8.1 基本立体图形 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§8.1 基本立体图形 目录 题型1：棱柱、棱锥、棱台的几何特征 6 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 7 题型3：简单的组合体问题 9 题型4：几何体中的基本计算 11 题型5：空间几何体的展开图及最短路径问题 13 1. 空间几何体 在我们的周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 2. 多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 (1) 多面体的面：围成多面体的各个多边形。 (2) 多面体的棱：两个面的公共边。 (3) 多面体的顶点：棱与棱的公共点。 提醒 (1)多面体至少有四个面;(2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线. 3. 旋转体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 4. 棱柱、棱锥、棱台 定义 相关概念 表示 分类 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱. (1)按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱； (2)按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)和斜棱柱(侧棱不垂直于底面的棱柱)； 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. 用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥. 按底面多边形的边数，可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥， 其中三棱锥又叫四面体。底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥. 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台. 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，它们是互相平行且相似的多边形；其他各面叫做棱台的侧面，侧面均为梯形；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点. 用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台. 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 5. 圆柱、圆锥、圆台、球 定义 相关概念 表示 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱. 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱. 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 旋转轴叫作圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥. 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 旋转轴叫作圆台的轴；截面和原圆锥的底面分别叫做圆台的上底面和下底面；直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边的腰都叫做圆台的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台. 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 半圆的圆心叫做球的球心；连接球心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球. 6. 简单组合体 现实世界中的物体所表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体. 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，如图⑴⑵⑶⑷；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图⑸⑹⑺⑻. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的几何特征 【例1.1.】 关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【例1.2.】 下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【例1.3.】 如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（    ） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 【例1.4.】 下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 【例1.5.】 下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例1.6.】 （多选）下列关于空间几何体的叙述错误的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．一个棱柱至少有5个面 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 【例2.1.】 用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【例2.2.】 （多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【例2.3.】 下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【例2.4.】 有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例2.5.】 下列关于圆柱的说法中，不正确的是（    ） A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱 【例2.6.】 下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 【例2.7.】 （多选）下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 题型3：简单的组合体问题 方法提炼 (1) 简单组合体的识别方法： 根据简单组合体构成的两种基本形式，弄清楚它是由哪些简单几何体（柱、锥、台、球）构成.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或截面）. (2) 分析不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征 ①分割：将原图形适当地分割成常见的矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形. ②定形：根据圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 【例3.1.】 指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【例3.2.】 下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 将正方体截去四面体后，余下的多面体与原正方体比较，未发生变化的是（   ） A．顶点数 B．棱数 C．面数 D．表面积 【例3.4.】 已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【例3.5.】 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【例3.6.】 如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （多选）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 题型4：几何体中的基本计算 方法提炼 (1) 正棱锥（以正四棱锥为例）中要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高的概念，以及高与侧棱、高与斜高所构成的两个直角三角形（和），有关证明及计算往往与这两者有关。 (2) ①正四棱台中要掌握轴截面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中。②将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来. (3) 研究圆柱、圆锥、圆台等相关问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. (4) 圆台问题有时还需要还原为圆锥问题来解决 【例4.1.】 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4.2.】 如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 【例4.4.】 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ． 题型5：空间几何体的展开图及最短路径问题 方法提炼 (1) 常见几何体的侧面展开图： 　 (2) 求基本立体图形表面上两点间的最短距离时，一般是沿某棱将侧面展开，画出其展开图，转化为求平面上线段的长度. 【例5.1.】 已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【例5.2.】 正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【例5.4.】 已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【例5.5.】 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【例5.6.】 在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D．   【例5.7.】 如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例5.8.】 如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【例5.9.】 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（   ） A．8 B． C．16 D． 【例5.10.】 半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【例5.11.】 我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.1 基本立体图形 目录 题型1：棱柱、棱锥、棱台的几何特征 6 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 10 题型3：简单的组合体问题 14 题型4：几何体中的基本计算 20 题型5：空间几何体的展开图及最短路径问题 25 1. 空间几何体 在我们的周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 2. 多面体 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 (1) 多面体的面：围成多面体的各个多边形。 (2) 多面体的棱：两个面的公共边。 (3) 多面体的顶点：棱与棱的公共点。 提醒 (1)多面体至少有四个面;(2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线. 3. 旋转体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 4. 棱柱、棱锥、棱台 定义 相关概念 表示 分类 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱. (1)按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱； (2)按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)和斜棱柱(侧棱不垂直于底面的棱柱)； 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. 用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥. 按底面多边形的边数，可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥， 其中三棱锥又叫四面体。底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥. 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台. 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，它们是互相平行且相似的多边形；其他各面叫做棱台的侧面，侧面均为梯形；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点. 用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台. 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 5. 圆柱、圆锥、圆台、球 定义 相关概念 表示 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱. 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱. 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 旋转轴叫作圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥. 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 旋转轴叫作圆台的轴；截面和原圆锥的底面分别叫做圆台的上底面和下底面；直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边的腰都叫做圆台的母线. 用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台. 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 半圆的圆心叫做球的球心；连接球心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球. 6. 简单组合体 现实世界中的物体所表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体. 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，如图⑴⑵⑶⑷；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图⑸⑹⑺⑻. 题型1：棱柱、棱锥、棱台的几何特征 【例1.1.】 关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 【例1.2.】 下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱锥、判断几何体是否为棱台 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 【例1.3.】 如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（    ） A．不是棱台 B．不是圆台 C．不是棱锥 D．是棱柱 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、判断几何体是否为圆台 【分析】根据棱台，圆台，棱锥，棱柱的定义判断即可. 【详解】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点. 选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台； 对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台； 对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误； 对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱. 【例1.4.】 下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】多面体概念及分类、棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【详解】七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体. 故选项D正确. 【例1.5.】 下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 【例1.6.】 （多选）下列关于空间几何体的叙述错误的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 【例2.1.】 用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是（   ） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据几何体的特征排除选项A，B，D. 【详解】选项A，B截面不能是圆，不正确； 选项D截面不能是长方形，不正确； 选项C截面可以是长方形，也可以是圆. 故选：C. 【例2.2.】 （多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】球的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD 【例2.3.】 下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析、由平面图形旋转得旋转体 【分析】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 【例2.4.】 有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 【例2.5.】 下列关于圆柱的说法中，不正确的是（    ） A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆柱轴截面的有关计算 【分析】根据圆柱的结构特征，逐项分析判断即可得解. 【详解】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面， 如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形， 故C选项错误，其他选项均正确， 故选：C 【例2.6.】 下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据球的定义及性质，逐项判断即可. 【详解】解：根据球的定义知A正确； 因为球的直径必过球心，所以B错误； 因为球的任何截面都是圆面，所以C错误； 球常用表示球心的字母表示，故D错误. 故选：A. 【例2.7.】 （多选）下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台定义和特点来分析即得. 【详解】若在圆柱上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，故选项A错误； 由圆锥母线的定义可知选项B正确； 圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知选项C错误； 因为圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故选项D正确. 故选：BD. 题型3：简单的组合体问题 方法提炼 (1) 简单组合体的识别方法： 根据简单组合体构成的两种基本形式，弄清楚它是由哪些简单几何体（柱、锥、台、球）构成.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或截面）. (2) 分析不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征 ①分割：将原图形适当地分割成常见的矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形. ②定形：根据圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 【例3.1.】 指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【答案】答案见解析． 【难度】0.85 【知识点】组合体的构成 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体； 第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱． 【例3.2.】 下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【详解】根据旋转体的定义选D 【例3.3.】 将正方体截去四面体后，余下的多面体与原正方体比较，未发生变化的是（   ） A．顶点数 B．棱数 C．面数 D．表面积 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】判断正方体的截面形状、多面体的性质探究、组合体截面的形状、求组合多面体的表面积 【分析】分别计算原正方体和截去四面体后余下多面体的顶点数、棱数、面数、表面积，对比得到未变化的量. 【详解】对于A：原正方体共个顶点，截去四面体后，顶点被切除，剩余顶点数为，发生变化，排除A； 对于B：原正方体共条棱，截去四面体后，原来的、、这条棱被切除；同时切面新增、、这条棱，总棱数为，和原正方体棱数相等，未发生变化，B正确； 对于C：原正方体共个面，截去四面体后新增1个切面（三角形面），总面数变为，发生变化，C错误； 对于D：原正方体表面积为，截去后原三个面共减少面积，新增切面面积为，总表面积减小，发生变化，D错误. 【例3.4.】 已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】组合体的构成 【分析】结合正四面体的性质，根据几何图形判断即可. 【详解】正四面体各棱中点连线构成正八面体，如图18 在正四面体中，平面，共面， 故把正四面体和正八面体合成后只有7个面．    故选：A 【例3.5.】 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】组合体的构成 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【例3.6.】 如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】组合体的切接问题、组合体截面的形状 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 【例3.7.】 （多选）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】棱锥的结构特征和分类、组合体截面的形状 【详解】截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面； 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面； 如图③，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面． 故选BCD. 题型4：几何体中的基本计算 方法提炼 (1) 正棱锥（以正四棱锥为例）中要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高的概念，以及高与侧棱、高与斜高所构成的两个直角三角形（和），有关证明及计算往往与这两者有关。 (2) ①正四棱台中要掌握轴截面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中。②将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来. (3) 研究圆柱、圆锥、圆台等相关问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. (4) 圆台问题有时还需要还原为圆锥问题来解决 【例4.1.】 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆锥中截面的有关计算、柱、锥、台体的轴截面 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 【例4.2.】 如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、棱柱及其有关计算 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设点P到直线AB的距离为h，因为，， 则. 故选：A. 【例4.3.】 如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】由题可知四棱台为正棱台，设上底边长为，在侧面中可得斜高，再由正四棱台的特性可知就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角，得到，解方程即可得到上底边长. 【详解】根据题意，四棱台为正棱台，设中点为，上底边长为， 在侧面中，为斜高，又， 所以， 在正棱台中，， 所以就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角， 在四边形中，，则， 过作交于， 所以， 解得，即上底边长为25. 故选：C. 【例4.4.】 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥中截面的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 【例4.5.】 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______ ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】组合体的切接问题、球的截面的性质及计算 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 题型5：空间几何体的展开图及最短路径问题 方法提炼 (1) 常见几何体的侧面展开图： 　 (2) 求基本立体图形表面上两点间的最短距离时，一般是沿某棱将侧面展开，画出其展开图，转化为求平面上线段的长度. 【例5.1.】 已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥的结构特征辨析、余弦定理解三角形 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为， ∵底面半径为， ∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ∴扇形圆心角的弧度， 母线上的点展开后为扇形上的，为该质点运动的最短路径，且， 由余弦定理得， 解得． 【例5.2.】 正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.5 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用展开平面和两点之间线段最短求解. 【详解】 因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面，此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 【例5.3.】 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 【例5.4.】 已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正棱锥及其有关计算、棱锥的展开图 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 【例5.5.】 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】棱锥的展开图 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 【例5.6.】 在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱台的展开图、棱台的结构特征和分类 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    【例5.7.】 如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【例5.8.】 如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.56 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 【例5.9.】 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台的展开图 【详解】如图1，在圆台的轴截面中作于点. 设，由题意得，， 由勾股定理可得，解得，所以. 侧面展开图如图2，的长为，的长为， 所以，又，所以， 所以，所以. 【例5.10.】 半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】棱锥的展开图、组合体表面两点间的最短路径 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【例5.11.】 我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $