精品解析：四川内江市2026届高三适应性训练数学试题

高2026届适应性训练试题 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置. 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上. 3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上. 4.考试结束后，监考人员将答题卡收回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 2. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 4. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6. 已知函数，，其中为常数，为自然对数的底数，. （1）当时 ①求函数在处的切线方程； ②证明：； （2）若函数有零点，求的取值范围并证明函数的零点是唯一的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届适应性训练试题 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置. 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上. 3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上. 4.考试结束后，监考人员将答题卡收回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： 则，整理得， 所以. 2. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 4. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6. 已知函数，，其中为常数，为自然对数的底数，. （1）当时 ①求函数在处的切线方程； ②证明：； （2）若函数有零点，求的取值范围并证明函数的零点是唯一的. 【答案】（1）①； ②证明：因为，所以 令，得，（其中为的导函数）， 于是在单调递减，在单调递增 由 知存在唯一零点使得 当时，，当时，， 即在单调递增，在单调递减， 而， 所以在区间内恒成立，得证. （2），证明:当时，在区间内有零点，并且零点是唯一的， ， ，故， 又，得，（其中是的导函数）， 于是在区间内单调递增，有唯一零点为的最小值点， 即， 若，从而在区间上单调递增，与矛盾， 所以，现列表如下： 0 1 0 单调递减，正变负，有唯一零点 单调递增，负变正，有唯一零点 再列表如下： 0 1 0 0 0 单调递增， 单调递减，正变负，有唯一零点 单调递增, 0 综上，在区间内的零点是唯一的. 【解析】 【分析】（1）①代入值，求导得到切线斜率和切点坐标，从而得到切线方程； ②利用二次求导法和零点存在性定理即可证明； （2）分、和讨论即可. 【小问1详解】 ①当时，， 因为， 所以函数在处的切线斜率为， 由，函数在处的切线方程为， 即. ②略 【小问2详解】 当时，， 由②知，即此时无零点， 当 时,对任意 ，幂函数 在上随指数减小而增大，因此由 得 ， 故 令 ，， 由于单调递增，故在上单调递增, 代入端点得：，, 由零点存在定理，存在唯一 使得： 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增, 又，，因此对任意，有，故, 综上，时 在内恒负，无零点; 当 时, 由泰勒展开，代入得 , 由于，是比高阶的无穷小，且， 因此当时，，即存在，当 时，, 代入得, ，得 由得 ，说明在左侧附近单调递增， 因此存在，当时，。 取，，则，, 又在上连续，由零点存在定理，存在使得，即 在内至少有一个零点; 由 ，得，故, 当 时，，因此 ，故 ； 当 时，, 由于时，故, 由 ,，得 ， 因此故在上严格单调递增, 结合、， 由零点存在定理，存在唯一使得, 时，，严格递减； 时，，严格递增, 即 在 处取得最小值, 时，，故，因此； （已证） 若在上恒非负，则单调递增，结合得对所有 成立，与时矛盾，因此最小值, 因此在上从正严格递减到负，存在唯一使得； 在上从负严格递增到正，存在唯一使得, 由的符号可得的单调性： ：，严格递增； ：，严格递减； ：，严格递增。 即在处取极大值，在处取极小值, 极大值：由时且递增，得； 极小值：由 在递增且，得对任意有，故, 上，无零点； 上从正严格递减到负，有且仅有一个零点； 上，无零点, 因此当 时，在内有零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $