精品解析：安徽合肥八中教育集团蜀山分校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试卷

合肥八中教育集团蜀山分校 2025－2026学年度第二学期期中测试高一数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】， 所以. 2. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，其中 D. 若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量） 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为零即可判断A；根据数量积的定义即可判断B；根据共线向量可得，即可判断C；根据共线向量和投影向量的概念，即可判断D. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，， 得或或，即或或，故B错误； C：若，则存在非零，使得，故C错误； D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D错误. 故选：A 3. 已知向量不共线，且，若，则的可能值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得存在一个非零实数，使得，得，即，结合选项即可求解. 【详解】由，， 则存在一个非零实数，使得， 即，得， 两式相除得，即，只有B选项满足题意. 故选：B 4. 在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到三棱锥的高，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中，可得平面， 即点到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理知，可得， 又因为，可得，所以或. 6. 在中，若，则此三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，化简求得，得到，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 7. 在中，为边上的中点，在上且，若则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合题意，求得的值，即可求解. 【详解】在中，为边上的中点，在上且， 可得， 因为，所以，所以. 8. 在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由正弦定理得，根据平面向量的线性运算可得，利用平面向量的坐标表示和圆的参数方程，结合三角函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】因为，所以点为外接圆的圆心， 设，如图， 则，得，所以， ， 以的中点为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，设， 由，得，所以， 所以，所以，且， 则， 所以，又在圆上， 设为参数），则， 所以，得， 即的最大值为2. 故选：C 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 与能作为一组基底 B. C. D. 与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量与的坐标可判断不是共线向量，可判定A正确；根据向量坐标运算，求得，可判定B正确；根据向量模的坐标运算公式，可判定C错误；根据向量的夹角公式，求得，可判定D正确. 【详解】对于A，由向量可得，所以与不是共线向量， 所以与能作为一组基底，所以A正确； 对于B，由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得且 由向量的夹角公式，可得， 因为，所以，所以D正确. 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，可判定A错误，B正确；再由三角形的面积公式，求得，结合余弦定理求得，可判定C正确，D正确. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 又因为，可得， 因为，所以，故A错误，B正确； 又因为的面积是，可得，可得， 因为，即，可得， 由余弦定理得， 所以，且，故C正确，D正确. 11. 已知在中，为重心，直线过点交边于点，交边于点，且两点不与的顶点重合，若，则（ ） A. B. 与共线，则 C. D. 当取最小值时 【答案】ABD 【解析】 【分析】设的中点为，得到，可判定A正确；由和分别是向量和同向的单位向量，得到的平分线与边上的中线重合，得到是等腰三角形，可判定B正确；根据向量的共线定理，列出方程组，可判定C错误；结合基本不等式和共线向量定理，可判定D正确. 【详解】对于A，设的中点为，因为为的重心，可得， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，因为和分别是向量和同向的单位向量， 所以在的平分线上， 又因为与共线，且为的重心， 即的平分线与边上的中线重合，所以是等腰三角形，且，所以B正确； 对于C，因为三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得， 因为，所以，即 两式相加，可得，则，所以C错误； 对于D，由C项知，且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以，所以，所以，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，则角为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得， 又因为，所以. 13. 如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设点，由，根据向量的坐标运算，求得，得到，进而求得的值. 【详解】以A为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 因为点为的中点，点在边上，可得，设点， 则， 因为，可得， 整理得，解得，所以， 则. 14. 已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把四面体放置在一个长方体中，得到四面体的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 可得四面体的外接球即为该长方体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为，且外接球的半径为 因为， 可得，三式相加，可得，即， 所以，所以， 所以四面体外接球的表面积为. 四、解答题：本大题共5大题，共77分． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若为纯虚数，求复数； （2）若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念建立关于的方程组，解之即可求解； （2）根据复数的几何意义建立关于的不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 若为纯虚数， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 ， 在复平面内所对应的点为，位于第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知向量，且． （1）求的坐标； （2）求与垂直的单位向量的坐标； （3）若，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解得，结合向量线性运算的坐标表示即可求解； （2）设所求向量坐标为，则，解方程组即可； （3）根据向量的几何意义可得，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【小问1详解】 由， 得，即，解得， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，设与垂直的单位向量的坐标为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 【小问3详解】 由（1）知，又， 所以， 又，则， 所以， 即的取值范围为. 17. 某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． （1）求这种工件的体积； （2）现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 【答案】（1） （2）元. 【解析】 【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式，分别求得圆柱的体积和上下两个半球的体积之和，即可求解； （2）根据圆柱的侧面积和球的表面积公式，分别求得圆柱的侧面积和上下两个半球的表面积之和，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，球的直径为，所以球的半径为， 则圆柱的体积为， 上下两个半球的体积之和为， 所以该几何体的体积为. 【小问2详解】 解：根据题意，中间圆柱的侧面积为， 上下两个半球的表面积之和为， 所以该几何体的表面积为， 因为电镀一层防锈金属膜每平方厘米需要花费20元，所以共花费元. 18. 在中，内角的对边分别为；且． （1）求角； （2）若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，计算即可求解； （2）如图，由得，结合基本不等式和三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. 【小问2详解】 如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为．已知在此坐标系下． （1）在此坐标系下，求向量的坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合向量的线性运算即可求解； （2）当时，利用数量积的公式，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 由，得， 所以， . 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 因为， ， ， 由，得， 所以对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以，满足题意． 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中教育集团蜀山分校 2025－2026学年度第二学期期中测试高一数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，其中 D. 若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量） 3. 已知向量不共线，且，若，则的可能值是（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 在中，若，则此三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 在中，为边上的中点，在上且，若则（ ） A. B. C. D. 1 8. 在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 与能作为一组基底 B. C. D. 与的夹角为 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 11. 已知在中，为重心，直线过点交边于点，交边于点，且两点不与的顶点重合，若，则（ ） A. B. 与共线，则 C. D. 当取最小值时 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，则角为_________． 13. 如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_________． 14. 已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 四、解答题：本大题共5大题，共77分． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若为纯虚数，求复数； （2）若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量，且． （1）求的坐标； （2）求与垂直的单位向量的坐标； （3）若，当时，求的取值范围． 17. 某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． （1）求这种工件的体积； （2）现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 18. 在中，内角的对边分别为；且． （1）求角； （2）若角平分线，求的面积的最小值． 19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为．已知在此坐标系下． （1）在此坐标系下，求向量的坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $