精品解析：江苏连云港市海滨中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025—2026学年第二学期期中考试高二数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 命题人：谢笃远 审核人：邵平平 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的公式运算求解. 【详解】因为，整理得，解得：或， 因为，所以. 故选：C. 3. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项求解可得. 【详解】通项公式为， 当时，， 所以项的系数为80. 故选：D 4. 唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（ ） A. 360 B. 180 C. 90 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙， 首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种； 再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种； 最后将剩下的两本给丙即可， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法. 故选：D 5. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】在长方体中，为与的交点， 因为，，， 则，， 所以 故选：B. 6. 已知点，，，在平面内，则x值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 7. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 8. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】如图三棱锥是由正方体截去四个小三棱锥，从而可得答案. 【详解】如图三棱锥是由正方体截去四个小三棱锥 又 所以 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 若向量，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. ∥ D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算判断A；求出两向量的模，判断B；根据向量平线的定义判断C；求出两向量的数量积，判断D. 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，则（     ） A. B. C. 二项式系数和为256 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A选项；令可判断B选项；求出二项式系数和可判断C选项；由两边求导，令得可判断D选项. 【详解】由， 对于A，令得，A选项正确； 对于B，令得， 所以，B选项错误； 对于C，二项式系数和为，C选项正确； 对于D，由， 两边求导得， 令得，所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体棱长为1，动点满足，则（ ） A. 当时，则三棱锥的体积为 B. 当时，直线平面 C. 当时，直线平面 D. 当且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，则为的中点，利用锥体的体积公式求三棱锥的体积即可判断A，先得到点为的中点，建立空间直角坐标系，计算出可判断B，利用向量法判线面平行，即可判断C，推出点在平面上，并得到平面，且，又，故，求出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，求出轨迹长度可判断D. 【详解】 对于A，当时，，则为的中点， 则三棱锥的体积为，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 当时，，此时点为的中点， 又，则， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，， 设平面的法向量为， 又， 则，解得，令，则，即， 由，且平面， 则直线平面，故C正确； 对于D，当时，， 故，即，故点在平面上， 连接，交平面于点， 由，，， 则，， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 又， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； （1）解答方法：一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用这6个数字，可组成_______个数字允许重复的三位数． 【答案】180 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求答案. 【详解】先安排首位有5种选择，再安排十位有6种选择，最后安排个位有6种选择， 故共有个. 故答案为:180 13. 随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则______． 【答案】0.89 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得． 【详解】依题意，，，，，，， 所以. 故答案为：0.89 14. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 【答案】16 【解析】 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，其中，第15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤. 15. 计算：（用数字作答） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 16. 已知，． （1）求； （2）当时，求实数k的值． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，然后利用数量积运算公式求解即可， （2）由可得，解方程可求出实数k的值 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 化简得，，解得或 17. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）在直三棱柱中，连接交于F点，连接， 由侧面是平行四边形，得是的中点，又是中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于F点，利用线面平行的判断推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）由（2），利用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，底面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 而是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 18. 高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. （1）求，的值； （2）求甲、乙选择不同手机的概率； （3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【答案】（1），； （2）； （3） 700 800 900 1000 【解析】 【分析】（1）由题意可知，进而求出的值，再根据求出的值即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式求解； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，再得到的分布列即可． 【小问1详解】 由题表中数据及题意，得，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 设甲、乙选择不同手机为事件，则； 【小问3详解】 根据题意，的可能取值为700，800，900，1000， 则，，，， 所以的分布列为： 700 800 900 1000 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 【答案】（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关； 对于②，设，则可得， 所以，，所以，，线性相关； （2）线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量，，线性无关，所以，解得， 所以向量，，线性无关. （3）①，如果某个，，2，…，m， 则， 因为其中任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0， 所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，…，全不为零， 所以由可得， 代入可得， 所以， 所以，…，，所以. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，…，，，…，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试高二数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 命题人：谢笃远 审核人：邵平平 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 4. 唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（ ） A. 360 B. 180 C. 90 D. 60 5. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，在平面内，则x值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 8. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 若向量，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. ∥ D. 10. 已知，则（     ） A. B. C. 二项式系数和为256 D. 11. 已知正方体棱长为1，动点满足，则（ ） A. 当时，则三棱锥的体积为 B. 当时，直线平面 C. 当时，直线平面 D. 当且时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用这6个数字，可组成_______个数字允许重复的三位数． 13. 随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则______． 14. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 四、解答题：本题共5小题，其中，第15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤. 15. 计算：（用数字作答） （1）； （2）． 16. 已知，． （1）求； （2）当时，求实数k的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. （1）求，的值； （2）求甲、乙选择不同手机的概率； （3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $