5.3分式方程-【导学练评】 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

5.3分式方程-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、理解分式方程的概念，根据实际问题建立分式方程的数学模型。 2、体会分式方程到整式方程的转化思想。掌握分式方程的解法。 3、培养学生的数学转化思想。培养学生的观察、类比、探索的能力。 学习重点： 解分式方程的基本思路和解法. 学习难点： 理解解分式方程时可能无解的原因 1.什么是方程? 2.什么是方程的解? 3.什么是一元一次方程? 4.解一元一次方程的步骤? 活动一：探究分式方程的定义 将以下方程进行分类 （2)2y+3（y-3)=6 学过的方程： . 没学过的方程： . 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程满足条件：1、是方程；2、方程中含有分数；3、分母中含有未知数。 小试牛刀 下列代数式哪些是分式方程?哪些是整式方程? 活动二：列分式方程 1、京张高速铁路正线全长174km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少h. （1)你能找出这一情境中的所有等量关系吗? （2)如果设乙列车的平均行驶速度是 xkm/h，那么x 满足怎样的方程? （3)如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 yh，那么y满足怎样的方程? （1)等量关系： =2 = （2)如果乙列车的平均行驶速度为 xkm/h，那么x 满足怎样的方程? （3)如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 yh，那么y满足怎样的方程? 2、为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程? 活动三：解分式方程 例题1 1．解方程： 2．解方程： 3．解方程： 交流讨论产生增根的原因?方程两边乘以 （x-2)是分母为0的整式 【强调】因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需要检验所得的根是否使原分式方程中的分母的值等于0就可以了。如例题1 中可以简写成经检验x=3是原方程的根。 4．解方程： （1） （2） 一、基础达标1： 5．分式方程 的解是　 　． 6．已知x=3是关于x的方程 的一个解，则k=　 　. 7．（1）当m=　 　时，解分式方程 会出现增根； （2）若分式方程 有增根，则增根为　 　. 8． 解方程 时，去分母，方程两边同乘的最简公分母为 　 　. 9．如果关于x的分式方程 有增根，那么m的值为（　　) A．- 3 B．3 C．4 D．10 10．分式方程 的解为（　　) A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x= - 2 11．已知关于x的分式方程 =1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2 12．解分式方程 （1） （2） 二、能力提升1： 13．已知关于x的分式方程 ①若方程的增根为x=1，求m的值； ②若方程无解，求m的值. 三、拓展迁移1： 14．一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，求江水的流速. 1、分式方程的定义。 2、列分式方程的关键是什么? 3、解分式方程的基本思路是什么? 4、为什么解分式方程要检验? 5、如何对分式方程的根进行检验? 6、本节课用到的数学方法：类比、转化。 四、基础达标2： 15．解方程时，去分母得(　　) A．（x-1）（x-3）+2=x+5 B．1+2（x-3）=（x-5）(x-1) C．(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D．(x-3)+2(x-3)=x-5 16．方程 的解为（　　）. A．x=-1 B．x=0 C．x= D．x=1 17．分式方程 的解是（　　） A． B． C． D． 18．关于x的分式方程 的解是负数，则字母m的取值范围是（　　) A．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2 19． 当x=　 　 时， 与 的值相等. 20．分式方程 的解为　 　. 21．方程 的解为x=3，则a的值为　 　. 22．若分式方程 有增根，则这个增根是　 　 23．解分式方程 （1） （2） 五、能力提升2： 24．已知方程的解为y=k，求关于x的方程的解. 六、拓展迁移2： 25．某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克? 答案解析部分 1．【答案】解：（1）去分母，方程两边同乘x(x-2)，得：x=3(x-2) （2）去括号，得x=3x-6 （3）移项，得x-3x=-6 （4）合并同类项， 得-2x=-6 （5）使x的系数化为1，得x=3 （6）检验将x=3，代入原方程 左边=1，右边=1，左边=右边 所以X=3是原方程的根。 2．【答案】解：（1）去分母，方程两边同乘6x，得：1044-522=5x （2）合并同类项， 得5x=522 （3）使x的系数化为1，得x=104.4 （4）检验将x=104.4，代入原方程 左边= ，右边= ，左边=右边 所以x=104.4是原方程的根。 3．【答案】解：去分母：方程两边同时乘以x-2，得 1-x=-1-2（x-2） 1-x=-1-2x+4 X=2 检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2不是原方程的解． ∴原方程无解． 【解析】【分析】首先去分母将分式方程化成整式方程，然后解整式方程求出x的值，注意需要检验整式方程的值是否使分式方程中所有的分母有意义，若都有意义，则是分式方程的解，否则是分式方程的增根. 4．【答案】（1）解：两边乘以 x（x+20)得 4800x+9600 =5000x 移项、合并得 300x=9600 化系数为 1得x=32. 经检验 x=32是原方程的解 （2）解：两边乘以 （y-3) 得 y-2=2（y-3)+1 解得y=3 经检验 y=3是增根 所以原方程无解 5．【答案】x= 【解析】【解答】 方程左右两边同乘x－2，得 3－x－x=x－2． 移项合并同类项，得 x= ． 经检验， x= 是方程的解． 故答案为： x= ． 【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可． 6．【答案】2 7．【答案】（1）2 （2）1 8．【答案】3x(x+1)(x﹣1) 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】D 【解析】【解答】 =1， 解得：x=m﹣3， ∵关于x的分式方程 =1的解是负数， ∴m﹣3＜0， 解得：m＜3， 当x=m﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2， 故m的取值范围是：m＜3且m≠2， 故答案为：D． 【分析】把m作常数解出方程的解x=m﹣3，又根据原方程的解是负数，得出m﹣3＜0，且m﹣3≠﹣1，求解得出m的取值范围。 12．【答案】（1）解：两边乘以 (2x-3)得 x-5=8x-12 解得x=1 经检验x=1是原方程的解 经检验x=1是增根 所以原方程无解。 （2）解：两边乘以 (y-3)得 y-2=2(y-3)+1 解得y=3 13．【答案】解：方程两边都乘(x+2)(x-2)， 并整理， 得(m+1)x= - 5. ①∵x=1是分式方程的增根， ∴1+m=﹣5.解得m=﹣6. ②当m+1=0时， 该方程无解， 此时m=-1； 当m+1≠0时， 要使原方程无解， 则x=1或x=-2. 当x=1时， 由(1)得m=-6； 当x=-2时， 则-2(m+1)=-5， 解得m=1.5. 综上， m的值为-1或-6或1.5. 14．【答案】解：设江水的流速为 xkm/h，根据题意，得 解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解. 答： 江水的流速为10km/h 15．【答案】C 【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x-1)（x-3)，方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程。 【解答】方程两边同乘（x-1)（x-3)得(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)， 故选C. 【点评】去分母时，方程两端同乘最简公分母时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式)作为一个整体加上括号。 16．【答案】D 【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x（x+3）得 X+3=4x 解之：x=1 经检验：x=1是原方程的根。 【分析】将方程两边同时乘以2x（x+3），将分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可求解。 17．【答案】D 【解析】【解答】解： ， ∴ ， 经检验： 是原方程的解； 故答案为：D. 【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可. 18．【答案】B 19．【答案】-7 20．【答案】5 21．【答案】5 22．【答案】x=1 【解析】【解答】两边都乘以x-1，得 x+m=2x-2， ∵方程有增根， ∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=-1， 故答案是：x=1. 【分析】将m看做常数，解分式方程，分式方程有增根，即当x=1时，分母为0，所以有增根，方程的解不等于1 即可. 23．【答案】（1）解：两边乘以x-4得3-x-1=x-4 解得x=3 经检验x=3是原方程的解 （2）解：两边乘以x(x+1)得6x=x+5 解得x=1 经检验x=1是原方程的解 24．【答案】解：方程的两边都乘y2-9， 得y-(y+3)=3(y-3). 解这个方程，得y=2. 经检验，y=2是是原分式方程的解 所以k=2.所以 解得x=-11 25．【答案】解：亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为： 解得： x=0.3 经检验x=0.3是原方程的解 0.3×1.5=0.45 (万千克) 答：原计划平均每亩产量0.3万千克，改良后平均每亩产量0.45万千克。 学科网（北京）股份有限公司 $