10.1 随机事件与概率讲义（知识梳理+5题型探究）-2025～2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦随机事件与概率核心知识点，从随机现象、随机试验切入，构建样本空间、事件（随机、基本、必然、不可能事件）、事件关系与运算（包含、并、交、互斥、对立）、古典概型（有限性、等可能性）及概率性质的完整学习支架，形成递进式知识脉络。 该资料题型分类明确，例题与变式题结合，分层练习（A/B/C层）覆盖不同难度。通过列举法、树状图培养数学眼光的抽象能力，事件关系推理提升数学思维的逻辑推理，综合题（如向量与骰子结合）强化数学语言的模型应用，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

10.1 随机事件与概率 讲义 【题型一：事件与样本空间】 【题型二：事件的关系及运算】 【题型三：计算古典概型的概率】 【题型四：概率的基本性质的应用】 【题型五：古典概率综合题】 1、理解随机现象、随机试验的定义与三个特征，能准确判断试验是否为随机试验。 2、掌握样本点、样本空间、有限样本空间的概念，会用列举法、列表法、树状图法写出样本空间。 3、理解随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的含义，能正确区分与判断。 4、掌握事件的包含、相等、并（和）、交（积）、互斥、对立六种关系与运算，能用符号准确表示。 5、熟记概率的 6 条基本性质，会用互斥事件加法公式、对立事件公式、一般加法公式进行计算。 6、理解古典概型的两个核心特征（有限性、等可能性），熟练运用古典概型公式计算概率。 【知识点一：有限样本空间】 1. 随机现象 就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性。这类现象叫做随机现象。 2. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示。我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：① 试验可以在相同条件下重复进行；② 试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个；③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。 3. 有限样本空间 名称 定义 样本点 随机试验的每个可能的基本结果 样本空间 全体样本点的集合，用表示 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间 例 1 盒子里有形状大小完全相同的 4 个小球，编号分别为 1，2，3，4，从中依次不放回地取出两个球，观察两次取到的球上的数字，请写出这个试验的样本空间，该样本空间中共有几个样本点？ 【知识点二：事件】 1. 随机事件 名称 定义 随机事件 样本空间的子集，简称事件 基本事件 只包含一个样本点的事件 事件的发生 随机事件一般用大写字母表示。在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生 注：对于基本事件的理解，我们可以用集合中的元素的概念去类比理解。试验的所有可能结果是一个集合，基本事件是这个集合中的元素，随机事件是这个集合的子集，由于基本事件只包含一个样本点，因此其不能再分解，两个基本事件也不能同时发生。 2. 必然事件与不可能事件 名称 概念 必然事件 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。 不可能事件 空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。 注：① 必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，必然事件可以类比于试验的所有结果的全集，不可能事件可以类比于空集。这样，每个事件都是样本空间的一个子集。② 在观察样本空间中的样本点时，可以采用列举法、列表法和树状图法等方法。 例 2 下列各项中，可能发生，也可能不发生的是（ ） A. 若正方形的边长为，则正方形的面积为 B. 在没有任何辅助的情况下，人在真空中也可以生存 C. 在一个标准大气压下，当温度达到时水会沸腾 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 例 3 若随机试验的样本空间，则下列说法错误的是（ ）A. 事件是随机事件 B. 事件是必然事件 C. 事件是不可能事件 D. 事件是不可能事件 【知识点三：事件的关系与运算】 1. 两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 概念 符号表示 包含 发生导致发生 （或） 并事件（和事件） 与至少一个发生 （或） 交事件（积事件） 与同时发生 （或） 互斥（互不相容） 与不能同时发生 互为对立 与有且仅有一个发生 且 注：① 在事件的包含关系中，特别地，若事件包含事件且事件包含事件，则称事件和事件相等，记作。② 和事件一共有 3 种可能情况：(i) 只有事件发生；(ii) 只有事件发生；(iii) 事件和事件都发生。③ 在对立事件中，若事件是事件的对立事件，则事件可记作。对立事件可以理解为 “非黑即白”，要么事件发生，要么事件发生，对立事件可以看成是互斥事件的特殊情况。 2. 多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件，（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生。 例 4（多选） 对空中的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为 “两次都击中了飞机”，事件为 “两次都没击中飞机”，事件为 “恰有一次击中飞机”，事件为 “至少有一次击中飞机”，则（ ） A. B. C. D. 例 5 抛掷一颗骰子，记事件为 “向上的点数小于 3”，为 “向上的点数大于 5”，则与（ ） A. 对立 B. 互斥但不对立 C. 不互斥 D. 对立但不互斥 【知识点四：古典概型】 1、事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示。 2、古典概率模型 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。 ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 3、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数。 【例 6】下列试验中，是古典概型的是 。 ①口袋里有除颜色外完全相同的白球、黑球各 2 个，从中任取 1 球 ②向一个圆面内随机投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 ③抛掷一粒六面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 【例 7】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件为 “一枚正面朝上，一枚反面朝上”，求发生的概率。 【知识点五：概率的基本性质】 性质 1：对任意的事件，都有。 性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即，。 性质 3：（互斥事件的概率加法公式）若事件与事件互斥，则。 性质 4：若事件与事件互为对立事件，则，。 性质 5：若，则。 性质 6：设是一个随机试验中的两个事件，则有 注：①性质 3 是性质 6 的特殊情况，在性质 6 中，当，即互斥时，即可得到性质 3； ②性质 3 的推广：若事件两两互斥，则。 ③上述几个性质，通过画 Venn 图都可以清晰地理解其原理，关于性质 6，我们来简单地分析一下。 如图，在计算时，若按计算，则中间阴影那一块（的部分）在中都有，重复计算了一次，故应抵消重复，于是。 【例 8】若互斥，且，，则 。 【例 9】已知，，，则 。 【题型一：事件与样本空间】 【例1】（2025秋•黄浦区期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（　　） A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【变式1】（2025春•华池县校级期末）高一（1）班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】（2025春•克拉玛依区校级期末）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（2025秋•海口校级月考）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）． （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）“x+y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？ （4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？ 【题型二：事件的关系及运算】 【例2】（2025秋•海口校级月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（　　） A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D 【变式1】（2025秋•名山区校级期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（　　） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【变式2】（2024秋•鹤山市校级月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有（　　） A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M＜N 【变式3】（2026•奉贤区校级模拟）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件： ①两球都不是白球； ②两球中恰有一白球； ③两球中至少有一个白球． 其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型三：计算古典概型的概率】 【例3】（2026•北京学业考试）某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自0，1，2，⋯，9，则取件码末位数字是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•进贤县校级期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025秋•贵溪市校级期末）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2026•榆林模拟）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【题型四：概率的基本性质的应用】 【例4】（2025秋•江苏校级月考）已知随机事件A，B满足，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•江西期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026•红塔区校级模拟）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝2P（B），则P（）＝　 　 ． 【变式3】（2024春•浙江期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P（A），则　 　 ． 【题型五：古典概率综合题】 【例5】（2025春•雨花区校级月考）已知向量（﹣2，1），（x，y），若x，y分别表示一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求： （1）•1的概率； （2）•0的概率． 【变式1】（2024秋•汉中期末）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 （x，y，z） （1，1，2） （2，1，2） （2，2，2） （1，3，1） （1，2，3） 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 （x，y，z） （1，2，2） （2，3，1） （3，2，1） （1，1，1） （2，1，1） （1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率． 【变式2】（2025春•新邵县期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）＝（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式3】（2025秋•遂宁期末）骰子是一种古老而又受欢迎的游戏工具．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，（x，y）表示一次试验的结果，设A＝“两个点数之和等于7”，B＝“至少有一颗骰子的点数为4”． （1）求事件A，B的概率； （2）求事件A∩B，A∪B的概率． A层基础练 1．（2025秋•观山湖区校级期中）抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有2件次品”，则（　　） A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B≠∅ D．A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 2．（2025秋•南江县校级期末）在掷骰子试验中，记事件A：朝上面的点数为3点，则该事件为（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 3．（2025春•大武口区校级月考）下列事件是必然事件的是（　　） A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上 B．异性电荷相互吸引 C．在标准大气压下水在1℃时结冰 D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 4．（2025秋•孝感校级月考）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 5．（2025秋•泉州月考）打靶3次，记事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A0∪A1表示（　　） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 6．（2025秋•绵阳期末）打靶3次，事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A2∪A3表示（　　） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 7．（2025•温州校级学业考试）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（　　） A．J1∩J2 B． C． D． 8．（2025春•天津期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件M＝“点数大于4”，事件N＝“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（　　） A．M＝N B．M⊆N C．M∪N D．M∩N 9．（2024春•同步）在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则以下结论正确的是（　　） A．A1+A2与A3互为对立事件 B．A1+A2+A3是必然事件 C．P（A1+A2+A3）＝{P（A1），P（A2），P（A3）}max（{a，b，c，...}max代表集合中的最大元素） D．若事件A1，A2，A3两两互斥，则P（A1+A2+A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3） （多选）10．（2025秋•固始县校级月考）设A，B为两个随机事件，以下命题错误的为（　　） A．若A，B是对立事件，且，则 B．若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝1 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，则 11．（2025秋•黄浦区期末）某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是 　 （答案不唯一）　 ． B层提升练 12．（2025春•李沧区校级期末）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A+B和AB包含的样本点数分别为（　　） A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；1 13．（2025秋•兰州期末）某随机试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数，事件A＝“至少命中6次”，则下列说法正确的是（　　） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件A中有6个样本点 C．样本点6在事件A内 D．事件A中包含样本点11 （多选）14．（2025秋•呼和浩特期末）给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题如下，其中真命题的选项为（　　） A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件 C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件 15．（2026春•黄浦区校级月考）下列事件中不是确定事件的个数是（　　） ①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点； ②水中捞月； ③守株待兔； ④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2025秋•青山湖区校级期末）给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题，其中错误的命题是（　　） A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件 C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件 17．（2025秋•湖北期中）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（　　） A．A与B是互斥事件 B．P（B∩C）＝0.1 C．P（A∩B）≤0.5 D．A∪B∪C是必然事件 18．（2025春•哈密市期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（　　） A．A∪B∪C是必然事件 B．A与B是互斥事件 C．P（A∩B）≤0.4 D．P（A∪B）＝1.1 19．（2024春•重庆期末）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为P（A），事件B的概率为P（B），则1﹣P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 20．（2025秋•九江校级期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝10，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，下列结论正确的是（　　） A．n（AB）＝4 B．事件A与B互斥 C． D．事件A与B相互独立 C层拓展练 21．（2025春•沧州期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则P（B∪C）＝（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•天水校级期末）已知随机事件A，B满足，，，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 23．（2026春•红花岗区校级月考）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（　　） A．（A∪B）与C是互斥事件，且是对立事件 B．A∪B∪C一定是必然事件 C． D．A∪B的概率一定等于0.5 24．（2025秋•太和县校级期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（　　） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 25．（2025秋•青羊区校级期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则事件A与事件B（　　） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 26．（2026•台州二模）设一个随机事件的样本空间为Ω，事件A，B⊆Ω，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．0≤P（A）≤1 B． C．若A⊆B，则P（A）≤P（B） D．若A∪B＝Ω，则P（A）+P（B）＝1 27．（2026•金山区二模）已知全集U是一个六元集合，任取U的两个子集A、B（A、B可以相等），记事件M：B⊆A；记事件N：，则P（M∪N）＝（　　） A． B． C． D． 28．（2025秋•德阳校级期末）已知随机事件A，B满足P（A），P（B），P（A∪B），则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 29．（2025秋•韩城市期末）现从①y＝sinx，②y＝cosx，③y＝4x，④y＝x3这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（　　） A． B． C． D． 30．（2025秋•进贤县校级期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（　　） A． B． C． D． （多选）31．（2025•市中区校级模拟）设A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则（　　） A． B．A，B相互独立 C． D． （多选）32．（2025秋•广州月考）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人．同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人．现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A、B、C，则（　　） A． B．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C． D．P（B|A）＝P（B） （多选）33．（2024秋•顺德区校级月考）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（　　） A． B． C． D． 34．（2024春•杨浦区校级月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则　　 ． 35．（2025春•闵行区校级期中）小明在书店随机地选一本书，设事件A：小明选的书是数学书，事件B：小明选的书是中文版的书，事件C：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书．请写出A∩B∩C表示的事件：　 　 ． 36．（2025秋•长宁区校级月考）已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A、B满足，，则A＝　 　 ． 37．（2024春•同步）同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A＝{点数之和是2，4，7，12}，事件B＝{点数之和是2，4，6，8，10，12}，事件C＝{点数之和大于8}，则事件A∩B∩为 　 　 ． 38．（2024春•同步）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系． 39．（2024春•同步）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．试判断： （1）事件A与事件B是什么关系？ （2）事件D与A，B是什么样的运算关系？ （3）事件C与A的交事件是什么事件？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 随机事件与概率 讲义 【题型一：事件与样本空间】 【题型二：事件的关系及运算】 【题型三：计算古典概型的概率】 【题型四：概率的基本性质的应用】 【题型五：古典概率综合题】 1、理解随机现象、随机试验的定义与三个特征，能准确判断试验是否为随机试验。 2、掌握样本点、样本空间、有限样本空间的概念，会用列举法、列表法、树状图法写出样本空间。 3、理解随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的含义，能正确区分与判断。 4、掌握事件的包含、相等、并（和）、交（积）、互斥、对立六种关系与运算，能用符号准确表示。 5、熟记概率的 6 条基本性质，会用互斥事件加法公式、对立事件公式、一般加法公式进行计算。 6、理解古典概型的两个核心特征（有限性、等可能性），熟练运用古典概型公式计算概率。 【知识点一：有限样本空间】 1. 随机现象 就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性。这类现象叫做随机现象。 2. 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示。我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：① 试验可以在相同条件下重复进行；② 试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个；③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。 3. 有限样本空间 名称 定义 样本点 随机试验的每个可能的基本结果 样本空间 全体样本点的集合，用表示 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间 例 1 盒子里有形状大小完全相同的 4 个小球，编号分别为 1，2，3，4，从中依次不放回地取出两个球，观察两次取到的球上的数字，请写出这个试验的样本空间，该样本空间中共有几个样本点？ 【解析】样本空间，该样本空间中共有 12 个样本点。 【知识点二：事件】 1. 随机事件 名称 定义 随机事件 样本空间的子集，简称事件 基本事件 只包含一个样本点的事件 事件的发生 随机事件一般用大写字母表示。在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生 注：对于基本事件的理解，我们可以用集合中的元素的概念去类比理解。试验的所有可能结果是一个集合，基本事件是这个集合中的元素，随机事件是这个集合的子集，由于基本事件只包含一个样本点，因此其不能再分解，两个基本事件也不能同时发生。 2. 必然事件与不可能事件 名称 概念 必然事件 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。 不可能事件 空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。 注：① 必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，必然事件可以类比于试验的所有结果的全集，不可能事件可以类比于空集。这样，每个事件都是样本空间的一个子集。② 在观察样本空间中的样本点时，可以采用列举法、列表法和树状图法等方法。 例 2 下列各项中，可能发生，也可能不发生的是（ ） A. 若正方形的边长为，则正方形的面积为 B. 在没有任何辅助的情况下，人在真空中也可以生存 C. 在一个标准大气压下，当温度达到时水会沸腾 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】A 项，“边长为的正方形的面积为” 是必然事件，必定发生，故 A 项错误；B 项，在没有任何辅助的情况下，人在真空中不能生存，所以 B 项为不可能事件，不可能发生，故 B 项错误；C 项，在一个标准大气压下，温度要达到时水才会沸腾，所以 C 项为不可能事件，不可能发生，故 C 项错误；D 项，抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，属于随机事件，可能发生也可能不发生，故 D 项正确。 例 3 若随机试验的样本空间，则下列说法错误的是（ ）A. 事件是随机事件 B. 事件是必然事件 C. 事件是不可能事件 D. 事件是不可能事件 【答案】D 【解析】A 项，是的非空真子集，所以是随机事件，故 A 项正确；B 项，，所以是必然事件，故 B 项正确；C 项，因为，所以是不可能事件，故 C 项正确；D 项，是的非空真子集，所以是随机事件，故 D 项错误。 【知识点三：事件的关系与运算】 1. 两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 概念 符号表示 包含 发生导致发生 （或） 并事件（和事件） 与至少一个发生 （或） 交事件（积事件） 与同时发生 （或） 互斥（互不相容） 与不能同时发生 互为对立 与有且仅有一个发生 且 注：① 在事件的包含关系中，特别地，若事件包含事件且事件包含事件，则称事件和事件相等，记作。② 和事件一共有 3 种可能情况：(i) 只有事件发生；(ii) 只有事件发生；(iii) 事件和事件都发生。③ 在对立事件中，若事件是事件的对立事件，则事件可记作。对立事件可以理解为 “非黑即白”，要么事件发生，要么事件发生，对立事件可以看成是互斥事件的特殊情况。 2. 多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件，（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生。 例 4（多选） 对空中的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为 “两次都击中了飞机”，事件为 “两次都没击中飞机”，事件为 “恰有一次击中飞机”，事件为 “至少有一次击中飞机”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】为了便于观察事件之间的关系，可先写出试验的样本空间，再看各事件包含哪些样本点，用分别表示一次射击击中飞机、没有击中飞机，则样本空间，由题意：，，，。 A 项，，正确；B 项，，正确；C 项，，正确；D 项，，错误。 例 5 抛掷一颗骰子，记事件为 “向上的点数小于 3”，为 “向上的点数大于 5”，则与（ ） A. 对立 B. 互斥但不对立 C. 不互斥 D. 对立但不互斥 【答案】B 【解析】试验的样本空间，由题意：，，所以，互斥，又，故不对立。 【知识点四：古典概型】 1、事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示。 2、古典概率模型 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。 ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 3、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数。 【例 6】下列试验中，是古典概型的是 。 ①口袋里有除颜色外完全相同的白球、黑球各 2 个，从中任取 1 球 ②向一个圆面内随机投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 ③抛掷一粒六面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 【答案】① 【解析】①项，从袋中任取 1 球，只有 4 种结果，满足有限性；取到每个球的可能性相同，都为，满足等可能性，所以试验是古典概型，故①项正确； ②项，往圆面内随机投一个点，该点落在圆面内的位置有无穷多种情况，不满足有限性，所以试验不是古典概型，故②项错误； ③项，骰子的六个面材质不同，于是这六个面朝上的概率各不相同，不满足等可能性，所以试验不是古典概型，故③项错误。 【例 7】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件为 “一枚正面朝上，一枚反面朝上”，求发生的概率。 【解析】由题意，样本空间，，所以由古典概率公式， 【知识点五：概率的基本性质】 性质 1：对任意的事件，都有。 性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即，。 性质 3：（互斥事件的概率加法公式）若事件与事件互斥，则。 性质 4：若事件与事件互为对立事件，则，。 性质 5：若，则。 性质 6：设是一个随机试验中的两个事件，则有 注：①性质 3 是性质 6 的特殊情况，在性质 6 中，当，即互斥时，即可得到性质 3； ②性质 3 的推广：若事件两两互斥，则。 ③上述几个性质，通过画 Venn 图都可以清晰地理解其原理，关于性质 6，我们来简单地分析一下。 如图，在计算时，若按计算，则中间阴影那一块（的部分）在中都有，重复计算了一次，故应抵消重复，于是。 【例 8】若互斥，且，，则\\\\。 【答案】0.9 【解析】由题意，，又且互斥，所以 【例 9】已知，，，则 。 【答案】0.6 【解析】由概率的基本性质 6， 结合所给数据得，所以，故 【题型一：事件与样本空间】 【例1】（2025秋•黄浦区期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（　　） A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断． 【解答】解：对于选项A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为{1，2，3，4，5，6}，故是有限集，故A错误； 对于选项B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为{{1，2}，{1，3}，{2，3}}，故是有限集，故B错误； 对于选项C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C正确； 对于选项D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为A，B，C，D，E， 则选择的答案组合的样本空间为{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，故是有限集，故D错误． 故选：C． 【变式1】（2025春•华池县校级期末）高一（1）班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】根据题意结合列举法运算求解． 【解答】解：从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B． 【变式2】（2025春•克拉玛依区校级期末）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由列举法写出样本空间即可． 【解答】解：试验的样本空间中样本点为：（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）共6个． 故选：D． 【变式3】（2025秋•海口校级月考）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）． （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）“x+y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？ （4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？ 【答案】（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}． （2）这个试验的样本点的总数为16； （3）“x+y＝5”这一事件包含的样本点有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， “x＜3且y＞1”包含的样本点有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）． （4）事件“xy＝4”这一事件包含样本点有：（1，4），（2，2），（4，1），“x＝y”包含的样本点有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）． 【分析】（1）根据给定条件按两个转盘中的数字依顺序不重不漏地写各对数即可得试验的样本空间； （2）利用（1）即可求出样本空间中样本点的总数； （3）借助（1）的样本空间即可写出事件“x+y＝5”、“x＜3且y＞1”的样本点； （4）借助（1）的样本空间即可写出事件xy＝4”、“x＝y”的样本点． 【解答】解：（1）这个试验的样本空间为： Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}． （2）由这个试验的样本空间得：这个试验的样本点的总数为16； （3）由（1）知“x+y＝5”这一事件包含的样本点有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， “x＜3且y＞1”包含的样本点有： （1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）． （4）由（1）知，事件“xy＝4”这一事件包含样本点有：（1，4），（2，2），（4，1）， “x＝y”包含的样本点有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）． 【题型二：事件的关系及运算】 【例2】（2025秋•海口校级月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（　　） A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D 【答案】C 【分析】先将事件C，D的等价事件求出，再利用事件之间的关系判断即可． 【解答】解：事件C＝{恰有一弹击中飞机}＝{第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中}， 事件D＝{至少有一弹击中飞机}＝{恰有一弹击中或两弹都击中}， ∴A⊆D正确，B∩D＝∅正确，A∪C＝D正确，A∪B＝B∪D错误， 故选：C． 【变式1】（2025秋•名山区校级期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（　　） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：由题意，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”， 对于A，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，故A错误； 对于B，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，故B正确； 对于C，当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 对于D，当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，故D错误． 故选：B． 【变式2】（2024秋•鹤山市校级月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有（　　） A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M＜N 【答案】A 【分析】根据事件的概念，判断即可． 【解答】解：因为向上一面都是正面的为事件 M，向上一面至少有一枚是正面的为事件N， 则事件M发生，事件N一定发生，故事件N包含事件M，即M⊆N． 故选：A． 【变式3】（2026•奉贤区校级模拟）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件： ①两球都不是白球； ②两球中恰有一白球； ③两球中至少有一个白球． 其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论． 【解答】解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件． 但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件． 故选：A． 【题型三：计算古典概型的概率】 【例3】（2026•北京学业考试）某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自0，1，2，⋯，9，则取件码末位数字是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】末位数字可以为0，1，2⋯9，共10种情况，末位数字为奇数的情况有1，3，5，7，9，共5种情况，根据古典概型的概率公式求解即可． 【解答】解：末位数字可以为0，1，2⋯9，共10种情况， 末位数字为奇数的情况有1，3，5，7，9，共5种情况， 所以末位数字是奇数的概率为P． 故选：B． 【变式1】（2025秋•进贤县校级期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可． 【解答】解：根据题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，n（Ω）＝36， 设事件A＝“至少出现一次1点”， A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1）}，n（A）＝11， 故P（A）． 故选：B． 【变式2】（2025秋•贵溪市校级期末）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，结合古典概型运算求解． 【解答】解：袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片， ∵取出的卡片上的数字之和为3的倍数， ∴取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， ∴取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为： ． 故选：A． 【变式3】（2026•榆林模拟）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合古典概率公式即可求解． 【解答】解：总事件数为6×5＝30，乙获胜的事件数是3×2+3×3＝15， 根据古典概率公式可得，乙获胜的概率是． 故选：D． 【题型四：概率的基本性质的应用】 【例4】（2025秋•江苏校级月考）已知随机事件A，B满足，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用概率的性质列方程求概率． 【解答】解：随机事件A，B满足， ∵P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）， P（A∩B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025秋•江西期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解． 【解答】解：设事件A＝“选中高一学生”，B＝“选中高二学生”，C＝“选中高三学生”， 故， 即选中高三学生的概率为． 故选：A． 【变式2】（2026•红塔区校级模拟）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝2P（B），则P（）＝　 　 ． 【答案】． 【分析】根据互斥事件的定义，分析A，B两个事件的关系，可得答案． 【解答】解：由题意得，事件A，B互斥，它们都不发生的概率为， 则P（A）+P（B）＝1， ∵P（A）＝2P（B）， ∴P（A），P（B）， ∴P（）＝1﹣P（A）＝1． 故答案为：． 【变式3】（2024春•浙江期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P（A），则　 　 ． 【答案】． 【分析】根据随机事件的概率关系求解． 【解答】解：由P（A）＝P（AB）+P（A）可得，P（A）＝P（A）﹣P（AB）， 所以P（A）＝P（A）+P（）﹣P（A）（1）． 故答案为：． 【题型五：古典概率综合题】 【例5】（2025春•雨花区校级月考）已知向量（﹣2，1），（x，y），若x，y分别表示一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求： （1）•1的概率； （2）•0的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）基本事件总数n＝6×6＝36，由•1，得﹣2x+y＝﹣1，利用列举法求出满足•1的基本事件（x，y）有3个，由此能求出•1的概率． （2）由•0，得﹣2x+y＜0，利用列举法求出满足•0包含的基本事件（x，y）有27个，由此能求出•0的概率． 【解答】解：（1）∵向量（﹣2，1），（x，y）， x，y分别表示一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数， ∴基本事件总数n＝6×6＝36， ∵•1，∴﹣2x+y＝﹣1， ∴满足•1的基本事件（x，y）有：（1，1），（2，3），（3，5），共3个， ∴•1的概率P1． （2）∵•0，∴﹣2x+y＜0， ∴满足•0包含的基本事件（x，y）有： （1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共27个， ∴•0的概率为P2． 【变式1】（2024秋•汉中期末）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 （x，y，z） （1，1，2） （2，1，2） （2，2，2） （1，3，1） （1，2，3） 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 （x，y，z） （1，2，2） （2，3，1） （3，2，1） （1，1，1） （2，1，1） （1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率． 【答案】（1）0.6； （2）． 【分析】（1）根据题意，用综合指标Q＝x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求； （2）根据题意，用列举法分析“随机抽取2件产品的所有可能结果”和“事件B发生的所有可能结果”，由古典概型公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4 其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故该样本的一等品率为， 从而估计该批产品的一等品率为0.6． （2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}， {A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}， {A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}共15种． 在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10， 则事件B发生的所有可能结果为A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}共3种， 所以． 【变式2】（2025春•新邵县期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）＝（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事件个数，由此能求出结果． 【解答】解：设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为： （强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），（弱，强，中）， 即基本事件总数n＝6， 按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定， 该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中），共三种情况， ∴该公司录用到能力最强的人的概率p． 该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有：（强，弱，中），（弱，中，强），共二种情况， ∴该公司录用到能力中等的人的概率q． 故选：D． 【变式3】（2025秋•遂宁期末）骰子是一种古老而又受欢迎的游戏工具．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，（x，y）表示一次试验的结果，设A＝“两个点数之和等于7”，B＝“至少有一颗骰子的点数为4”． （1）求事件A，B的概率； （2）求事件A∩B，A∪B的概率． 【答案】（1）；． （2）；． 【分析】（1）求出事件A，B的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可； （2）求出事件A∩B的基本事件以及个数，得出P（A∩B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）得出P（A∪B）． 【解答】解：（1）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数， 用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，（x，y）表示一次试验的结果， 设A＝“两个点数之和等于7”，B＝“至少有一颗骰子的点数为4”， 则该试验的样本空间可表示为Ω＝{（x，y）|x，y∈{1，2，3，4，5，6}}，共有36个样本点 A＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，有6个样本点， ∴， B＝{（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（1，4），（2，4），（3，4），（5，4），（6，4）}，有11个样本点， ∴． （2）A∩B＝{（3，4），（4，3）}，有2个样本点， ∴； ∴． A层基础练 1．（2025秋•观山湖区校级期中）抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有2件次品”，则（　　） A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B≠∅ D．A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 【答案】D 【分析】由题设，写出事件A与事件B包含的结果，分析判断即可． 【解答】解：由题意，A＝“至多有1件次品”，包含“0件次品”和“1件次品”； B＝“至少有2件次品”，包含“2件次品”“3件次品”“4件次品”“5件次品”“6件次品”“7件次品”“8件次品”“9件次品”和“10件次品”； 故A∩B＝∅，且A∪B＝Ω． 故选：D． 2．（2025秋•南江县校级期末）在掷骰子试验中，记事件A：朝上面的点数为3点，则该事件为（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断． 【解答】解：根据题意，在掷骰子试验中，朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生，该事件为随机事件． 故选：C． 3．（2025春•大武口区校级月考）下列事件是必然事件的是（　　） A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上 B．异性电荷相互吸引 C．在标准大气压下水在1℃时结冰 D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 【答案】B 【分析】根据题意，由必然事件的定义依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．可能发生，也可能不发生，是随机事件； 对于B，异性电荷相互吸引，是必然事件； 对于C，在标准大气压下水在1℃时，不会结冰，是不可能事件； 对于D，任意掷一枚骰子朝上的点数可能是偶数，也可能是奇数，故该事件为随机事件． 故选：B． 4．（2025秋•孝感校级月考）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 【答案】B 【分析】根据摸球的可能结果判断． 【解答】解：一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同， 从袋中任意摸出3个球，可能的情况有： ①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球． ∴摸出的3个球中“至少有1个是红球”是必然事件． 故选：B． 5．（2025秋•泉州月考）打靶3次，记事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A0∪A1表示（　　） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件A0∪A1，即可得． 【解答】解：根据题意，A0表示共击中0次，A1表示共击中1次， 所以A0∪A1表示“至多击中1次”． 故选：C． 6．（2025秋•绵阳期末）打靶3次，事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A2∪A3表示（　　） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【分析】由事件的运算即可求解． 【解答】解：打靶3次，事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3， A2∪A3＝“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确． 故选：D． 7．（2025•温州校级学业考试）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（　　） A．J1∩J2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得． 【解答】解：根据题意，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次跳远成绩及格”， 依次分析选项： 对于A，J1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 对于B，表示后两次测试都没有及格，故B错误； 对于C，表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 对于D，表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C． 8．（2025春•天津期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件M＝“点数大于4”，事件N＝“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（　　） A．M＝N B．M⊆N C．M∪N D．M∩N 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件M，N所包含的点数，即可得出结果． 【解答】解：根据题意，事件M＝“点数大于4”，事件N＝“点数为偶数”， 则M＝{5，6}，N＝{2，4，6}，易得M∩N＝{6}． 所以事件“点数为6”可以表示为M∩N． 故选：D． 9．（2024春•同步）在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则以下结论正确的是（　　） A．A1+A2与A3互为对立事件 B．A1+A2+A3是必然事件 C．P（A1+A2+A3）＝{P（A1），P（A2），P（A3）}max（{a，b，c，...}max代表集合中的最大元素） D．若事件A1，A2，A3两两互斥，则P（A1+A2+A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3） 【答案】D 【分析】P（A1+A2）不一定等于0.5，从而判断A错误；P（A1+A2+A3）不一定等于1，从而判断B错误；P（A1+A2+A3）＝1时，可判断C错误，从而只能选D． 【解答】解：A．P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）﹣P（A1A2），∴P（A1+A2）不一定等于0.5，∴A1+A2与A3不一定对立，A错误； B．∵P（A1+A2+A3）不一定等于P（A1）+P（A2）+P（A3）＝1，∴A1+A2+A3不一定是必然事件，B错误； C．P（A1+A2+A3）显然不一定等于P（A1），P（A2），P（A3）中的最大值，C错误； D．显然D正确． 故选：D． （多选）10．（2025秋•固始县校级月考）设A，B为两个随机事件，以下命题错误的为（　　） A．若A，B是对立事件，且，则 B．若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝1 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，则 【答案】AC 【分析】利用互斥事件、对立事件的和事件的概率公式即可逐一判断． 【解答】解：对于选项A，若A，B是对立事件，则P（AB）＝0，故A项错误； 对于选项B，当A，B是对立事件时，P（A∪B）＝P（Ω）＝1，故B项正确； 对于选项C，当A，B是互斥事件，，， 则，故C项错误； 对于选项D，若A，B是互斥事件，，， 则，故D项正确． 故选：AC． 11．（2025秋•黄浦区期末）某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是 　 （答案不唯一）　 ． 【答案】抛掷一枚硬币的试验（答案不唯一）． 【分析】结合古典概型的概念即可判断． 【解答】解：抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上两种等可能的结果． 故答案为：抛掷一枚硬币的试验（答案不唯一）． B层提升练 12．（2025春•李沧区校级期末）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A+B和AB包含的样本点数分别为（　　） A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；1 【答案】C 【分析】先求出试验E的样本空间，事件A+B和AB中所含的样本点，即可求出答案． 【解答】解：试验E的样本空间为： Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}． 其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个； 事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个． 所以事件A+B中所含的样本点为： （1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个； 事件AB中所含的样本点为（2，4），共1个． 故选：C． 13．（2025秋•兰州期末）某随机试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数，事件A＝“至少命中6次”，则下列说法正确的是（　　） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件A中有6个样本点 C．样本点6在事件A内 D．事件A中包含样本点11 【答案】C 【分析】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点事件，其中事件A＝{6，7，8，9，10}，由此可以判断选项． 【解答】解：由题，样本空间共有11个样本点，故A错误； 事件A＝{6，7，8，9，10}，共有5个样本点，故B错误；C正确；D错误； 故选：C． （多选）14．（2025秋•呼和浩特期末）给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题如下，其中真命题的选项为（　　） A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件 C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据随机事件的定义可解． 【解答】解：因为A⊆B且A，B为非空集合，结合几何知识可得： 若任取x∈A，则x∈B是必然事件，故A正确， 若任取x∉A，则x∈B是随机事件，故B错误， 若任取x∈B，则x∈A是随机事件，故C正确， 若任取x∉B，则x∉A是必然事件，故D正确． 故选：ACD． 15．（2026春•黄浦区校级月考）下列事件中不是确定事件的个数是（　　） ①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点； ②水中捞月； ③守株待兔； ④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合确定事件的概念检验各命题即可求解． 【解答】解：①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点为确定事件； ②水中捞月为不可能事件，为确定事件； ③守株待兔为随机事件； ④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量为随机事件． 故选：B． 16．（2025秋•青山湖区校级期末）给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题，其中错误的命题是（　　） A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件 C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合A，B满足的子集关系，依次分析各选项即可判断． 【解答】解：根据子集的定义，任意x∈A必然有x∈B，这是必然事件，A选项正确； 当x∉A时，x∈B仍有可能，例如A＝{1}，B＝{1，2}，取x＝2满足x∉A但x∈B，B选项错误； 任取x∈B，则x∈A或x∉A都有可能，是随机事件，C选项正确； 任取x∉B，则x∉A一定成立，是必然事件，D选项正确． 故选：B． 17．（2025秋•湖北期中）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（　　） A．A与B是互斥事件 B．P（B∩C）＝0.1 C．P（A∩B）≤0.5 D．A∪B∪C是必然事件 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得A、B、D错误，由交事件的性质分析C，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若A⊆B，则P（A∩B）＝P（A）＝0.4≠0，所以A与B不是互斥事件，A错误； 对于B，当B⊆C时，P（B∩C）＝P（B）＝0.5，B错误； 对于C，P（A∩B）≤P（B）＝0.5，C正确； 对于D，若A⊆B⊆C，则P（A∪B∪C）＝P（C）＝0.6＜1， 所以A∪B∪C不是必然事件，D错误． 故选：C． 18．（2025春•哈密市期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（　　） A．A∪B∪C是必然事件 B．A与B是互斥事件 C．P（A∩B）≤0.4 D．P（A∪B）＝1.1 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件A∩B的性质、并事件的概率的求法判断C和D． 【解答】解：对于选项A，若A⊂B⊂C，则P（A∪B∪C）＝P（C）＝0.6＜1， 所以A∪B∪C不是必然事件，故A错误； 对于选项B，若A⊂B，则P（A∩B）＝P（A）＝0.4≠0， 所以A与B不是互斥事件，故B错误； 对于选项C，由（A∩B）⊂A得P（A∩B）≤P（A）＝0.4，故C正确； 对于选项D，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.9﹣P（A∩B），而P（A∩B）≥0， 所以P（A∪B）≤0.9，故D错误． 故选：C． 19．（2024春•重庆期末）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为P（A），事件B的概率为P（B），则1﹣P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解． 【解答】解：掷两颗骰子，共有6×6＝36种可能， 其中事件AB为：（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9种， 故P（AB）， 所以1﹣P（A∩B）． 故选：D． 20．（2025秋•九江校级期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝10，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，下列结论正确的是（　　） A．n（AB）＝4 B．事件A与B互斥 C． D．事件A与B相互独立 【答案】A 【分析】对于A，根据容斥原理判断；对于B，根据互斥定义判断；对于C，由古典概型概率计算公式计算；对于D，由相互独立的定义判断． 【解答】解：对于A，∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB）， ∴n（AB）＝10+6﹣12＝4，故A正确； 对于B，由n（AB）＝4可知，事件A与B不互斥，故B错误； 对于C，由图知，， ∴，故C错误； 对于D，∵， ∴，故D错误． 故选：A． C层拓展练 21．（2025春•沧州期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则P（B∪C）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得P（B），P（C），进而可得结果． 【解答】解：因为事件A，B，C两两互斥， 又因为， 可得，解得P（C），P（B）； 所以． 故选：B． 22．（2024秋•天水校级期末）已知随机事件A，B满足，，，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和事件概率公式求解． 【解答】解：随机事件A，B满足，，， 则P（A∩B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B） ． 23．（2026春•红花岗区校级月考）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（　　） A．（A∪B）与C是互斥事件，且是对立事件 B．A∪B∪C一定是必然事件 C． D．A∪B的概率一定等于0.5 【答案】C 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可． 【解答】解：对于A，若（A∪B）与C是互斥事件， 则（A∪B）∩C＝∅， 若（A∪B）与C是对立事件，则（A∪B）∪C＝Ω（样本空间）， 题干中未说明事件A，B，C之间的关系， 无法确定（A∪B）与C是否互斥、对立，故A错误． 对于B，若事件A，B，C互斥，则， 若事件A，B，C存在包含关系，则概率会小于1， ∴A∪B∪C不一定是必然事件，故B错误． 对于C， ， ∴，故C正确． 对于D，． 只有当事件A，B互斥时，P（A∩B）＝0，此时， ∴A∪B的概率不一定等于0.5，故D错误． 故选：C． 24．（2025秋•太和县校级期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（　　） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解． 【解答】解：某生物实验小组种植了3粒新品种的种子， 样本空间为：3 粒种子发芽数为 0，1，2，3． “至少有一粒发芽”（1，2，3）与“至多有一粒发芽”（0，1）交集为“1 粒发芽”， 能同时发生 不是互斥事件，故A错误； “恰有两粒发芽”（2）与“至少有一粒发芽”（1，2，3）， 交集为“2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B错误； “三粒都发芽”（3）与“至少有一粒发芽”（1，2，3）交集为“3粒发芽”， 能同时发生不是互斥事件，故C错误； “至少有两粒发芽”（2，3）与“三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件， 并集为 {0，2，3}，未包含“1粒发芽”的情况所以两件事不是对立事件，故D正确． 故选：D． 25．（2025秋•青羊区校级期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则事件A与事件B（　　） A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】先计算n（A∩B），利用互斥事件的定义即可判断，再计算P（A），P（B），P（AB），利用独立事件的定义即可求解． 【解答】解：一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B中， n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12， ∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（A∩B）， ∴n（A∩B）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝9+6﹣12＝3， ∴A∩B≠∅，∴A，B不是互斥事件，故AC错误； ∵，，， ∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与事件B是独立事件，故B正确，D错误． 故选：B． 26．（2026•台州二模）设一个随机事件的样本空间为Ω，事件A，B⊆Ω，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．0≤P（A）≤1 B． C．若A⊆B，则P（A）≤P（B） D．若A∪B＝Ω，则P（A）+P（B）＝1 【答案】D 【分析】利用概率的意义及取值范围判断A；利用对立事件、互斥事件概率加法公式判断B；利用事件的包含关系判断C；利用概率加法公式判断D． 【解答】解：一个随机事件的样本空间为Ω，事件A，B⊆Ω， 对于A，任意事件A的概率都满足0≤P（A）≤1，故A成立； 对于B，∵是事件A的对立事件，则， ∴，故B成立； 对于C，∵A⊆B，则事件B包含事件A所有的样本点， ∴P（A）≤P（B），故C成立； 对于D，由A∪B＝Ω，仅能说明事件A和事件B的并集为样本空间， 但并未说明事件A和事件B是否互斥， 由概率的加法公式得P（A∪B）＝P（Ω）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝1， ∴只有当A∩B＝∅，即P（A∩B）＝0时，P（A）+P（B）＝1才成立，故D不一定成立． 故选：D． 27．（2026•金山区二模）已知全集U是一个六元集合，任取U的两个子集A、B（A、B可以相等），记事件M：B⊆A；记事件N：，则P（M∪N）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件M，N及M∩N所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解． 【解答】解：∵全集U是一个六元集合， ∴任取U的两个子集A，B，能形成26×26＝212对集合（A，B）， 即基本事件总数为212， U中任一元素x，满足事件M：B⊆A，有以下三种情况： x∈A，x∈B；x∈A，x∉B；x∉A，x∉B， ∴M所含基本事件个数为36， U中任一元素x满足事件N：B⊆，有以下三种情况， x∉A，x∈B；x∉A，x∉B；x∈A，x∉B， ∴N所含基本事件个数为36， 事件M∩N表示B⊆A且B同时成立，∴B＝∅， 此时A可以是U的任意子集，有26个， 即事件M∩N所含的基本事件有26个， ∴P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（M∩N）． 故选：C． 28．（2025秋•德阳校级期末）已知随机事件A，B满足P（A），P（B），P（A∪B），则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得． 【解答】解：已知随机事件A，B满足P（A），P（B）， P（A∪B）， ∵P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）， ∴， 故选：B． 29．（2025秋•韩城市期末）现从①y＝sinx，②y＝cosx，③y＝4x，④y＝x3这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可． 【解答】解：根据题意，在4个函数中，为奇函数的有①y＝sinx和④y＝x3， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有6种选法， 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有4种， 所以，所求概率． 故选：D． 30．（2025秋•进贤县校级期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可． 【解答】解：根据题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，n（Ω）＝36， 设事件A＝“至少出现一次1点”， A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1）}，n（A）＝11， 故P（A）． 故选：B． （多选）31．（2025•市中区校级模拟）设A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则（　　） A． B．A，B相互独立 C． D． 【答案】AB 【分析】根据互斥事件的概率加法公式、对立事件概率公式、独立事件的判定公式、条件概率公式，对每个选项逐一进行分析判断． 【解答】解：A，B是一次随机试验中的两个事件，，，， 对于A，由于与是互斥事件，则 ，故A正确； 对于B，已知，可得． 设P（AB）＝x，则，． 由A项可知，即． 解得，由，可得A，B相互独立，故B正确； 对于C，根据德摩根定律，再由对立事件概率公式，由B项可知， 所以，故C错误； 对于D，根据，，，则； 又，，，则． 则，故D错误． 故答案为：AB． （多选）32．（2025秋•广州月考）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人．同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人．现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A、B、C，则（　　） A． B．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C． D．P（B|A）＝P（B） 【答案】ACD 【分析】应用概率的基本性质计算求解判断A，B；应用条件概率计算判断C，D． 【解答】解：从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A、B、C， 则P（A），P（B），P（C）， P（AB），P（AC），P（BC），P（ABC）， ，故A正确； ，P（ABC），P（A）P（B）P（C）不相等，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． （多选）33．（2024秋•顺德区校级月考）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】要使电路是通路，则需甲原件正常，乙原件和丙原件至少有一个正常，分析各个选项表示的实际意义，得出结果． 【解答】解：一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件， 设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”， 对于A，由题意得，“甲元件正常”，BC＝“乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”， ∴表示电路是通路． 对于B，AB＝“甲、乙元件同时故障”， “甲原件和乙原件至少有一个正常”， BC＝“乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”， 不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路． 对于C，“甲元件正常”，“乙元件正常”， “丙元件正常”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”， 故表示电路是通路． 对于D，“甲、乙元件均正常”，“甲、丙元件均正常”， ∴表示电路是通路． 故选：ACD． 34．（2024春•杨浦区校级月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则　　 ． 【答案】． 【分析】由可得答案． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 35．（2025春•闵行区校级期中）小明在书店随机地选一本书，设事件A：小明选的书是数学书，事件B：小明选的书是中文版的书，事件C：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书．请写出A∩B∩C表示的事件：　 　 ． 【答案】小明选的书是2024年或2024年以后出版的中文版的数学书． 【分析】根据题意，由交事件的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，A∩B∩C表示的事件为：小明选的书是2024年或2024年以后出版的中文版的数学书． 故答案为：小明选的书是2024年或2024年以后出版的中文版的数学书． 36．（2025秋•长宁区校级月考）已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A、B满足，，则A＝　 　 ． 【答案】{a，b}或{a，b，d}． 【分析】根据并事件以及集合间的关系可解． 【解答】解：根据题意，集合A、B满足，， 则，则a，b∈A，c，e∉A，a，b，c，e∉B，d∈B， 当B＝{d}时，则A＝{a，b}或{a，b，d}． 故答案为：{a，b}或{a，b，d}． 37．（2024春•同步）同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A＝{点数之和是2，4，7，12}，事件B＝{点数之和是2，4，6，8，10，12}，事件C＝{点数之和大于8}，则事件A∩B∩为 　 　 ． 【答案】{2，4}． 【分析】根据样本空间的交事件即可得出答案． 【解答】解：事件C＝{点数之和大于8}，则事件{点数之和小于等于8}， A∩B{2，4}． 故答案为：{2，4}． 38．（2024春•同步）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系． 【答案】A⊆C，B⊆C． 【分析】根据随机事件A，B，C是否发生分类讨论，即可求解． 【解答】解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时， 事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C； 当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时， 事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系， 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C． 39．（2024春•同步）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．试判断： （1）事件A与事件B是什么关系？ （2）事件D与A，B是什么样的运算关系？ （3）事件C与A的交事件是什么事件？ 【答案】（1）事件A与事件B互斥但不对立； （2）D＝A∪B； （3）C∩A＝A． 【分析】利用事件间的包含关系，即可得出结论． 【解答】解：（1）事件A和事件B不可能同时发生，也可能同时不发生， 故事件A与事件B互斥但不对立； （2）由题意，3个球中既有红球又有白球，包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球，由此可得D＝A∪B； （3）3个球中至少有1个红球中包括3个球中有1个红球、2个白球，∴C∩A＝A． 学科网（北京）股份有限公司 $