10.3 频率与概率 讲义（知识梳理+3题型探究）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，系统梳理频率与概率的区别、频率的随机性与稳定性，构建从概念理解到用频率估计概率，再到解决生活问题（如游戏公平性、天气预报）及随机模拟的完整学习支架。 资料通过题型分类（用频率估计概率等）、例题变式结合及分层练习（A/B/C层），以投篮数据、购物统计等实例培养数学眼光，借助随机模拟试验提升数据分析与逻辑推理能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

10.3 频率与概率 讲义 【题型一:用频率估计概率】 【题型二：生活中的概率问题】 【题型三：随机模拟】 1. 理解核心概念：清晰区分频率与概率，掌握频率的随机性与概率的确定性，理解频率的稳定性这一核心性质。 2. 掌握基本方法：学会利用频率估计概率，能通过试验数据计算频率，并依据频率稳定性对事件概率进行合理估计。 3. 解决实际问题：能运用概率知识判断游戏公平性、解释天气预报概率等生活中的概率现象，提升数学应用意识。 4. 学会随机模拟：了解随机数与伪随机数的区别，掌握随机模拟法的基本步骤，能利用随机数模拟试验、估计随机事件的概率。 5. 提升数学素养：体会随机现象的统计规律性，培养数据分析、逻辑推理与试验模拟能力。 【知识点一：频率与概率】 1. 频率与概率的区别 概念 定义与特点 频率 由于试验的结果不可预测，因此在相同的条件下做同样的重复试验，得到的事件频率也可能不同 概率 概率是一个介于 0 到 1 之间的确定值，不会因为试验结果的改变而改变 2. 频率的特点 ① 试验次数 相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性； ② 从整体来看，频率在概率附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。 3. 频率的稳定性 一般地，随着试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的概率 。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率 估计概率 。 【例 1】（2024秋•同步）关于随机事件A，下列叙述不正确的是（　　） A．频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小 B．若进行n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率 C．频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率具有确定性，是不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】B 【分析】根据随机事件的概率和频率的定义，对选项中的命题分析、判断正误即可． 【解答】解：对于A，频率反映事件发生的频繁程度，是随机数值， 概率反映事件发生的可能性大小，是确定数值，所以选项A正确； 对于B，若进行n次随机试验，事件A发生m次， 则事件A发生的频率不一定是事件A的概率，所以选项B错误； 对于C，频率是不能脱离具体的n次试验的实验值， 而概率具有确定性，是不依赖于试验次数的理论值，所以选项C正确； 对于D，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以选项D正确． 故选：B． 【知识点二：生活中的概率】 1. 游戏的公平性 在游戏中，如果每个参与者的获胜概率相同，则该游戏是公平的，否则，该游戏不公平。例如，若 与 进行一轮 “石头剪刀布” 的游戏，则两人的获胜概率均为 ，说明该游戏是公平的。 2. 天气预报的概率解释 ① 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的。天气预报的概率有较强的主观性，这是因为我们没有办法对 “天气” 做多次重复试验，来找到频率的稳定值。 ② 对 “降水的概率为 90%” 比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有 90% 的天数要下雨。只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有 90% 确实下雨了，那么认为该预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 90% 差别较大，那么就可以认为预报不太准确。 【例 2】（2024秋•同步）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 B 投中次数 8 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个推断： ①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767； ②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750； ③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】由频率与概率的概念逐一分析三个命题得答案． 【解答】解：对于①，在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率表示概率，仅用投篮30次时，两位运动员都投中23次，不能说明他们投中的概率都是0.767，故①不合理； 对于②，随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750，故②合理； 对于③，频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此，当投篮达到200次时，B运动员投中次数近似为160次，并不一定为160次，故③不合理． 故选：B． 【知识点三：随机数的产生】 1. 随机数与伪随机数 例如我们要产生 0~9 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把 10 个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数。 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质。因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数。 2. 用随机模拟法估计概率 ① 随机模拟法的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，而随机模拟试验在短时间内可以多次重复进行，因此是解决这一问题的重要方法。 ② 随机模拟法的步骤 第一步：根据实际情况，建立概率模型； 第二步：利用抽签法或计算机进行模拟试验； 第三步：统计试验结果。 【例3】（2024春•同步）下列说法错误的是（　　） A．用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数 B．用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性 C．用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用 D．可以用随机模拟的方法估计概率 【答案】B 【分析】根据随机数的定义即可判断． 【解答】解：随机数可以通过计算机或掷硬币等方法产生，用计算机的产生的随机数具有随机性，用计算机产生随机数，可以缩短时间，也可降低成本， 故A，C正确，B错误； 有些事件的概率不好计算，我们通常采用随机模拟的方法估计概率，故D正确． 故选：B． 【例4】（2025秋•驻马店期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由此可以估计恰好第三次就停止的概率． 【解答】解：经随机模拟产生的18组随机数中， 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233 恰好第三次就停止包含的基本事件为： 023 123 132，共3个， 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为p． 故选：A． 【题型一:用频率估计概率】 【例1】（2025秋•焦作期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为p，则p＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解． 【解答】解：根据题意，输入结果：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1中， 共有18个结果，其中共有7个1，即输入1的频率为， 由频率估计概率，得． 故选：B． 【变式1】（2024春•同步）如表是甲、乙两名射击运动员在参赛前的训练中击中10环以上的次数统计． 射击次数n 10 20 50 100 200 500 甲击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环以上的频率 射击次数n 10 20 50 100 200 500 乙击中10环以上的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环以上的频率 根据表格中的数据回答以下问题： （1）分别计算出两位运动员击中10环以上的频率，并填入上表； （2）根据（1）中的计算结果预测两位运动员在比赛时击中10环以上的概率． 【答案】（1）表格见解答；（2）甲：0.9，乙：0.9． 【分析】（1）由频率逐一求出各频率后填入表格即可； （2）由频率的稳定性即可得到概率． 【解答】解：（1）填表如下． 射击次数n 10 20 50 100 200 500 甲击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环以上的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 射击次数n 10 20 50 100 200 500 乙击中10环以上的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环以上的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）中的数据可以看到，两名运动员击中10环以上的频率都趋向于0.9这个数， 所以预测两名运动员击中10环以上的概率都是0.9． 【题型二：生活中的概率问题】 【例2】（多选）（2024春•单元）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据，下列结论正确的是（　　） A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3 【答案】BCD 【分析】根据概率的求法，结合所给数据，逐个选项判断即可得出答案． 【解答】解：顾客购买甲商品的概率P甲0.685， 顾客购买乙商品的概率为P乙0.515， P甲＞P乙，故A错误； 从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人， 故顾客同时购买乙和丙的概率为0.2，故B正确； 从统计表可得，在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200＝300（人）， 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.3，故C正确； 从统计表可得，在这1000名顾客中，顾客仅购买1种商品的有85+98＝183（人）， 故顾客仅购买1种商品的概率为0.183＜0.3，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】（2024春•同步）某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4000 车辆数 500 120 100 150 130 若每辆车的投保金额均为2800元，试估计赔付金额大于投保金额的概率． 【答案】0.28． 【分析】设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，赔付金额大于投保金额的概率为P（A）+P（B），由此即可求出结果． 【解答】解：设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”， 由于投保金额为2800元，所以A∪B＝“赔付金额大于投保金额”， 以频率估计概率得：P（A）0.15，P（B）0.13， 因为A，B互斥， 所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.15+0.13＝0.28． 【题型三：随机模拟】 【例3】（2024秋•湖北期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0∼9之间的随机数，当出现随机数0∼6时，表示一局甲获胜，其概率是0.7．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数： 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（　　） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【分析】根据题意，结合随机数的含义，分析20组随机数中，表示甲获胜的组数，由古典概型公式计算可得答案 【解答】解．根据题意，20组随机数中，除099，977外，表示甲获胜的共有18组， 则据此估计甲获胜的概率为． 故选：A． 【例4】（2025春•咸阳期末）如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e≈2.718为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[0，e]上的随机数x1，x2，x3，…，x1000和y1，y2，y3，…，y1000，从而得到1000个点的坐标（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，1000），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（　　） A．0.70 B．1.04 C．1.26 D．1.92 【答案】D 【分析】直接根据面积比等于对应的点数比求解即可． 【解答】解：原图是边长为e的正方形内有阴影部分，正方形的面积为e2； ∵1000个点中落在阴影部分内的点数260个，∴面积之比为， ∴此阴影部分的面积约为e2≈1.92． 故选：D． 【变式1】（2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，在20组随机数中， 能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组， 则其3次射击至少2次击中目标的概率P0.5； 故选：B． A层基础练 1．（2024春•同步）掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组 （　　） A．