06：二项分布超几何分布与正态分布【题型讲义】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习06：二项分布超几何分布与正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二项分布均值与方差的性质的小题计算】 【练方法】 解题方法 1先判定分布类型：满足独立重复试验每次试验只有两种结果概率不变则为二项分布 2直接套用核心公式：均值方差 3若则利用线性性质快速计算 4已知均值方差求参数：列方程组解出 （25-26高二下·山西·期中）从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到变量，结合二项分布的期望和方差，即可求解. 【详解】由题意，有放回地摸取5次，其中每次摸到白球的概率为， 其中摸得白球的次数为随机变量，则， 因为，可得，解得，即， 所以. （25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 【多选题】（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ）小试牛刀1 A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． （25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 【多选题】（2026·重庆·二模）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意求得随机变量的期望与方差，设随机变量为面试完成后答对题的数量，根据二项分布的期望与方差公式求得，由题意可得，根据期望与方差的性质可得，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为， ， 所以， ， 记随机变量为面试完成后答对题的数量， 由题意可得随机变量服从二项分布，即， 所以， 由题意可得， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，随机变量与之间没有确定的关系，故C错误； 对于D，，故D正确. 【题型2：超几何分布的均值与方差性质小题计算】 【练方法】 解题方法 1判定分布类型：总体含两类个体不放回抽取则为超几何分布 2直接套用均值公式： 3方差公式：其中为有限总体修正因子 4近似处理：当很大很小时超几何分布可近似为二项分布 （25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______．经典例题1例题 【答案】3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. （25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 【多选题】（25-26高二下·湖南长沙·月考）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ）小试牛刀1 A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 【答案】BD 【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误； 选项，， ，， 因此，故正确。 选项，超几何分布期望公式，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质，故错误； 选项，取出个球，因此（为白球个数）. 根据方差性质，得，故正确. （25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 【多选题】（25-26高二下·全国·单元测试）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的分布列，再结合期望的定义逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，， ，，故A，B正确，C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 【题型3：二项分布中的最大概率问题】 【练方法】 解题方法 1设概率 2利用相邻项比值法：令解得 3结论： 若为整数则和时概率最大 若不为整数则（向下取整）时概率最大 4直接计算：代入附近的整数比较概率大小快速秒杀 （25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的 值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知， ， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. （24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ）经典例题2例题 A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 （25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大.小试牛刀1 【答案】7或8 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. （2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． （25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ）小试牛刀3 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 【题型4：二项分布应用题】 【练方法】 解题方法 1建模判定：确认试验为独立重复试验每次结果只有两种概率不变 2设变量：设为事件发生的次数则 3列概率：根据题意写出所求事件的概率表达式如 4计算：利用二项分布概率公式或利用互补事件简化（如） （2026届山东日照市高三模拟考试数学试题）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．经典例题1例题 (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）分布列为 0 1 2 3 4 期望值； (2) 【分析】（1）（i）由全概率公式求解出答案；（ii）由二项分布的知识进行求解； （2）根据题意得到不等式，求出的最小值 【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则. （ii）由题意得，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 故 （2）由（1）知，设， 由题意得，，解得， 即，解得，故的最小值为 （25-26高二下·浙江舟山·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．经典例题2例题 (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品， 则． （2）用C表示机器人是乙品牌，用D表示机器人是丙品牌， 则 ． （3）单次抽到的是甲品牌且不合格的概率为， 则有放回地抽取3台，设X为抽到的甲品牌不合格数量，则， 所以至多1台的概率为 ． （2026·河南信阳·模拟预测）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立.小试牛刀1 (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 【答案】(1)分布列见解析，300 (2) 【分析】（1）根据题意，的可能取值为0，20，40，60，求出对应的概率，即可列出分布列及求出方差； （2）设甲、乙的最终得分分别为X，Z，“甲得分高于乙”为事件，甲得分高于乙包括：甲得20分、30分、40分、50分、70分五种情况进行求解即可． 【详解】（1）设“甲选类题答对”为事件， 根据题意，的可能取值为0，20，40，60. ，， ， ， 所以的分布列是： 0 20 40 60 设为甲答对的类题的个数，则，且， 由，故的方差为. （2）设甲、乙的最终得分分别为X，Z，“甲得分高于乙”为事件，甲得分高于乙包括：甲得20分、30分、40分、50分、70分五种情况，这五种情况之间彼此互斥． 又， ， ， 则 ， 故． （2026·河南南阳·二模）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立.小试牛刀2 (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 【答案】(1)分布列见解析；； (2) 【分析】（1）根据题意得出，再求的分布列与方差即可； （2）根据题意得出甲的得分，求出其分布列，同理的分布列与相同，再求即可. 【详解】（1）设甲答对A类题的数量为，则，得分， ，此时；，此时； ，此时；，此时； 故的分布列为： 0 20 40 60 ， ； （2）设甲答对类题的数量为，答对类题的数量为， 则甲的得分，其中，， 设乙答对类题的数量为，答对类题的数量为，则乙的得分， 其中，，和的可能取值为， ；； ；； ；； 故的分布列为： 0 20 30 40 50 70 P 同理的分布列与相同， 故 . （广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.小试牛刀3 (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 【题型5：超几何分布应用题】 【练方法】 解题方法 1建模判定：确认是不放回抽样总体分为两类设总体容量其中一类数量抽取个 2设变量：设为抽到某类个体的数量则 3列概率：直接套用公式 4注意：超几何分布的取值范围为避免取值错误 （25-26高二下·安徽·期中）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分.经典例题1例题 (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)， (2)Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P 【详解】（1）设甲答对题目的数目为X，则， 可得，． （2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3． 则，所以Y的可能取值为，2，10，18． ；； ；． 所以Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P （2026·广东清远·二模）一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为．经典例题2例题 (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】(1)3 (2)（i）分布列： 0 1 2 ； （ii）有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【分析】（1）结合古典概型概率公式与组合数运算构造关于的方程，求解得到的值. （2）（i）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （ii）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【详解】（1）∵ 袋子中共有个球，一次摸出2个球的总情况数为，摸出2个红球的情况数为. 由古典概型概率公式得. 代入，，得，整理得. 即，解得或. 又，故. （2）（i） 由（1）得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （ii） 总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 【点睛】方法归纳：求解抽样相关的概率问题时，先准确判断抽样类型对应分布：有放回抽样对应二项分布，不放回抽样对应超几何分布，再结合题设条件转化为随机变量的取值问题，代入对应概率公式计算即可. 易错归纳：转化误差条件时注意样本比例与随机变量的对应关系，避免取值范围求解错误导致概率计算偏差. （2026·四川绵阳·三模）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数．小试牛刀1 (1)若，求的分布列； (2)若，且，求； (3)求的方差（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，最大？ 【答案】(1)的分布列为： (2) (3)当为偶数时，时最大； 当为奇数时，或时最大； 【分析】（1）先确定的所有可能取值，结合组合数计算每个取值对应的概率，进而列出的分布列； （2）根据交集元素个数为的概率公式列关于的方程，求解符合条件的正整数即可； （3）判断服从超几何分布，代入超几何分布的方差公式得到的表达式，再根据二次函数性质分析取最大值的条件. 【详解】（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为， 表示两次取的球无公共元素，取法为，，​ 表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，， 表示两次取的球完全相同，取法为，， 的分布列为： （2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有两个球的编号属于， ， 代入，则 ​ ， 化简得， 因式分解得，结合得． （3）由题，，， 则随机变量服从超几何分布，则 固定时，的大小由决定， 是开口向下的二次函数，对称轴为： 当为偶数时，​时最大； 当为奇数时，或​时最大. （25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.小试牛刀2 (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1可求得，将各组区间的中点值乘以该组的频率可求得平均数； （2）首先求出两组中的人数比，然后利用超几何分布列求解，进而利用数学期望定义求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即，解得， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为. （2）由题意知100名同学中，阅读时间在，的频率之比为， 所以抽取的6人中阅读时间在的人数为，在的人数为. 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在的人数为，则X可能的取值为1，2，3. 所以；； . 所以的分布列如下： X 1 2 3 P 所以. （2026高三·全国·专题练习）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.小试牛刀3 从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【分析】题目中是从指标值在和的产品中抽取件，表示质量指标值在[8.5,9.5]的部件数，这是典型的超几何分布，可以利用超几何分布方法求解. 【详解】指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . 【题型6：正态分布曲线的性质】 【练方法】 解题方法 1识别分布：曲线关于对称对称轴处取得峰值 2对称性应用： 3标准化转化：令则转化为标准正态分布计算 4 3σ原则： （湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）已知随机变量服从正态分布，，则（    ）经典例题1例题 A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，且， 所以. （2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ）经典例题2例题 A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 （2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可. 【详解】因为， 所以由正态分布的对称性知， 所以，不能判断，故A错误； 由知，，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为大小未知，所以不能判断，故D错误. 【多选题】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ）小试牛刀2 A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 【多选题】（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】由题意得，即，所以，故A错误． 因为，则正态分布图象关于直线对称，所以，故，故B正确． ，故C正确． 因为，即随机变量，的正态曲线形状相同， 所以要使， 根据正态曲线的对称性可知，即，故D正确． 【题型7：正态分布的实际应用】 【练方法】 解题方法 1建模：确定明确与 2标准化：将实际问题中的区间转化为标准正态分布的区间 3查表或利用对称性：结合标准正态分布表或对称性计算概率 4实际问题转化：如合格率、误差分析、产品质量控制等用概率判断是否符合标准 （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100．经典例题1例题 (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. （24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．经典例题2例题 (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 【多选题】（2026·云南红河·模拟预测）某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下：小试牛刀1 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 【答案】BCD 【分析】对于选项A：通过频率分布直方图求平均数即可得到样本平均值；对于选项B：通过条件可得，即可计算优等品的概率；对于选项C：由题意得随机变量服从二项分布，通过二项分布的均值公式即可求随机变量的数学期望；对于选项D：通过概率估计一等品与优等品的数量后即可计算全部收入. 【详解】对于A，由题意可知样本均值的估计值 ， 所以，故A错误； 对于B，由题意可知，，， ，则优等品的概率为 ，故B正确； 对于C，已知，所以抽到一等品的概率， 随机变量服从二项分布，所以，故C正确； 对于D，由题意知收入约为元，故D正确； 故选：BCD． （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则）小试牛刀2 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． （25-26高三上·江苏宿迁·月考）实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且.小试牛刀3 (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【答案】(1)0.8 (2) (3)本次实验的测量精度不高 【分析】（1）利用正态分布的对称性及条件概率计算即可； （2）利用正态分布的对称性及事件的相互关系、相互独立事件的性质分类讨论计算参数即可； （3）设变量，分类讨论二者大小，结合条件得出的充要条件，利用正态分布的性质计算得出，从而判定测量精度即可. 【详解】（1）在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称， 所以， 根据对称性，， 故 （2）设事件为“”，事件为“”， 且事件“”等价于事件“或”. 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解； 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故. 当时，等价于事件“或”. 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得 ， 又，代入解得， 而，故，无解. 综上所述，； （3）由题可计算得， 又对于任意，由于等价于 ， 则对于任意均有， 时，同理， 故是的充要条件. 由正态分布性质有，且数据比较， 即， 故，再由上述的充要条件， 这等价于的情况，故必有，即， 故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价. 【题型8：二项分布超几何分布与正态分布的综合】 【练方法】 解题方法 1区分分布类型：根据抽样方式（放回/不放回）、试验是否独立判定二项/超几何分布 2近似关系：当很大较小时超几何分布可近似为二项分布；当很大时二项分布可近似为正态分布 3分步求解：先解决二项/超几何分布的概率或参数问题再结合正态分布的对称性、标准化进行后续计算 4注意：二项分布近似正态分布需满足且 （25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.经典例题1例题 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先根据古典概型的概率公式求出甲顾客享受免单优惠、乙顾客消费金额打八折的概率，再根据独立事件的概率公式求解； （2）方案一，根据古典概型的概率公式列出分布列即可求出期望；方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，，利用二项分布的期望公式和期望的性质求解. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800. ，， ，， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. （2026·海南海口·模拟预测）某公司现有n台电子设备，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为，假设每台电子设备是否被入侵之间相互独立，用随机变量X表示该公司遭遇网络攻击后被入侵的电子设备数，且．经典例题2例题 (1)求； (2)该公司研发了一款针对网络攻击的防护软件，安装该防护软件后，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为P，经研究发现概率P与某参数有关，依据经验，某团队提出函数模型．现将n台电子设备平均分为8组，进行测试，随机变量表示第i组被成功入侵的电子设备数，将随机变量的测试结果绘制成条形图，记事件，，…，． （i）求；（用P表示，组合数不必计算） （ii）若时，最大，则称是θ的最大似然估计．请判断该函数模型是否存在θ的最大似然估计，若存在，则求出，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在最大似然估计， 【分析】（1）根据题意得知随机变量服从二项分布，根据二项分布概率求解；（2）（i）根据相互独立事件概率求解；（ii）通过利用导数求最值点得出最大似然估计. 【详解】（1）由题意可知，， 因此，，， 故，解得， 所以. （2）（i）由于各组试验相互独立，因此， 因此， （ii）要使最大，即要求最大， 设函数，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此当时，取最大值，即取最大值， 此时，解得， 所以的最大似然估计是. （2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.小试牛刀1 (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. （2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元．小试牛刀2 (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. （25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.小试牛刀3 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 2．（25-26高二下·浙江温州·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.86 B．0.72 C．0.36 D．0.14 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以 ． 3．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 4．（25-26高二下·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 【答案】D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 5．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 6．（25-26高二下·浙江·期中）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由二项分布的概率公式可得，再由二项分布的方差公式可得. 【详解】因为随机变量，根据二项分布的性质：， ，且，解得. 又因为，由二项分布的方差公式：. 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 二、多选题 8．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C正确； 又，故D错误. 故选：ABC. 9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 【答案】ACD 【分析】先利用全概率公式求答对试题概率，再用贝叶斯公式求答错时选类问题概率，接着用二项分布概率公式求三轮答对两道题概率，最后用二项分布期望公式求二十四轮答对个数期望. 【详解】设选X类问题为A事件，选Y类问题为，甲同学答对题目为B事件， 根据题意得： ，，，， 在A选项中，根据全概率公式可得： ，A选项正确； 在B选项中，由条件概率公式可得： ，其中， ， 因此，B选项错误； 在C选项中，每轮答题独立，每轮答对概率为，服从二项分布， 答对2道的概率：，C选项正确； 在D选项中，答对个数服从二项分布， 期望，D选项正确. 三、填空题 10．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 【答案】1 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，根据正态分布的对称性得 11．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率公式，可得答案. 【详解】由身高近似服从正态分布，则， 所以， 可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 故答案为：. 12．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【分析】用表示糖果质量，可知，令，则，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 令，则， 因此有 . 13．（25-26高二下·浙江·期中）小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：） 【答案】9 【分析】先根据每道题答题结果互不影响且正确率相同，判断答对题数服从二项分布，并写出的表达式.再把代入夺冠概率的求和式，利用二项式定理化简求和，得到.最后由列不等式，取常用对数并代入参考数据，求出的最小正整数. 【详解】由题意可知，小明答对题数服从二项分布，即，所以，其中 . 小明最终夺冠的概率为. 将代入，得. 因为，所以. 由二项式定理可得. 因此. 由题意，小明夺冠概率不小于，所以，即. 两边取常用对数，得 ，即. 由参考数据得 ， ，所以 . 因为为正整数，所以的最小值为. 四、解答题 14．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 15．（25-26高二上·山东日照·月考）为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. (1)游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为2； (2)证明见解析. 【分析】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中，根据已知求出小明、小宇得1分的概率，由的取值有0，1，2，3并求出对应概率，写出分布列并求出期望； （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，即可得结论. 【详解】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中， 则， 则小明得1分的概率为，小宇得1分的概率为， 的取值有0，1，2，3， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 所以无论设置哪个“重点点数”，小明获胜的概率均为定值. 又，，则，即小明获胜的概率大于， 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率. 16．（25-26高三上·广东·月考）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【详解】（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； （2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 17．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 18．（25-26高二下·江西吉安·期中）某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）由二项分布列概率公式和期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为“游客步行下山”， 由题意可知，，，， 由全概率公式， 即该游客是步行下山的概率为． （2）由（1）可知每位游客步行下山的概率均为，故这4人中步行下山的游客人数， 故， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望． 19．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 20．（25-26高二上·江西九江·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据题意利用独立事件乘法公式求概率； （2）根据对立事件的概率关系求得每局比赛有人得分的概率，可得服从二项分布，进而求出的分布列和期望； （3）由题先求出乙得2分的概率，两人分差为0的概率，乙最终获胜可分为三种情况，①乙3局都得2分；②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0；③乙有1局得2分，另外2局分差为0；依次求出概率得解. 【详解】（1）在一局比赛中，甲得2分的概率为. （2）每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. （3）每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专项练习06：二项分布超几何分布与正态分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：二项分布均值与方差的性质的小题计算】 【练方法】 解题方法 1先判定分布类型：满足独立重复试验每次试验只有两种结果概率不变则为二项分布 2直接套用核心公式：均值方差 3若则利用线性性质快速计算 4已知均值方差求参数：列方程组解出 （25-26高二下·山西·期中）从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D． （25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______．经典例题2例题 【多选题】（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ）小试牛刀1 A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 （25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2026·重庆·二模）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：超几何分布的均值与方差性质小题计算】 【练方法】 解题方法 1判定分布类型：总体含两类个体不放回抽取则为超几何分布 2直接套用均值公式： 3方差公式：其中为有限总体修正因子 4近似处理：当很大很小时超几何分布可近似为二项分布 （25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______．经典例题1例题 （25-26高二下·江苏南通·月考）已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二下·湖南长沙·月考）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ）小试牛刀1 A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 （25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．小试牛刀2 【多选题】（25-26高二下·全国·单元测试）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：二项分布中的最大概率问题】 【练方法】 解题方法 1设概率 2利用相邻项比值法：令解得 3结论： 若为整数则和时概率最大 若不为整数则（向下取整）时概率最大 4直接计算：代入附近的整数比较概率大小快速秒杀 （25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的 值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ）经典例题2例题 A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 （25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大.小试牛刀1 （2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）．小试牛刀2 （25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ）小试牛刀3 A．7 B．8 C．9 D．10 【题型4：二项分布应用题】 【练方法】 解题方法 1建模判定：确认试验为独立重复试验每次结果只有两种概率不变 2设变量：设为事件发生的次数则 3列概率：根据题意写出所求事件的概率表达式如 4计算：利用二项分布概率公式或利用互补事件简化（如） （2026届山东日照市高三模拟考试数学试题）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．经典例题1例题 (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． （25-26高二下·浙江舟山·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．经典例题2例题 (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率． （2026·河南信阳·模拟预测）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立.小试牛刀1 (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. （2026·河南南阳·二模）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立.小试牛刀2 (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. （广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.小试牛刀3 (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【题型5：超几何分布应用题】 【练方法】 解题方法 1建模判定：确认是不放回抽样总体分为两类设总体容量其中一类数量抽取个 2设变量：设为抽到某类个体的数量则 3列概率：直接套用公式 4注意：超几何分布的取值范围为避免取值错误 （25-26高二下·安徽·期中）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分.经典例题1例题 (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. （2026·广东清远·二模）一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为．经典例题2例题 (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． （2026·四川绵阳·三模）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数．小试牛刀1 (1)若，求的分布列； (2)若，且，求； (3)求的方差（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，最大？ （25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.小试牛刀2 (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. （2026高三·全国·专题练习）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.小试牛刀3 从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望. 【题型6：正态分布曲线的性质】 【练方法】 解题方法 1识别分布：曲线关于对称对称轴处取得峰值 2对称性应用： 3标准化转化：令则转化为标准正态分布计算 4 3σ原则： （湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）已知随机变量服从正态分布，，则（    ）经典例题1例题 A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 （2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ）经典例题2例题 A．且 B．且 C． D． （2026·山西太原·二模）已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ）小试牛刀2 A． B．是增函数 C． D． 【多选题】（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【题型7：正态分布的实际应用】 【练方法】 解题方法 1建模：确定明确与 2标准化：将实际问题中的区间转化为标准正态分布的区间 3查表或利用对称性：结合标准正态分布表或对称性计算概率 4实际问题转化：如合格率、误差分析、产品质量控制等用概率判断是否符合标准 （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100．经典例题1例题 (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） （24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．经典例题2例题 (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【多选题】（2026·云南红河·模拟预测）某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下：小试牛刀1 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则）小试牛刀2 （25-26高三上·江苏宿迁·月考）实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且.小试牛刀3 (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【题型8：二项分布超几何分布与正态分布的综合】 【练方法】 解题方法 1区分分布类型：根据抽样方式（放回/不放回）、试验是否独立判定二项/超几何分布 2近似关系：当很大较小时超几何分布可近似为二项分布；当很大时二项分布可近似为正态分布 3分步求解：先解决二项/超几何分布的概率或参数问题再结合正态分布的对称性、标准化进行后续计算 4注意：二项分布近似正态分布需满足且 （25-26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.经典例题1例题 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ （2026·海南海口·模拟预测）某公司现有n台电子设备，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为，假设每台电子设备是否被入侵之间相互独立，用随机变量X表示该公司遭遇网络攻击后被入侵的电子设备数，且．经典例题2例题 (1)求； (2)该公司研发了一款针对网络攻击的防护软件，安装该防护软件后，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为P，经研究发现概率P与某参数有关，依据经验，某团队提出函数模型．现将n台电子设备平均分为8组，进行测试，随机变量表示第i组被成功入侵的电子设备数，将随机变量的测试结果绘制成条形图，记事件，，…，． （i）求；（用P表示，组合数不必计算） （ii）若时，最大，则称是θ的最大似然估计．请判断该函数模型是否存在θ的最大似然估计，若存在，则求出，若不存在，说明理由． （2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.小试牛刀1 (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. （2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元．小试牛刀2 (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． （25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.小试牛刀3 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江温州·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.86 B．0.72 C．0.36 D．0.14 3．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 4．（25-26高二下·安徽·期中）射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 5．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 6．（25-26高二下·浙江·期中）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 三、填空题 10．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量服从正态分布，，则________. 11．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 12．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 13．（25-26高二下·浙江·期中）小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：） 四、解答题 14．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 15．（25-26高二上·山东日照·月考）为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. (1)游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 16．（25-26高三上·广东·月考）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 17．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 18．（25-26高二下·江西吉安·期中）某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 19．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 20．（25-26高二上·江西九江·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $