专题02 简单几何体的表面积与体积（九大题型训练）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦简单几何体表面积与体积，按棱柱到球及内切外接问题分层设计，题型覆盖全面，突出空间观念与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱柱表面积|8题（含正方体、堑堵）|基础几何体表面积计算，结合古代数学文化|从平面图形到空间几何体表面积，基础模块| |棱台表面积|4题|台体结构特征应用，侧面积与底面积综合|棱柱向棱台的拓展，体现几何体演变| |柱锥体积|8题（含圆柱、正三棱锥）|体积公式直接应用与等积法|表面积到体积的递进，空间度量深化| |台体体积|6题|台体体积公式及实际应用（如升篓）|柱锥体积向台体的延伸| |旋转体表面积|6题（圆柱、圆锥、圆台）|旋转形成几何体的表面积计算|平面图形旋转生成空间几何体，体现转化思想| |球及内切外接|7题|球的表面积体积，多面体与球的位置关系|空间几何体与球的组合，综合空间想象与几何直观|

专题02 简单几何体的表面积与体积 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【题型3 棱台表面积的有关计算】 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 【题型5 台体体积的有关计算】 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 【题型7 圆台表面积的有关计算】 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 1．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 2．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    4．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 5．已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为______. 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 6．在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 7．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________.    8．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为__________；正三棱锥的侧面积为__________. 9．如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________. 10．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【题型3 棱台表面积的有关计算】 11．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 12．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 13．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 14．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 15．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 16．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 17．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 18．如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 19．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（   ）    A． B． C． D．20 20．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 21．已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 22．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 23．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型5 台体体积的有关计算】 24．已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 25．一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（   ） A． B． C． D． 26．某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 28．已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 29．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 30．已知直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 31．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 32．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 33．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 34．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 35．已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） 【题型7 圆台表面积的有关计算】 36．已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 37．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 38．已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 39．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 40．折扇在我国有着悠久的历史．“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲)．图乙是扇形的一部分，两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且．若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 41．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 42．已知球的体积为，则球的表面积为___________． 43．湖面上浮着一个球（水下部分不超过一半），湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为，深为的空穴，则球的半径为__________，球的表面积为__________． 44．已知球的半径为，则它的表面积为_________，体积为_________. 45．若一个球的体积为，则它的表面积为______. 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 46．在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 47．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 48．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 49．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 50．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 51．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体的表面积与体积 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 【题型3 棱台表面积的有关计算】 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 【题型5 台体体积的有关计算】 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 【题型7 圆台表面积的有关计算】 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 1．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【分析】连接，，利用勾股定理求出，再根据长方体的表面积公式计算可得. 【详解】如图，在长方体中，连接，， 因为，，， 所以， 所以， 所以该长方体的表面积 . 故选：D. 2．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为. 故选：D. 3．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 4．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______. 【答案】 【分析】求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论． 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 5．已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为______. 【答案】 【分析】利用长方体体对角线可求得各棱长，再由表面积公式即可求得结果. 【详解】如下图所示：    易知底面边长，体对角线，则可得； 设，则，解得； 所以长方体的表面积为. 故答案为：. 【题型1 棱柱表面积的有关计算】 6．在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 7．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________.    【答案】 【分析】八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的，结合等边三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的， 故所求为. 故答案为：. 8．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为__________；正三棱锥的侧面积为__________. 【答案】 3 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，再计算出侧面积即可. 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故， 侧面积. 故选：3；. 9．如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________. 【答案】 【分析】设正方体棱长为1，三棱锥D1—AB1C为正四面体，求出其棱长，然后可得正方体和三棱锥的表面积，从而求得比值． 【详解】设正方体棱长为1，则其表面积为6， 三棱锥D1—AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为，所以三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为． 故答案为：． 10．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A 【题型3 棱台表面积的有关计算】 11．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 12．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【答案】B 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 13．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 14．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【详解】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 【题型4 柱体和锥体体积的有关计算】 15．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，得到一个圆柱，再根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 16．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 17．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 18．如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥与棱柱的体积关系求解． 【详解】∵， ∴， 故选：D． 19．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（   ）    A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】利用割补法求解几何体体积即可. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则，，    所以该几何体体积为. 故选：C. 20．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用水的体积不变计算可求解. 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 21．已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 22．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 23．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点， 由已知可得，所以， 又，所以， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 【题型5 台体体积的有关计算】 24．已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的截面特征求出棱台的高，代入棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为. 作正四棱台的截面图如下： 则，解得. 所以. 所以该棱台的体积为. 25．一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出圆台示意图，计算出圆台的高，代入圆台体积公式计算即可. 【详解】如图，过作垂线于，由题知 由勾股定理可得， 设圆台上底面半径为，下底面半径为，高 代入圆台体积公式有. 26．某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则 . 由图知，, 设正四棱台的斜高 . 所以正四棱台的侧面积为： . 故选：D 27．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 28．已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知几何体是三棱台，利用割补法结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：B． 29．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【答案】B 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 【题型6 圆柱和圆锥表面积的有关计算】 30．已知直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，将所求转换为圆锥、圆柱的表面积计算即可. 【详解】如图所示， 则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为圆锥的侧面积，加上圆柱的侧面积，再加上圆柱的一个底面的面积， 而圆锥的母线长为， 故所求为. 故选：C. 31．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得. 【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得， 所以， 所以该几何体的表面积. 故选：A 32．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥侧面积公式求解即可. 【详解】圆锥的母线长，则它的侧面积． 33．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先利用侧面展开图的弧长与底面周长相等，建立母线长和底面半径的关系，再结合表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 侧面展开图是一个半圆， ，即， 圆锥的表面积为， ， ， 故圆锥的底面半径为2. 34．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到该几何体，再根据圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 35．已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的特征、边角关系求出圆锥底面半径和母线的长，进而根据圆锥的表面积公式求出圆锥的表面积. 【详解】如图，是该圆锥的轴截面，为线段的中点，为球的球心， 作，垂足为，则． 因为为等边三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 那么该圆锥的表面积为． 故选：B. 【题型7 圆台表面积的有关计算】 36．已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 37．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台的上、下底面的半径，结合圆台的母线长，代入圆台的表面积公式计算即可． 【详解】∵圆台的上、下底面面积分别为和， ∴圆台的上、下底面半径分别为6和7，又圆台的母线长5， ∴圆台的表面积为. 故选：B． 38．已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆台侧面积公式即可求解； 【详解】由圆台侧面积公式可得：. 故选：C. 39．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则， 故. 故选：D 40．折扇在我国有着悠久的历史．“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲)．图乙是扇形的一部分，两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且．若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台的侧面展开图分别求出上下底面圆的半径，再由圆台的侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 因为两个圆弧所在圆的半径分别是15和36，且， 所以，，圆台的母线长为， 解得， 所以圆台的侧面积为， 故选：A 【题型8 球的表面积和体积的有关计算】 41．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体及外接球的特征，结合球的表面积求解即可. 【详解】设正方体的棱长为，则，所以． 所以其外接球半径为． 所以外接球表面积为． 42．已知球的体积为，则球的表面积为___________． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 43．湖面上浮着一个球（水下部分不超过一半），湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为，深为的空穴，则球的半径为__________，球的表面积为__________． 【答案】 13 【分析】球的半径为，得到截面圆的半径为，球心距为，再由，列出方程，即可求解. 【详解】设球的半径为，由题意知，截面圆的半径，球心到截面的距离， 由，得，即，解得，故． 故答案为13；. 44．已知球的半径为，则它的表面积为_________，体积为_________. 【答案】 【分析】将球的半径代入球的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】①球的半径为，则它的表面积为， 故答案为：； ②球的半径为，则它的体积为， 故答案为：， 45．若一个球的体积为，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】根据球的体积求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设球的半径为. ∵球的体积为，∴，解得. ∴球的表面积为. 故答案为：. 【题型9 多面体与球体内切外接问题】 46．在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 47．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 48．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 49．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 50．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径，再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积. 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 51．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $