河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年高二优班第二学期4月份数学测试卷

**基本信息** 试卷聚焦导数应用与排列组合，通过分层设问（如解答题第15题四问梯度设计）与数形结合（如第9题导函数图像分析），考查数学思维与运算能力，适配高二优班月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、排列数计算|基础概念辨析，如第2题瞬时变化率直接考查导数定义| |多选题|3/18|导函数图像应用、排列组合实际问题|选项分层，如第10题社区安排综合考查分步乘法与间接法| |填空题|3/15|函数单调性参数范围|双空设计，如第14题分单调区间与区间内单调，提升区分度| |解答题|5/77|导数极值与切线、排列组合应用、函数零点|综合应用，如第19题结合导数研究函数零点，体现高考命题趋势|

2025--2026学年第二学期高二年级优班4月份数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．函数在处的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 3．排列数（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 4．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 6．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 8．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11．设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 13．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 14．已知函数，若的单调递减区间为，则实数a的值为______；若在区间内单调递减，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 16．(本小题15分）设函数 (1)求在处的切线方程； (2)求在上的极大值点和极大值． 17．(本小题13分）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 18．(本小题17分）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月28日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C C C B BD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】由，可得． 2．D 【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】根据导数的求导法则可得 将代入导函数，得到处的瞬时变化率： . 3．C 【解析】利用排列数公式求解即可. 【详解】； 故选：C. 4．D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 5．C 【详解】函数，导数. 因为，所以. 当时，，， 当时，，单调递增.当时，，单调递减. 且，符合题意. 6．C 【详解】 . 7．C 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 8．B 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 9．BD 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 10．BC 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）， 错误. 故选：BC 11．ABD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数得到，，进而判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确； 对于B，由题意得 ， 令，则， 可得，得到函数是奇函数，故B正确； 对于C，联立方程组，解得或， 则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误； 对于D，设直线方程为，联立方程组， 化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点， 则有且仅有一个解， 即与有且仅有一个公共点， 而，得到在上单调递增， 当时，，当时，， 则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确. 12． 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 13． 【详解】， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即：，得， 设， 当时，函数单调递增， 所以，所以有， 因此实数的取值范围为. 14． 【分析】将问题转化为是方程的两根可求；将问题转化为在上恒成立，利用参变分离求出范围. 【详解】易得，， 若的单调递减区间为，则是方程的两根， 则，得，则， 令，得，故的单调递减区间为， 则符合题意； 若在区间内单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，得， 故实数a的取值范围为. 15．(1)3600 (2)576 (3)1440 (4)576 【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解； （2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解； （3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解； （4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解. 【详解】（1）男生甲不站在队伍的两头，有种排法； （2）全部男生相邻，有种排法； （3）女生不能相邻，有种排法； （4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法； 16．(1) (2)极大值点为1；极大值为 【分析】（1）对求导，进而得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程； （2）对求导，利用导数分析函数单调性和极值. 【详解】（1）对，代入，即切点为 求导，得：，即切线斜率 则切线方程：. （2）令得得或； 故的减区间为，增区间为和； 所以函数的极大值点为，因为， 所以在上的极大值为. 17．(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 所以由题意可得； （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 18．(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【详解】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，根据图象趋势与零点情况，即得不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为， 所以所求切线方程为，即. （2）因，令，得或. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因时，；当时，， 由有三个零点，可得， 故的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $