精品解析：安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下学期第六次联考数学试题

2024-2025学年第二学期蚌埠市A层高中第六次联考 高一数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 直线与内的任意直线均异面 D. a，b，l交于一点或互相平行 4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（    ） A. B. C. D. 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得“望淮塔”塔顶A的仰角为60°，则“望淮塔”高（ ） A. B. C. D. 60m 7. 下列命题不正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设复数为，则下列命题正确的是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确是（ ） A. 一个棱柱至少有5个面 B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C. 若平面内任意直线和平面平行，则平面平面 D. 若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直 11. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则的值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则与向量方向相同的单位向量为_____. 13. 已知是关于方程的一个根，则______． 14. 如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求值． 16. 若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域． 17. 如图，，是线段中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. （1）求证：为定值，并求这个值； （2）若，，且，，求，的值. 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数. 19. 我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题. （1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长； （2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：； （3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期蚌埠市A层高中第六次联考 高一数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：A. 2. 已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求. 【详解】 由题意可得， 由正弦定理可得，可得， 在上的投影为， 所以在上的投影向量为， 即在上的投影向量为. 故选：A． 3. 已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 直线与内的任意直线均异面 D. a，b，l交于一点或互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】令a，b共面，分或进行判断. 【详解】令a，b共面，则， 若，，，则， 又，，所以，则； 若，则，而，所以， 所以a，b，l交于一点， ，b，l交于一点或互相平行. 故选：D 4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换和诱导公式推得，，再逐一检验各选项即可. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位后得到函数， 所以，则，，，， 对于A，若，代入得，故A错误； 对于B，若，代入得，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，若，代入得，故D错误. 故选：C. 5. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得“望淮塔”塔顶A的仰角为60°，则“望淮塔”高（ ） A. B. C. D. 60m 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到 【详解】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C. 7. 下列命题不正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断AC，再由和诱导公式判断BD. 【详解】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 8. 如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案. 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是重心， ，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设复数为，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义，复数的模及复数的运算逐项求解判断. 【详解】对于A，，又，所以，故A正确； 对于B，，又，故B错误； 对于C，，又，故C错误； 对于D，因为，又，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有5个面 B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 C. 若平面内任意直线和平面平行，则平面平面 D. 若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用棱柱的几何特征可判断A选项；利用圆锥的几何特征可判断B选项；利用面面平行的定义和线面平行的性质定理可判断CD选项，. 【详解】对于A选项：一个棱柱最少有5个面，且此棱柱为三棱柱，故A正确； 对于B选项：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两 个圆锥拼接而成的组合体，故B错误； 对于C选项：若平面内任意直线和平面平行，则平面内任选两条相交直线与平面平行，由面面平行判定定理可知平面，故C正确； 对于D选项：若直线平行于平面，则在平面内存在直线，使得， 则在平面内垂直于直线的直线都垂直于直线，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则的值为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得且， 所以当且时与的夹角为锐角，故B错误； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，由题意得，. 因为，所以，解得， 当时，，， 此时，，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则与向量方向相同的单位向量为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量，进而求出与其同向的单位向量. 详解】依题意，， 所以与向量方向相同的单位向量为. 故答案为： 13. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】38 【解析】 【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可. 【详解】将代入方程 得， 所以，所以. 故答案为：38 14. 如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点F，则截面四边形的周长的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据对称性截面四边形的周长的最小值，即取最小，再利用侧面展开图，当B，E，三点共线时，最小即可求解. 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长，沿将右面和后面相邻两面展开， 当B，E，三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得. （2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果. 【小问1详解】 因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为， 由三角函数定义， 【小问2详解】 16. 若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象两条相邻对称轴之间的距离可求出周期，并利用周期公式可求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的范围，可求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）根据图象的平移规律得出，由，计算出的取值范围，结合正弦函数的性质可求出函数的值域. 【详解】（1）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 记的周期为，则， 又，，. 函数的图象经过点，， 则，. 函数的解析式为； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 由（1）得，， 函数的解析式为. 当时，，则. 综上，当时，函数的值域为. 【点睛】本题考查三角函数解析式求解，同时也考查了利用三角函数图象变换，以及三角函数在定区间上的值域，考查计算能力，属于中等题. 17. 如图，，是线段中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. （1）求证：为定值，并求这个值； （2）若，，且，，求，的值. 【答案】（1）证明见解析，定值为6； （2），. 【解析】 【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【小问1详解】 由，得， 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，， 因此，而M，E，N三点共线，则，即 所以为定值，此定值为6. 【小问2详解】 由，，得， 由（1）知，，， 因此， 又，则，，由（1）知，解得，， 所以，. 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，中点，为等腰直角三角形，且. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定定理进行证明； （2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果. 【小问1详解】 连接，则为中点，又点为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如图所示， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则，即，所以. 19. 我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题. （1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长； （2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：； （3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）按比例设边，算半周长，用海伦公式得面积含表达式，由已知面积求，进而求得大于60°的角所对的边长. （2）用面积与、关系及海伦公式得表达式，换元后用均值不等式证明. （3）在两个三角形用余弦定理得等式①，算四边形面积得等式②，①②平方相加，用三角函数性质和不等式推导，结合半周长得面积最大值及取等条件. 【小问1详解】 已知，设，，，， 半周长. 根据海伦公式，把值代入得. 又已知面积为，即，解得， 因为，所以，故， 所以所求边. 【小问2详解】 由，，结合， 可得. 设，，，则. 根据均值不等式，，， 所以， 即，当即时等号成立. 【小问3详解】 连结BD，在、中对BD算两次， 用余弦定理得， 化简得①式. 四边形面积， 化简得②式. 将①、②平方相加，利用及不等式， 得到， 故. 即 因为，所以， 当，即四边形是圆内接四边形时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$