精品解析：上海市位育中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二年级数学

2025学年第二学期位育中学期中考试试卷 高二年级数学学科 （考试时间100分钟 总分100分 命题：刘子源 审题：苏发银） 一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【详解】直线， 所以直线的斜率为2，直线的倾斜角为， 于是有. 2. 双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 3. 抛物线的准线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1， ∴其准线方程是y=，． 故答案为． 4. 直线的方程为，则该直线过定点__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化等式对于参数恒成立，列式求解 【详解】即，令得， 直线过定点， 故答案为： 5. 一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 6. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得. 【详解】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 7. 甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】记“目标被击中”为事件A，则为“甲、乙都没有击中目标” 所以目标被击中的概率是. 8. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数计算方法，结合茎叶图可得. 【详解】由题意知，则第四位数为87，结合茎叶图可知. 故答案为：7 9. 设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】过点作圆的切线有且只有一条， 则点在圆上， 所以，解得， 因为，所以. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用椭圆的定义求出的值，利用余弦定理结合的取值范围可求得的大小. 【详解】在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 又因为，所以，. 故答案为：. 11. 平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为．试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件________________ 【答案】，并且与相交（，并且与相交） 【解析】 【详解】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”． 12. 已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题3分，第15､16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 教材中“平面直角坐标系中的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是：用①的方法研究图形的②性质.则①､②处应分别填写（ ） A. 代数；代数 B. 代数；几何 C. 几何；代数 D. 几何；几何 【答案】B 【解析】 【详解】解析几何的核心本质是用代数的方法，研究图形的几何性质. 14. 已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 15. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 16. 设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（ ） A. 均为真命题 B. 均为假命题 C. 仅为真命题 D. 仅为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】因为圆心坐标为，半径为，可得圆心始终在直线，可判断；若取无穷大，则圆的半径无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，判断. 【详解】根据题意得：圆心坐标为，半径为， 设圆心，则，则可得， 即圆心始终在直线上， 所以存在直线与所有的圆均相交，命题为真命题； 设圆心到直线的距离为， 则， 若取无穷大，则圆的半径无穷大，且半径的增长速度比快， 则可以认为所有直线都与圆相交， 命题为假命题，故仅为真命题. 三､解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 18. 数学老师提出了一个问题：“已知椭圆上有两动点和，为坐标原点，若直线、斜率之积为，试证为定值”.小伟认为，可设点和的坐标分别为、；小雨认为，可设直线的斜率为.老师判定小伟的方法满分为8分，小雨的方法满分为6分.请你选择其中一种方法，并完成证明. 解：我选择__________的方法. 【答案】 ①选择小伟的方法，证明如下： 设点和的坐标分别为、， 因为和都在椭圆上，则， 所以：， 所以 ， 若直线、斜率之积为，则，即：， 所以，化简得： 则，所以 ， 即：为定值30. ②选择小雨的方法，证明如下： 设直线的斜率为，显然，则直线的斜率为 且，， ，， 整理得：，， 所以 代入得： ， 即：为定值30. 【解析】 【详解】略 19. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. （1）若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； （2）设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）; （2）如图所示， 如图所示，不妨设，，，则， 则，，所以， 点和均在双曲线上，所以，， 解得：，， 所以 ，即：为定值3. 不妨设，，，则，则，， 所以， 点和均在双曲线上， 所以，，解得：，， 所以 ， 即为定值3. 【解析】 【分析】设出直线方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； 设出直线方程，利用点在双曲线上，找到等量关系，代入斜率乘积式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，由题可知：，，所以，所以，， 不妨设，则联立方程：，解得：，所以，， 则 ，所以 由弦长公式可得：， 点到直线距离为： 则. 【小问2详解】 略 20. 两条相互垂直的道路和在点交汇，道路上且距点0.5公里处有一车站.一段铁路以点为起点单向铺设，铁路上任意点到车站与其到道路的距离之差均为公里.已知铁路不为直线，且沿曲线方向无限延伸，道路与铁路的宽度均忽略不计. （1）试建立合适的平面直角坐标系，并写出铁路所在曲线的方程； （2）在道路上､距点公里处有一仓库（为常数，）.若仓库与车站位于道路同侧，讨论从仓库搬运一件物品至铁路旁的最短距离（单位：公里）. 【答案】（1） （2）当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论求对应距离最小值. 【小问1详解】 如图，以为原点，为轴正方向建立坐标系，则，为铁路上任意一点，由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义，曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意，为铁路上任意一点，其到点的距离为. 令， 则 当，即时，； 当，即时，. 21. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. （1）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； （2）已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 【答案】（1） （2） 点被直线分隔，即， 设点，则由题意可得， 故曲线的方程为①. 对任意的，不是上述方程的解，即轴(即)与曲线没有公共点. 又曲线上的点、对于轴(即)对称，满足， 即点和被轴分隔，所以轴，即为曲线的分隔线. 若过原点的直线不是轴，设为，代入， 可得， 令， 当时，， 所以在区间有实数解， 当时，有实数解. 与有公共点，所以不是的分隔线. 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线，即. 【解析】 【分析】（1）联立可得，根据此方程无解，可得，验证曲线上的点和被分隔，从而求得的范围. （2）设点，与条件求得曲线的方程为①.由于轴为，显然与方程①联立无解.把的坐标代入，由，可得轴，即是一条分隔线. 【小问1详解】 联立，可得. 根据题意，此方程无解，故有，所以. 当时，对于直线， 点被直线分隔，即， 曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期位育中学期中考试试卷 高二年级数学学科 （考试时间100分钟 总分100分 命题：刘子源 审题：苏发银） 一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 直线的倾斜角为__________. 2. 双曲线的渐近线方程为________ 3. 抛物线的准线方程为_______. 4. 直线的方程为，则该直线过定点__________． 5. 一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 6. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 7. 甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 8. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________. 9. 设，且过点作圆的切线有且只有一条，则__________. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则_____________． 11. 平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为．试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件________________ 12. 已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题3分，第15､16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 教材中“平面直角坐标系中的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是：用①的方法研究图形的②性质.则①､②处应分别填写（ ） A. 代数；代数 B. 代数；几何 C. 几何；代数 D. 几何；几何 14. 已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 16. 设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（ ） A. 均为真命题 B. 均为假命题 C. 仅为真命题 D. 仅为真命题 三､解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 18. 数学老师提出了一个问题：“已知椭圆上有两动点和，为坐标原点，若直线、斜率之积为，试证为定值”.小伟认为，可设点和的坐标分别为、；小雨认为，可设直线的斜率为.老师判定小伟的方法满分为8分，小雨的方法满分为6分.请你选择其中一种方法，并完成证明. 解：我选择__________的方法. 19. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. （1）若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； （2）设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 20. 两条相互垂直的道路和在点交汇，道路上且距点0.5公里处有一车站.一段铁路以点为起点单向铺设，铁路上任意点到车站与其到道路的距离之差均为公里.已知铁路不为直线，且沿曲线方向无限延伸，道路与铁路的宽度均忽略不计. （1）试建立合适的平面直角坐标系，并写出铁路所在曲线的方程； （2）在道路上､距点公里处有一仓库（为常数，）.若仓库与车站位于道路同侧，讨论从仓库搬运一件物品至铁路旁的最短距离（单位：公里）. 21. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. （1）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； （2）已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $