甘肃渭源县第一中学2025-2026学年第二学期期中考试数学试卷高二数学

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦函数、概率、立体几何等核心知识，通过统计案例、导数应用等综合性问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，体现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、三角函数|基础概念辨析，如集合运算、复数象限判断| |多选题|3/18|函数性质、概率、椭圆|多角度考查，如函数零点范围、椭圆离心率应用| |填空题|3/15|二项式定理、排列组合|情境化设计，如兴趣课选课方案计算| |解答题|5/77|数列、统计案例、立体几何、圆锥曲线、导数|综合性强，统计题结合用户温度调查，导数题考查极值与切线，体现应用意识与逻辑推理|

2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源一中期中考试数学试卷学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．在直角三角形中，若，，，则为（    ） A．3 B．6 C．－3 D．－6 5．已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（    ） A． B． C． D． 6．把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 10．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数为___________． 13．某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 14．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 四、解答题（共77分） 15（13分）．已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 16（15分）．为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：. 17（15分）．如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18（17分）．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为． （i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围； （ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 19（17分）．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且 第1页共4页 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 2 4 5 6 8 9 10 答案 D 9 B 0 C C AD BC 题号 11 答案 ABD 12.1 13.36 4(得[劉 15.(1)因为an+1-an=1, 所以数列{an}是以a,=-7为首项，1为公差的等差数列 所以an=a,+(n-1d=-7+(n-1)×1=n-8, 8=网+™24-ng1-- 2 N. (2)由(1)知an=n-8,公差d=1>0,故数列an}是递增数列. 令an=0,解得n=8 所以当n≤7时，an<0;当n=8时，an=0;当n≥9时，an>0 当n≤8时，=la+la++la.=-(a+a,t+a,)=-3.=-n-15n.-m2+15n -n, 2 2 2 当n≥9时， Tn=la,+a2+…+ag+ag+…+an=-(a1+a2+…+ag+(ag+…+an） =-Sg+S。-Sg)=Sn-2Sg, 因为5，=8-15x8.-28, 2 所以7=n-15-2x-281=n2-15n+56=2-15 n+56 2 2 2 2 综上所述，数列{an}的前n项和T,为： -n,l≤n≤8 T= (nEN'). r-+6a≥9 16.(1)依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于24C的女性用户 答案第1页，共2页 有×200=150人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于24℃的人数为400×号=100， 列联表如下： 最佳舒适温度 性别 合计 ≥24°C <24°C 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为H。:修改为“认同取暖器最佳舒适温度'不低于24C与性别无关 根据表中的数据，计算得到x2_400×(50x100-100x1502 80 ≈26.7， 2002×250×150 3 因为26.7>3.841，所以根据小概率值=0.05的独立性检验，有充分证据推断H。不成立， 故此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于24C与性别有关； (2)由第1问得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于24C的用户中男性有100人，女性有50 人， 收2人全少有1名安为PCCC0009 2 =83 150×149 149 17.(1)证明：因为四边形ABQP是矩形，所以PA⊥AB, 又平面ABQP⊥平面ABCD,平面ABQP∩平面ABCD=AB,PA∈平面ABOP, 所以PA⊥平面ABCD, 因为AD,ACC平面ABCD, 所以PA⊥AD,PA⊥AC, 因为△PAC是等腰三角形，所以PA=AC=4, 又AB=BC=22,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC, 因为AD∥BC,所以AB⊥AD, 又PA∩AB=A,ABc平面ABQP,PAC平面ABQP, 答案第1页，共2页 所以AD⊥平面ABQP, (2)由(1)知，直线AB,AD,AP两两垂直， D公 B主 以A为原点，分别以直线AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则A(0,0,0,B22,0.0,C(22,22,0）,P(0,0,4), 所以AC-22,2V2,0，Ap=(0,0,4),Bp=-22,0,4,BC-(0,22,0 AC.m=2√2x+2√2y=0, 设平面PAC的一个法向量m=(x,y,z),则 AP.m=4z=0, 取x=1,得y=-1,2=0,所以m=(1,-1,0 BCi=2√2b=0, 设平面PBC的一个法向量i=(a,b,c,则 Bp.n=-2V2a+4c=0, 取a=2,得b=0,c=1,所以i=N2,0,, 所以cosm,列= m厉√2×53 所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为V5 181已知横圆C若+卡1《a>b>0)的短继长为2，枚26=2，解61. 离心率e=c=5,则a2=b+c2=1+ 2a 整理得a2=2, a 2 之图c号 (2) 答案第1页，共2页 M F O ①椭圆右焦点F0),设过乃的直线：=(x-,kER,联立椭圆方程C:号+y=1 得日F-2x4-10, 设M(x,y),Nx,y),中点Ax4,y4),由韦达定理得 2k24k2 x1+k21+2k2 ==小 x4=古+5=2k2 2k2 2 TM =TN, .T(t,0在MN的垂直平分线上， 设垂直半分线的斜车为气，则=，解符气= 故垂直平分线的方程为y-少=x-小， 令-.1+，代入得+个小 k2 1 则11+2k1 2 当k=0时，t=0; 当k≠0时， 1 1 +2>2,0<1<2 (①>已知直线，的斜率分别为，点，且=由①可知， 2K2 k 2k好k2 的中点A 1+2k2’1+2k2 ☑2的中点B 1+21+2ξ 答案第1页，共2页 1 由6，=k0)则x6= (2k 2k 1 1+2k2 1+2 1 k y8=-- 2k1 171+2k, 1+2 2k 1, B 1+2北'1+26” k k kB=少、 1+2K2 、1+2k2 2k1 XB-XA 1 2k2 1-262’ 1+2k21+2k2 k。2k1 直线AB的方程为y1+2K1-2 1 X- 1+2k 整理得=2-小， 令2-1=0，解得x此时7=0，与6无关， :直线AB与k无关，故直线AB过定点 19.（1)因为fx=x+alnx(aeR,则fx)=1+9=x+0气(x>0, 当a≥0时，f'(x>0,此时函数f(x在(0，+o)上单调递增，函数f(x无极值点，不符合 题意； 当a<0时，由f'(x)>0可得x>-a,由f'(x)<0可得0<x<-a, 此时函数∫x)在(0，-a)上单调递减，在(-a,+o)上单调递增， 则函数f(x有极小值点x=-a,故f(x的极小值为f(-a)=-a+aln(-a, 因为函数fx)无零点，所以aln-a)-a>0,即ln-a-1<0,即0<-a<e,解得 -e<a<0, 综上，a的取值范围为-e,0). 答案第1页，共2页 (2)由f(x)的图象在区间 公2]内存在两条互相垂直的切线。 可知存在m、， 公2 使得f'(mf'(n=-1. 当a20,则f'(x>0,不符合题意. 当a<0时，∫'(x)在(0，+o)上单调递增. 所以在[2内胸值域为日2到 1 所以，由题意可得」 +a2+a_(4a+(a+2<-1, r川2-42 2 整理可得4a2+9a+4<0,解得_9+ 79-7 8 -<a< 8 9+√179-√17 因此，a的取值范围为 8 8 (3)(x)=f(x)-bcosx=x+alnx-bcosx,g)=1+4+bsinx, 因为0<b<1,所以1+bsinx≥1-b>0. 当a≥0时，g'(x)>0,gx)在(0，+∞)上单调递增，不符合题意，所以a<0. g(x)=g(x2),a(Inx:-Inx2)=b(cosx-cosx2)-(x-x2). 设h(x=x-cosx,则h'(x)=1+sinx≥0，所以h(x在R上单调递增. 又因x>x2,所以x-C0sx>x2-C0sx2, 所以cosx-cosx2<x-x2,所以b(c0sx1-c0sx2)<b(x-x2), 所以a画一<6-明小，所以总6号 pn--0-, 因为当t>1时，p'(<0,所以p(在[1，+∞)上单调递减， 又因为p)=0,所以当>1时，p<0,即<1 答案第1页，共2页 因为 区>1，所以n5<及-E,即s-1x<, 又因>>0，所以乐，所以函号 又丙为压>0，号20.所以5品广 答案第1页，共2页