1 B．2 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合骰子的个数，即可求解． 【解答】解：由于掷两枚骰子，产生的整数值随机数中，每2个数字为一组． 故选：B． 2.（多选）（2025秋•南海区校级月考）给出下列四个命题错误的是（　　） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【答案】ABC 【分析】根据频率和概率的区别与联系，逐一分析选项即可． 【解答】解：A，次品率是大量产品的估计值，故A错误； B，是频率不是概率，B错误； C，当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； D，随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确． 故选：ABC． 3．（2025春•海沧区期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果． 【解答】解：根据题意，在20组数据中，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组， 则一年内这3台设备都不需要维修的概率P． 故选：C． 4．（2025春•富平县期末）缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】先求出模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的随机数，即可求解． 【解答】解：模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的为446，072，021，392，325，405，631，700，305，311， 故三天中至少有两天下雨的概率约为． 故选：B． 5．（2022秋•莲池区校级期末）某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 【答案】B 【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得． 【解答】解：依题意得，估计这袋黄豆：（粒）． 故选：B． 6．（2022•安徽模拟）每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30cm的圆形区域内随机投掷1000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”字的面积为 　 　 cm2（结果保留π）． 【答案】369π． 【分析】根据题意，设福”字的面积为s，求出圆形区域的面积，由几何概型计算公式可得，解可得答案． 【解答】解：根据题意，设福”字的面积为s， 圆形区域的半径为30cm，其面积为π×（30）2＝900π， 则有，解可得s＝369πcm2； 故答案为：369π． 7．（2025春•大荔县期末）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为　 　 平方米．（用分数作答） 【答案】 【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论． 【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗， 记“黄豆落在正方形区域内”为事件A， ∴P（A）， ∴S不规则图形平方米， 故答案为：． 8．（2025秋•周口校级期末）2016年7月11日，某新闻报道：“英国政府9日发表声明，正式拒绝数百万公众要求就英国是否留在欧盟再次举行公投的请愿，理由是先前公投所体现的民意必须得到尊重．截至8日，英国政府和议会请愿网站上要求举行‘二次公投’的人数已经超过412万”．你认为412万人的态度能代表英国民众的意愿吗？（2016年英国人口总数约为6560万人） 【答案】这412万人的态度不能代表英国民众的意愿． 【分析】计算412万人所占全部英国民众的频率即可得出结论． 【解答】解：根据题意，2016年英国人口总数约为6560万人，412万人所占频率为，不足10%， 所以这412万人的态度不能代表英国民众的意愿． B层提升练 8．（2025春•定州市校级期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败．计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果．据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值． 【解答】解：用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中， 根据题意可知，表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436， 故所求的概率值为． 故选：A． 9．（2025•黄山校级一模）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（　　） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.25 【答案】A 【分析】根据题干条件列出满足甲获胜的随机数，再根据古典概型计算即可． 【解答】解：根据题意，20组随机数中，表示甲获胜的是：123，114，152，512，125，151共6个， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故选：A． 10．（2024春•巴音郭楞州期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出恰有两天下雨的组数，再结合古典概型的概率公式，即可求解． 【解答】解：10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，其中恰有两天下雨的为417，386，196，206，共4组， 故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为． 故选：B． 11．（2024秋•新会区校级期中）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意数字0和1都出现即为事件M发生，18组随机数中有6组数字0和1都出现，再利用古典概型的概率计算公式即可算出结果． 【解答】解：∵将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M， ∴数字0和1都出现即为事件M发生， ∵18组随机数中有6组数字0和1都出现， ∴事件M发生的概率为：， 故选：B． 12．（2024•青羊区校级模拟）某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND（0，1），b1＝RAND（0，1）；②进行平移和伸缩变换，a＝4a1，b＝4b1﹣2；③共做了N次试验，数出满足条件（x﹣2）2+y2＜2的点（a，b）的个数N1．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本道题需要将变化后的点坐标代入，方程，将题目转化成正方形中落在圆的概率是多少问题，结合几何概型，即可得出答案． 【解答】解：把a＝4a1，b＝4b1﹣2，代入（x﹣2）2+y2＜2，得到 （a1）2+（b1）2，如图： A坐标为（），该圆半径为，该圆的面积为， 则落在该圆的概率为， 故选B． 14．（2024•四川模拟）从区间[0，1]随机抽取2m个数x1，x2，…，xm；y1，y2，…ym；构成m个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）．其中满足（i＝1，2，3，⋯，m）的数对共有n个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合几何概型，即可求解． 【解答】解：由几何概型可得，，解得． 故选：C． 15．（2022春•富县校级期末）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值．如图，一个圆内切于一个直角三角形，该三角形的三边分别为3，4，5．现利用模拟方法向三角形内均匀投点，若投点落在圆外的概率为，则估计圆周率π的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对立事件求出点落在圆内的概率，再求出圆的面积和三角形的面积，根据几何概型构造方程求解即可． 【解答】解：由题意知，点落在圆内的概率为1． 设圆的半径为r则3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1． 则圆的面积为π×12＝π，三角形面积为． 所以，解得π． 故选：B． 16．（2026春•同步）栖息于某地区的动物个体总数是未知的，为了得到对栖息在该地区的动物总数的大致估计，生态学家常常进行如下试验：先在这个地区捕捉一些动物（如m只），标上记号后放掉它们．过一段时间，当这些有标记的动物充分散布到整个地区后，再捉一批（如n只），其中有标记的动物共p只，试估计该地区动物总数． 【答案】． 【分析】根据题意，设该地区动物总数为x，分析可得，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，设该地区动物总数为x， 则有，变形可得x， 故可以估计该地区动物总数为． 17．（2025春•同步）研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一枚图钉做试验，得到数据如表： 掷图钉的次数 50 100 200 300 400 针尖朝上的次数 第一小组 23 39 79 121 160 第二小组 24 41 81 124 164 （1）请估计第一小组和第二小组得到的图钉针尖朝上的概率分别是多少； （2）你认为哪一个小组得到的结果更准确？为什么？ 【答案】（1）0.4；0.41；（2）不能；原因见解析． 【分析】根据试验的结果，可以计算针尖朝上的频率，由频率的稳定性，可以估计图钉针尖朝上的概率． 【解答】解：（1）根据表中数据可得，第一小组得到的图钉针尖朝上的频率在0.4附近波动， 第二小组得到的图钉针尖朝上的频率在0.41附近波动， 由此进行估计，第一小组、第二小组得到的图钉针尖朝上的概率分别约为 0.4 和 0.41． （2）不能判断哪个小组得到的结果更准确． 因为两个小组都分别做了5组试验，每组试验的次数都分别相同，所得针尖朝上的频率也分别相近，且两个小组的试验总次数相同，所得针尖朝上的频率也相近，再加上试验的数据可能有误差，因此，不能确定哪个小组得到的结果更准确． 18．（2026春•同步）在英语中不同字母出现的频率相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定．有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么． 【答案】（1）A出现38次，频率为：5.97%， E出现96次，频率为：15.07%， I出现47次，频率为：7.38%， O出现52次，频率为：8.16%， U出现12次，频率为：1.88%； （2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小． 【分析】（1）元音字母出现的频率即AEIOU五个字母出现频数分别除以所有字母出现次数； （2）不完全接近，随机选一页，其频率往往偏差可能会很大． 【解答】解：（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字 母，其中元音字母出现频数和频率如下表， A出现38次，频率为：5.97%， E出现96次，频率为：15.07%， I出现47次，频率为：7.38%， O出现52次，频率为：8.16%， U出现12次，频率为：1.88%； （2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小． C层拓展练 19．（2021春•河南期中）使用某软件的随机数命令随机生成介于0与1之间的3000个随机数，构成1000个数对（x，y，z），其中满足x2+y2+z2＜1的共有t个，则以下t值最接近理论值的是（　　） A．524 B．314 C．628 D．105 【答案】A 【分析】1000个数对（x，y，z）对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为1的正方体，满足x2+y2+z2＜1的点为在第一卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解． 【解答】解：使用某软件的随机数命令随机生成介于0与1之间的3000个随机数，构成1000个数对（x，y，z），则这1000个数对（x，y，z）对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为1的正方体，满足x2+y2+z2＜1的点为在第一卦限内，且距离原点小于1，即在球心为原点，且半径为1的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以，最接近523的为正确答案． 故选：A． 20．（2024春•昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）． 大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）． （1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数） （2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0． （i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式； （ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）． 【答案】（1）2.0； （2）（i）0≤y≤sinx（x∈[0，π））． （ii）． 【分析】（1）求出fn（A），再根据，计算面积； （2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx，可得不等式； （ii）试验条件对应的点集（（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}，分别求出点集表示的面积相除可得针与平行直线有公共点的概率，可解． 【解答】解：（1）由题，区域N的面积为π，记区域M的面积为SM， 则，所以SM＝3.14×0.64≈2.0； （2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx， 针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为0≤y≤sinx（x∈[0，π））． （ii）试验条件对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}表示的区域面积为3π， 由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}表示的区域面积为2， 所以针与平行直线有公共点的概率为， 由题，，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 频率与概率 讲义 【题型一:用频率估计概率】 【题型二：生活中的概率问题】 【题型三：随机模拟】 1. 理解核心概念：清晰区分频率与概率，掌握频率的随机性与概率的确定性，理解频率的稳定性这一核心性质。 2. 掌握基本方法：学会利用频率估计概率，能通过试验数据计算频率，并依据频率稳定性对事件概率进行合理估计。 3. 解决实际问题：能运用概率知识判断游戏公平性、解释天气预报概率等生活中的概率现象，提升数学应用意识。 4. 学会随机模拟：了解随机数与伪随机数的区别，掌握随机模拟法的基本步骤，能利用随机数模拟试验、估计随机事件的概率。 5. 提升数学素养：体会随机现象的统计规律性，培养数据分析、逻辑推理与试验模拟能力。 【知识点一：频率与概率】 1. 频率与概率的区别 概念 定义与特点 频率 由于试验的结果不可预测，因此在相同的条件下做同样的重复试验，得到的事件频率也可能不同 概率 概率是一个介于 0 到 1 之间的确定值，不会因为试验结果的改变而改变 2. 频率的特点 ① 试验次数 相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性； ② 从整体来看，频率在概率附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。 3. 频率的稳定性 一般地，随着试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的概率 。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率 估计概率 。 【例 1】（2024秋•同步）关于随机事件A，下列叙述不正确的是（　　） A．频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小 B．若进行n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率C．频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率具有确定性，是不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【知识点二：生活中的概率】 1. 游戏的公平性 在游戏中，如果每个参与者的获胜概率相同，则该游戏是公平的，否则，该游戏不公平。例如，若 与 进行一轮 “石头剪刀布” 的游戏，则两人的获胜概率均为 ，说明该游戏是公平的。 2. 天气预报的概率解释 ① 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的。天气预报的概率有较强的主观性，这是因为我们没有办法对 “天气” 做多次重复试验，来找到频率的稳定值。 ② 对 “降水的概率为 90%” 比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有 90% 的天数要下雨。只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有 90% 确实下雨了，那么认为该预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 90% 差别较大，那么就可以认为预报不太准确。 【例 2】（2024秋•同步）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 B 投中次数 8 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个推断： ①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767； ②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750； ③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【知识点三：随机数的产生】 1. 随机数与伪随机数 例如我们要产生 0~9 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把 10 个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数。 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质。因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数。 2. 用随机模拟法估计概率 ① 随机模拟法的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，而随机模拟试验在短时间内可以多次重复进行，因此是解决这一问题的重要方法。 ② 随机模拟法的步骤 第一步：根据实际情况，建立概率模型； 第二步：利用抽签法或计算机进行模拟试验； 第三步：统计试验结果。 【例3】（2024春•同步）下列说法错误的是（　　） A．用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数 B．用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性 C．用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用 D．可以用随机模拟的方法估计概率 【例4】（2025秋•驻马店期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【题型一:用频率估计概率】 【例1】（2025秋•焦作期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为p，则p＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024春•同步）如表是甲、乙两名射击运动员在参赛前的训练中击中10环以上的次数统计． 射击次数n 10 20 50 100 200 500 甲击中10环以上的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环以上的频率 射击次数n 10 20 50 100 200 500 乙击中10环以上的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环以上的频率 根据表格中的数据回答以下问题： （1）分别计算出两位运动员击中10环以上的频率，并填入上表； （2）根据（1）中的计算结果预测两位运动员在比赛时击中10环以上的概率． 【题型二：生活中的概率问题】 【例2】（多选）（2024春•单元）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据，下列结论正确的是（　　） A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3 【变式1】（2024春•同步）某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4000 车辆数 500 120 100 150 130 若每辆车的投保金额均为2800元，试估计赔付金额大于投保金额的概率． 【题型三：随机模拟】 【例3】（2024秋•湖北期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0∼9之间的随机数，当出现随机数0∼6时，表示一局甲获胜，其概率是0.7．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数： 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（　　） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【例4】（2025春•咸阳期末）如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e≈2.718为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[0，e]上的随机数x1，x2，x3，…，x1000和y1，y2，y3，…，y1000，从而得到1000个点的坐标（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，1000），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（　　） A．0.70 B．1.04 C．1.26 D．1.92 【变式1】（2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 A层基础练 1．（2024春•同步）掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组 （　　） A．1 B．2 C．9 D．12 2.（多选）（2025秋•南海区校级月考）给出下列四个命题错误的是（　　） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 3．（2025春•海沧区期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 4．（2025春•富平县期末）缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 5．（2022秋•莲池区校级期末）某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 6．（2022•安徽模拟）每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30cm的圆形区域内随机投掷1000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”字的面积为 　 　 cm2（结果保留π）． 7．（2025春•大荔县期末）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为　 　 平方米．（用分数作答） 8．（2025秋•周口校级期末）2016年7月11日，某新闻报道：“英国政府9日发表声明，正式拒绝数百万公众要求就英国是否留在欧盟再次举行公投的请愿，理由是先前公投所体现的民意必须得到尊重．截至8日，英国政府和议会请愿网站上要求举行‘二次公投’的人数已经超过412万”．你认为412万人的态度能代表英国民众的意愿吗？（2016年英国人口总数约为6560万人） B层提升练 8．（2025春•定州市校级期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败．计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果．据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（2025•黄山校级一模）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（　　） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.25 10．（2024春•巴音郭楞州期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•新会区校级期中）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为（　　） A． B． C． D． 12．（2024•青羊区校级模拟）某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND（0，1），b1＝RAND（0，1）；②进行平移和伸缩变换，a＝4a1，b＝4b1﹣2；③共做了N次试验，数出满足条件（x﹣2）2+y2＜2的点（a，b）的个数N1．则（　　） A． B． C． D． 14．（2024•四川模拟）从区间[0，1]随机抽取2m个数x1，x2，…，xm；y1，y2，…ym；构成m个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym）．其中满足（i＝1，2，3，⋯，m）的数对共有n个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　） A． B． C． D． 15．（2022春•富县校级期末）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值．如图，一个圆内切于一个直角三角形，该三角形的三边分别为3，4，5．现利用模拟方法向三角形内均匀投点，若投点落在圆外的概率为，则估计圆周率π的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2026春•同步）栖息于某地区的动物个体总数是未知的，为了得到对栖息在该地区的动物总数的大致估计，生态学家常常进行如下试验：先在这个地区捕捉一些动物（如m只），标上记号后放掉它们．过一段时间，当这些有标记的动物充分散布到整个地区后，再捉一批（如n只），其中有标记的动物共p只，试估计该地区动物总数． 17．（2025春•同步）研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一枚图钉做试验，得到数据如表： 掷图钉的次数 50 100 200 300 400 针尖朝上的次数 第一小组 23 39 79 121 160 第二小组 24 41 81 124 164 （1）请估计第一小组和第二小组得到的图钉针尖朝上的概率分别是多少； （2）你认为哪一个小组得到的结果更准确？为什么？ 18．（2026春•同步）在英语中不同字母出现的频率相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定．有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么． C层拓展练 19．（2021春•河南期中）使用某软件的随机数命令随机生成介于0与1之间的3000个随机数，构成1000个数对（x，y，z），其中满足x2+y2+z2＜1的共有t个，则以下t值最接近理论值的是（　　） A．524 B．314 C．628 D．105 20．（2024春•昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）． 大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）． （1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数） （2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0． （i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式； （ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $