吉林省吉林市吉化第一高级中学校2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

**基本信息** 吉化一中2026高一数学期中卷注重基础与能力融合，通过函数性质、立体几何及阶梯水价等实际问题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、集合运算、同一函数判断|第5题结合函数周期性与图像交点，考查数形结合| |多选题|3/18|不等式性质、函数概念|第10题辨析同一函数，强化概念理解| |填空题|3/15|指数运算、偶函数解集|第13题利用偶函数图像解不等式，体现直观想象| |解答题|5/77|奇函数解析式、立体几何证明、商品销售与阶梯水价应用|第19题阶梯水价分段函数建模，第17题线面平行证明，综合考查数学应用与逻辑推理|

吉化一中2026年高一年级期中测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若，是内的任意两个值，且，则以下式子可以说明函数在内单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．在下列函数中，与函数是同一函数的为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足：①定义域为R；②对任意R，有；③当时，．若函数，则函数在上零点的个数是（    ） A． B． C． D． 6．对于实数和，定义运算“”：，设，若函数恰有三个零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，且时，，则与的图象的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．函数，则满足的实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．与 D．和 11．下列不等关系正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 三、填空题（每题3分，共15分） 12．__________. 13．定义在R上的偶函数，当时，，则的解集是______. 14．若函数（且）在区间内恒有，则的单调递增区间是___________． 四、解答题（共77分） 15．计算或化简：（12分） （1）； （2）. 16．已知定义在R上的奇函数，当时.（18分） (1)求函数的表达式； (2)请画出函数的图像；并写出函数的单调区间. 17．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，CC1⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（18分） (1)求证：AC⊥BC1； (2)求证：AC1∥平面CDB1． 18．某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件，（20分） （1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？ （2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 19．下表为北京市民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）.（21分） 阶梯 用户用水量（立方米） 水价 其中 自来 水费 水资源费 污水处 理费 第一阶梯 0~180（含） 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 180~260（含） 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 （1）试写出水费（元）与年用水量（立方米）之间的函数解析式； （2）若某户居民一年交水费元，求其中自来水费，水资源费及污水处理费各是多少. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 数学测试答案 1．B 【分析】根据单调性的定义即可得到结果. 【详解】，且， 若函数在内单调递减， 根据函数单调性的定义，则当时，必有， 即，，∴，B正确； 而选项A中，由，得，A错误； 选项CD中，缺乏的大小关系，CD错误. 故选：B 2．B 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】因为，，所以． 故选：B． 3．A 【分析】确定函数的定义域，对应法则是否相同即可得． 【详解】函数的定义域是，函数式化简为， 的定义域是，函数式可化简为，是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 的定义域是，函数式可化简为，对应法则不相同，不是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 故选：A． 4．B 【分析】根据偶函数，单调性的概念对每个选项直接判断即可. 【详解】对A，，定义域为，，所以为偶函数， 又在单调递增，所以在上单调递减，故错误； 对B，，定义域为，且，所以为偶函数， 又在单调递减，所以在上单调递增，故正确； 对C，，定义域为，又，所以不是偶函数，故错误； 对D，，定义域为，， 所以为偶函数，又在单调递增，所以在上单调递减，故错误. 故选：B 5．C 【分析】在坐标系内分别作出函数和的图象，观察交点的个数. 【详解】当时，根据函数的解析式，作出函数的图象， ∵，∴函数的周期为3，作出函数的大致图象如图所示，易知函数为偶函数，作出的大致图象，可知两个函数图象在上有5个交点，即函数在上有5个零点． 故选：C． 【点睛】数形结合法解决零点问题： (1)零点个数：几个零点； (2)几个零点的和； (3)几个零点的积 . 6．B 【解析】首先根据定义求出函数的解析式，因为有三个零点，所以与有3个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而可求三个零点之积的取值范围. 【详解】当，即时，， 当，即时，， ， 恰有三个零点， 与的图象恰好有3个交点， 即与有3个交点， 作出的图象，如图所示， 则， 不妨设，易知，且， ， 由解得，， . 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点与函数图像间交点的关系，解题的关键是数性结合求出零点范围，得出所求. 7．D 【解析】由函数周期性的定义可得是以2为周期的周期函数，作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】由可得，故是以2为周期的周期函数， 又时，，所以， 在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示， 数形结合可知函数与的图象的交点个数为4. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数周期性及图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题. 8．D 【分析】令，即有，对分类讨论，由外及里，即可得到实数k的取值范围． 【详解】令，即有， 当时，，即为， 设，令，可得， 由，可得； 当时，， 若，且，解得； 若，且，解得， 可得， 综上可得，实数k的取值范围是. 故选：D 【点睛】本题考查复合函数构成的方程的解法，考查指数函数的图象与性质，属于中档题． 9．BD 【分析】根据作差法可比较，根据正负中间值法可比较,进而根据不等式的性质即可判断. 【详解】因为所以故， 又，所以 故A，C错，B,D正确， 故选：BD 10．AD 【分析】分别判断选项中的两个函数的定义域与对应法则是否都相同，从而可得结果. 【详解】和，定义域与对应法则都相同，表示同一个函数； 定义域为，定义域为实数集，定义域不同，不是同一个函数； 定义域为，定义域为实数集，定义域不同，不是同一个函数； 和，定义域与对应法则都相同，表示同一个函数， 故选：AD. 【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于基础题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域对应法则是否都相同，二者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 11．AC 【分析】由不等式的基本性质逐个判断ABC选项，利用特殊值判断D选项. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若则，排除；若，则，此时；若，则，，则，排除.故，故B不正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：AC. 12． 【分析】利用分数指数幂运算即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 13． 【分析】根据是偶函数，求出时的解析式，画出函数图象，再将看成一个整体，结合图像即可得解集. 【详解】由于是偶函数， 当时，，故， 画出其函数图像如下： 当时，令，解得， 当时，令，解得， 由图可得， . 故答案为：. 14． 【解析】根据在区间内恒有，推出，再根据二次函数的单调性，结合定义域可得结果. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又在区间内恒有，所以， 由得或，即的定义域为， 因为在上递增，所以的单调递增区间是. 故答案为： 【点睛】易错点点睛：再求函数的单调区间时，容易忽视函数的定义域. 15．（1）（2）3 【解析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】解：（1）原式 . （2）原式 . 【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 16．(1) (2)作图见解析，函数的递增区间为，递减区间为 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求出函数解析式； （2）利用函数解析式带点即可画出函数图像，根据函数图像即可写出单调区间. 【详解】（1）解：设，则，， 又是定义在R上的奇函数，， 所以， 当时，， 所以； （2）解：图像如下图： 由图可知，函数的递增区间为，递减区间为. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由AB2=AC2+BC2，得到AC⊥BC，再由CC1⊥平面ABC，得到AC⊥CC1，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设CB1∩BC1=E，连接ED，根据正方形BCC1B1和D为AB的中点，得到AC1∥ED，再利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明：∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5． ∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC． ∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC． ∴AC⊥CC1． 又BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面BCC1B1 BC1⊂平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1． （2）证明：如图所示： 设CB1∩BC1=E，连接ED． 由正方形BCC1B1可得E为BC1的中点， 又D为AB的中点，∴AC1∥ED， ∵ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1． 18．（1）5；（2） 【详解】（1）设商品的销售价格提高a元， 则，即，∴， ∴商品的价格最多可以提高5元      （2）由题意得，改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入不低于原销售收入与总投入总和，只需满足 即可 . 即 ， 当且仅当，即x=10时，取得“=”号 答：销售量至少应达到万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和 19．（1）；（2）自来水费为454元，水资源费为314元，污水处理费为272元. 【分析】（1）根据水价表直接写出函数解析式； （2）由水费计算了用水量，再得水资源费和污水处理费． 【详解】（1）由题意得，，即. （2）由题意得，，若，则，解得，不符合题意，舍去； 若，则，解得，符合题意； 若，则，不符合题意.故该用户当年用水量为立方米. 因此，自来水费为（元），水资源费为（元），污水处理费为（元）. 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $