 单调递减； 当 单调递增； ． ，当且仅当时等号成立，显然取不到， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 二 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. ln 2 B. C. D. 2. 已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 假设是两个事件，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间为 D. 的解集为 5. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有8个黑球、2个白球，乙箱中有5个黑球、5个白球．掷一枚质地均匀的骰子一次，若点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；若点数为3，4，5，6，则从乙箱子随机摸出1个球，那么摸出黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在R上可导的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 15种 8. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为2cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O． E，F，G，H为圆O上的点，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GCD，△HDA，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥．当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm³)的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列正确的是（ ） A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 11. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数是______． 13. 爱国主义是我们民族精神的核心，是我们每个人心中永不磨灭的信念．某中学甲、乙、丙、丁四位同学通过参观爱国主义教育基地，革命纪念馆，历史博物馆三种场所了解英雄事迹，感受革命精神．若每人只去一种场所，每个场所都有人去，且甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有________种． 14. 已知函数 与 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求在区间的最大值与最小值． 16. 已知( 且 求： （1）n和； （2） （3） 17. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了七大类校本课程，具体为学科拓展(A)、大学先修(B)、生涯规划(C)、社会实践(D)、劳动实践(E)、科学探索(F)、文化艺术(G)七大类，将这七类课程在假期里连续开设七天，每天一类且不重复． （1）某学生从中选3类课程，已知他已经选择课程D，不会选择课程B，求他的不同选课方法共有多少种； （2）课程C和课程F 中间间隔一天开课，共有多少种不同排法？ （3）课程结束后，我校将评出七类课程中学生最喜欢的前四名课程．已知课程G不是第一名，则前四名的不同排法有多少种？ 18. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若对任意的 都有 成立，求实数m的取值范围；(注：) （3）当时，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $