精品解析：安徽蚌埠市2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学（人教A版）A

2025级高一4月期中质量检测 数学（人教A版）A 满分150分，时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， ． 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由棱锥的定义判断A正确； 对于B，只有当平面与底面平行时，所截部分才是圆台，故B错误； 对于C，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱才是正四棱柱，故C错误； 对于D，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故D错误． 5. 已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，则， 所以在上的投影向量为. 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设复数（，），由， 得，两边平方得， 解得，故复数的虚部为． 7. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换的综合应用，通过三角形内角和与正弦定理，将边转化为同一个角，利用基本不等式求出最后的最小值. 【详解】在中，，由，则，所以. 因为，，即，所以， 则，即， 化简整理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由，则，符合条件，所以的最小值为3. 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干恒成立的条件，求出，再利用向量三角不等式求出最小值. 【详解】解：由题意得，，由， 得，即，化简得. 令，开口向上，要使恒成立，则， 解得. 又， ， 所以的最小值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得，，即， 则， 则，故A正确；，故B正确； ，在复平面内对应的点为位于第三象限，故C错误； 设复数是关于的方程的一个根，则另一个根为， 根据韦达定理，得，所以， 所以复数是关于的方程，即的一个根，故D正确. 10. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（ ） A. B. 几何体是圆台 C. 几何体的体积为 D. 几何体的侧面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式，侧面积公式求解即可. 【详解】在四边形中，由题知是底角为的等腰梯形， 所以. 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中， 则，故A错误； 因为，则几何体是上底半径为1，下底半径为3，高为的圆台，故B正确； 几何体的体积为，故C正确； 几何体的侧面积为，故D错误. 11. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601~1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.在中，角的对边分别为，且，点是的“费马点”.记，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，结合正弦定理，三角恒等变换得即可判断；对于B，根据等边三角形费马点与中心重合求解判断；对于C，结合题意得，再根据等面积法得判断；对于D，结合C选项，根据余弦定理得或，进而利用余弦定理得，最后求得即可得答案. 【详解】对于A，因 由正弦定理，可得. 因， 代入整理得：， ，即， ∵，，解得，故A正确； 对于B，为正三角形，边长， 此时费马点与三角形的中心重合，则，故B正确； 对于C，设，，， 则，故得. ∵， ∴，解得，故C正确； 对于D，由余弦定理得， ， 又，联立解得或. 在中，由余弦定理得，或， ∵，∴， 所以， 即，，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设（，），则， 则， 所以，，即． 13. 已知为的重心，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律求解. 【详解】如图，延长交于点，则为的中点， . 14. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【解析】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若外接圆的半径为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得. 由正弦定理， 为 外接圆半径. 所以，即， 由余弦定理，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为所以或. 因为所以， 由正弦定理， 为 外接圆半径. 外接圆的半径为，得 所以的面积 16. 已知复数. （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； （3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以，即，解得. 【小问2详解】 因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，则； 当时，，则， 所以. 因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且，解得且， 即实数的取值范围是. 17. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）先求出 ，再根据向量的数量积公式求出 、和，最后代入向量夹角公式求出夹角的余弦值； （3）先设出点的坐标，再根据平行四边形的性质得到 ，最后列出方程组求解点的坐标. 【小问1详解】 因为 且， 又因为三点共线，所以， 所以，即， 所以 ，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 所以， ， 由四边形为平行四边形得， 设，且点的坐标为，则， 所以，解得， 即. 18. 如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. （1）若，求该几何体的体积与表面积； （2）若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 【答案】（1）体积为312，表面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）应用棱锥、棱柱的体积公式求几何体的体积，过点作，垂足为，再求出各侧面的面积后可求出表面积； （2）将侧面和侧面展开，从而确定最小值为展开图中三点共线时最小值，再根据已知、解三角形及三角恒等变换求出相关线段的长及最小值，即可得. 【小问1详解】 由题意得，正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以该几何体的体积为. 过点作，垂足为，则， 则正四棱锥的侧面积， 正四棱柱的侧面积， 正四棱柱的下底面的面积， 所以该几何体的表面积为. 【小问2详解】 如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段的距离. 由题可知. 连接，则， 所以. 过点作于，则. 记， 则， ， 所以 ， 所以为锐角， 因为，故，故为锐角，所以为锐角， 故在上的投影在之间， 又， 所以. 即的最小值为. 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求证：； （2）当，时，求面积的最大值； （3）若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】（1） 由是锐角三角形，得，，， 则，因为在上单调递增， 所以， 又在上单调递减，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用角的范围结合正弦函数单调性及诱导公式计算证明； （2）根据已知化简，再应用两角和正切公式求出角，再应用余弦定理结合基本不等式计算得出面积的最大值； （3）结合新定义及角的范围计算求值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 得， 则， 又，所以． 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以． 即面积的最大值为． 【小问3详解】 因为，所以， 又因为， 所以， 所以，，均为整数． 因为，所以， 所以，所以，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一4月期中质量检测 数学（人教A版）A 满分150分，时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 5. 已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个根 10. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（ ） A. B. 几何体是圆台 C. 几何体的体积为 D. 几何体的侧面积为 11. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601~1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.在中，角的对边分别为，且，点是的“费马点”.记，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则______． 13. 已知为的重心，，则__________. 14. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若外接圆的半径为，求的面积. 16. 已知复数. （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； （3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 18. 如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. （1）若，求该几何体的体积与表面积； （2）若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求证：； （2）当，时，求面积的最大值； （3）若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $