5.3分式方程的运用-【导学练评】 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦分式方程的实际应用，课堂导入通过“房屋出租租金”情境，先复习解分式方程的思路与步骤，引导学生找出相等关系并提出问题，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于情境贴近生活（如非遗工艺品加工、居民水费调整等），培养学生用数学眼光观察现实世界，例题与练习强调分析数量关系和列方程步骤，发展数学思维（推理能力），通过建立分式方程模型解决实际问题，提升数学语言表达能力（模型意识），分层习题设计满足不同学生需求，答案解析详细助力自主学习。

5.3分式方程的运用-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题 2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱. 学习重点： 建立分式方程模型解决实际问题 学习难点： 根据数量关系正确地列出分式方程 1.解分式方程的思路是什么? 2.解分式方程的一般步骤是 一、创设情境、导入新课某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6 万元，第二年为 10.2万元。 1、你能找出这一情景中的相等关系吗? （1) . （2) . （3) . Ⅱ、根据这一情景你能提出哪些问题? （1) . （2) Ⅲ、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 二、合作交流、新知探究 例题1 1．师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 例2 2．某市从今年1月 1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨三分之一。小丽家去年 12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年 12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。 例2 3．某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后（搅匀)销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克 17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克? 【强调】:分式方程解应用题的一般步骤： （1)审：审题，明确题意和题目中的数量关系； （2)设：用字母表示题目中的未知数； （3)找：找出表示题目全部含义的相等关系； （4)列：根据相等关系列出分式方程； （5)解：解分式方程得未知数的值； （6)验：检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际； （7)答：写出答案，包括单位。 一、基础达标1： 4．解分式方程 时，去分母后正确的是（　　) A．2=1-x（x-1) B． C． D． 5．方程 的解为（　　) A．x=-1 B．x=5 C．x=7 D．x=9 6．分式方程 的解是（　　） A． B． C． D． 7．若x<2，且 则x=　 　 . 8．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　 　台机器． 9．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成这一任务。实际每天铺设多长管道? 设：计划每天铺 xm.则实际每天铺1.25x，列方程得：（ ). 二、能力提升1： 10．如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是 且点B到 A，C的距离相等，则x=　 　 11．若关于 x 的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为　 　. 三、拓展迁移1： 12．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10 000 元采购A型丝绸的件数与用8000 元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多 100元. （1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元? （2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于 16 件，设购进A型丝绸m件. ①求m的取值范围； ②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n元/件.如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元)与n（元)的函数关系式.（每件销售利润=售价-进价-销售成本) 分式方程解应用题的一般步骤： 1、审题，明确题意和题目中的数量关系； 2、用字母表示题目中的未知数； 3、找出表示题目全部含义的相等关系； 4、根据相等关系列出分式方程； 5、解分式方程得未知数的值； 6、检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际； 7、写出答案，包括单位。 四、基础达标2： 13．分式方程 的解为（　　) A．x=1 B．x=2 C．x=-1 D．无解 14．若关于 x的分式方程 有增根，则m的值是 （　　) A．1 B．-1 C．2 D．-2 15．若关于x的分式方程 无解，则m的值为　 　. 16．分式方程 的解是　 　. 17．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720 元购买甲种水杯的数量和用540 元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元. 如设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是　 　 如设乙种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是　 　 18．某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务.若设原计划每天修水渠x米，则可列方程为　 　 19．质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有 48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂产品的合格率高5%，设乙厂的合格率为x，列方程得　 　 五、能力提升2： 20．若关于的方程无解，求的值. 六、拓展迁移2： 21．为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔.某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元. （1）第一批头盔的进货单价是多少元? （2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 4200元，那么销售单价至少为多少元? 答案解析部分 1．【答案】解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品 （x+10)个，根据题意，得 解这个方程，得x=40。 经检验，x=40是所列方程的根。 40+10=50。 所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品40个。 2．【答案】解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得 x=1.5 经检验，x=1.5是所列方程的根. 答：该市今年居民用水的价格为2元/m3 3．【答案】解：设这包甲种糖果为x千克，根据题意，得 解这个方程，得x=6 经检验，x=6是所列方程的根. 答：这包甲种糖果有6千克. 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 【解析】【解答】解： ， ∴ ， 经检验： 是原方程的解； 故答案为：D. 【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可. 7．【答案】1 8．【答案】200 【解析】【解答】解： 设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台． 依题意得： = ． 解得：x=200． 检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0． ∴x=200是原分式方程的解． ∴现在平均每天生产200台机器． 故答案为：200． 【分析】 设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．根据工作时间=工作量÷工作效率先求出生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间，然后根据生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同列出方程，解方程并检验即可得出答案。 9．【答案】 10．【答案】6 11．【答案】 12．【答案】（1）解：设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x+100)元，根据题意，得 解得x=400. 经检验：x=400 为所列方程的解. ∴x+100=500. 答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元. （2）解：①根据题意，得 ∴m的取值范围为 16≤m≤25. ②根据题意，得 w=(800-500-2n)m+(600-400-n)·(50-m)=(100-n)m+10000-50n. ∵50≤n≤150， ∴(Ⅰ)当50≤n<100时，100﹣n>0，∴m=25时，销售这批丝绸的最大利润w=25(100﹣n)+10000-50n= - 75n+12500. (Ⅱ)当n=100时， 100-n=0， 销售这批丝绸的最大利润w=5000. (Ⅲ)当100<n≤150时， 100﹣n<0.∴m=16时， 销售这批丝绸的最大利润w=﹣66n+11600. 13．【答案】D 14．【答案】C 15．【答案】0或±4 16．【答案】x=3 17．【答案】； 18．【答案】 19．【答案】 20．【答案】解：方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时，， ∵关于x的方程无解， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上：m的值或或 【解析】【分析】将原分式方程去分母转换为整式方程，先令一元一次方程无解得出的值，然后表示出的值，根据原方程无解可得，分别代入计算即可得出结果． 21．【答案】（1）解：设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x+20)元. 根据题意，得 解得x=60. 经检验，x=60是原方程的根，故符合题意. 答：第一批头盔的进货单价为60 元. （2）解：设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为 (个)， ∵总利润不少于4 200元， ∴120y-(1800+7200)≥4200， 解得y≥110. 答：销售单价至少为110元. 学科网（北京）股份有限公司 $