精品解析：甘肃渭源县第一中学2025-2026学年第二学期期中考试数学试卷高二数学

2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源一中期中考试数学试卷 高二数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算可得，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 4. 在直角三角形中，若，，，则为（ ） A. 3 B. 6 C. －3 D. －6 【答案】B 【解析】 【详解】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，可知，， 由可知，因为，， 所以， 可得 5. 已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过讨论丙的位置，确定甲，乙两人站在丙的同侧的情况，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】4人随机站成一排，总排列数为 ， 按丙的位置分类计数： 丙在最左（第1位）或最右（第4位）：剩余3人全排列，共 ，此时甲乙必然都在丙的同侧，全部符合； 丙在第2位：仅能让甲乙都在丙的右侧（2个位置）排列，丁在左侧，共种； 丙在第3位：仅能让甲乙都在丙的左侧（2个位置）排列，丁在右侧，共  种； 符合条件的事件总数为 ， 故甲，乙两人站在丙的同侧的概率为​. 6. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向左平移​个单位，原函数，左移对加，得  横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得  7. 已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知，即. 根据等差数列性质：若，则， 可得，，代入得，即. 同理，，代入得，即. 由等差数列前项和公式，结合性质，得：. 8. 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 10. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为3 C. 存在点，使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，故展开式中的系数为. 13. 某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【详解】当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时： 当相同的兴趣课为“围棋”时，有种， 当相同的兴趣课不是“围棋”时，有种， 所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有24种. 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有， 所以两位同学不同的选课方案有 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，将问题化为内恰有2个整数，再分类讨论求参数范围. 【详解】由题设，且， 由在区间上恰有2个零点， 只需内恰有2个整数，即，， 当，则， 当，则， 当，则，无解， 同理时，均无解， 综上，的取值范围为. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）（） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . 【小问2详解】 由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 16. 为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； （2）从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意填充列联表，再计算的观测值，与临界值比较后得出结论； （2）利用（1）中列联表的数据，根据古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 依题意可知，女性用户共有200人， 认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； 【小问2详解】 由（1）得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为四边形是矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以，， 因为是等腰三角形，所以， 又，所以，所以， 因为，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而根据长度关系可证明，即可由线线垂直证明， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则 取，得，，所以 设平面的一个法向量，则 取，得，，所以， 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为． （i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围； （ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i） （ii） （i）椭圆右焦点，设过的直线，，联立椭圆方程， 得， 设，中点，由韦达定理得 ， ，， ， 在的垂直平分线上， 设垂直平分线的斜率为，则，解得， 故垂直平分线的方程为， 令，得，代入得， 则， 当时，； 当时，，， ； （ii）已知直线的斜率分别为，且由（i）可知， 的中点，的中点， 由则， ， ， ， 直线的方程为， 整理得， 令，解得，此时，与无关， 直线与无关，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的基本性质求出，进而求出椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用中点和垂直平分线的性质，把表示为斜率的函数，进而求出的范围；（ii）用消元，将坐标用相同参数表示，推出直线方程找出定点． 【小问1详解】 已知椭圆（）的短轴长为2，故，解得， 离心率，则，整理得， 椭圆． 【小问2详解】 略 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】（1） （2） （3） 设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，结合函数极值点的定义可得出实数的取值范围，求出该函数的极小值，根据函数无零点可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围； （2）分析可知，存在、使得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出，即可解出实数的取值范围； （3）分析可知，证明出，可得出，所以，再证明出，即可得出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源一中期中考试数学试卷 高二数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 在直角三角形中，若，，，则为（ ） A. 3 B. 6 C. －3 D. －6 5. 已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 10. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为3 C. 存在点，使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 13. 某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前n项和. 16. 为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； （2）从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为． （i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围； （ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $