第15讲 随机事件与概率（知识清单+10题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

第15讲 随机事件与概率 知识清单 知识点01：随机试验 知识点02：样本点与样本空间 知识点03：随机事件 知识点04：事件的关系和运算 知识点05：概率及古典概型的概念 知识点06：古典概型的概率公式 知识点07：概率的基本性质 题型讲解 （举一反三） 题型1：判断事件是否是随机事件 题型2：事件的运算及其含义 题型3：判断所给事件是否是互斥关系 题型4：互斥事件与对立事件关系的辨析 题型5：写出样本空间 题型6：计算古典概型问题的概率 题型7：有放回与无放回问题的概率 题型8：互斥事件的概率加法公式 题型9：利用互斥事件的概率公式求概率 题型10：利用对立事件的概率公式求概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1：随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点2：样本点与样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点． ②样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间． 一般地，用Ω表示样本空间，用w表示样本点． ③有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间． 知识点3：随机事件 随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，…表示． 基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件． 必然事件：包含了所有样本点的事件． 不可能事件：不包含任何样本点的事件． 注：每个事件都是样本空间的子集.建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间． 知识点4：事件的关系和运算 (1)包含关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 含义 A发生导致B发生 符号表示 B ⊇A(或A⊆B) 图形表示 特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B (2)并事件(和事件) 定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 含义 A与B至少一个发生 符号表示 A∪B(或A＋B) 图形表示 (3)交事件(积事件) 定义 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 含义 A与B同时发生 符号表示 A∩B(或AB) 图形表示 (4)互斥(互不相容) 定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝∅ 图形表示 (5)互为对立 定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 含义 A与B有且仅有一个发生 符号表示 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 图形表示 知识点5：概率及古典概型的概念 1. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 2.　如果试验具有以下两个特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 知识点6：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 1．从集合的角度理解古典概型的概率公式 用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝.如图所示． 把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝. 2．求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝＝. 知识点7：概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广　如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 方法与技巧： 1．如何应用互斥事件的概率加法公式 (1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果． (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏． (3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和． 2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系 (1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1. (2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立． 题型1：判断事件是否是随机事件 【例1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 【变式1-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是_____． 【答案】甲、乙两个小球所涂颜色相同 【分析】根据题意结合事件A的表示分析判断. 【详解】因为每个小球只涂一种颜色， 所以事件A的含义是甲、乙两个小球所涂颜色相同. 故答案为：甲、乙两个小球所涂颜色相同. 【变式1-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据必然事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. （2）根据随机事件的概念和已知条件即可求出的取值范围. 【详解】（1）必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件. 已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生. 所以可知的范围是. （2）随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足： 抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况; 抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到， 此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件. 所以的取值范围是. 题型2：事件的运算及其含义 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【答案】 【分析】根据和事件的关系定义判断即可. 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【答案】(1). (2). (3). 【详解】（1）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 . （2）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故. （3）由事件 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故. 事件 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球. 所以 个红球 2 个白球，2个红球 1 个白球 . 题型3：判断所给事件是否是互斥关系 【例3-1】（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【分析】由题意可得样本空间，进而求得的样本点，可得结论. 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义对四组事件一一判断，得到答案. 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”， 与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”， 与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件． 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不可能同时发生，是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“1件正品，1件次品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件； 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”，不可能同时发生，是互斥事件， 因此①④是互斥事件. 故答案为：2 题型4：互斥事件与对立事件关系的辨析 【例4-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 故选：B 【变式4-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况， 其中事件{正反，反正，反反}；事件{正正}，事件{反反}， 对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误； 对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误； 对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确； 对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是______． （1）A，B，C，D彼此互斥； （2）A与D，B与C是对立事件； （3）A的对立事件是； （4）的对立事件为； （5）与为互斥事件，但不是对立事件． 【答案】（1）（3）（4）． 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断． 【详解】（1）A，B，C，D四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确； （2）当发生时，和都不发生，因此不是对立事件，（2）错； （3）事件A和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确； （4）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确； （5）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误． 故答案为：（1）（3）（4）． 【变式4-3】若事件，事件A与事件B是否一定互为对立？试举例说明． 【答案】答案见解析 【详解】事件A与事件B不一定互为对立．例如：抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现1点或2点或3点”，则.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不互为对立． 题型5：写出样本空间 【例5-1】（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则，共含19个样本点． 故选：C. 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．该定理被称为费马大定理．现任取，则根据费马大定理可得事件“等式成立”包含的样本点的个数为________． 【答案】12 【分析】对进行分类即可求解样本点的总个数. 【详解】当时，由费马大定理知等式不成立； 当时，可取(3，4，5)或(4，3，5)，共2种情况； 当时，等式即为，可取(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)， (2，2，4)，(1，3，4)，(3，1，4)，(1，4，5)，(4，1，5)，(2，3，5)，(3，2，5)，共10种情况． 综上，使等式成立的样本点的个数为12. 故答案为：12. 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)； 【分析】（1）根据样本空间的定义求解即可； （2）根据基本事件的定义求解即可； （3）根据基本事件的定义求解即可. 【详解】（1）第一个转盘有4个数字，第二个转盘有4个数字， 因此样本空间为． （2）事件“”包含以下4个基本事件：. 事件“且”包含以下6个基本事件：． （3）事件“”包含以下3个基本事件：． 事件“”包含以下4个基本事件：． 题型6：计算古典概型问题的概率 【例6-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 【变式6-2】（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】/ 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出样本空间，然后确定“点数之和为5”所包含的个数，进而求出概率. （2）先求出样本空间，然后确定“出现两个4点”所包含的个数，进而求出概率. （3）先求出样本空间，然后确定“点数之和不小于9”所包含的个数，进而求出概率. 【详解】（1）在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子均可出现1点、2点……6点，共6种结果． 两枚骰子出现的点数可以用一对有序实数对来表示， 它与平面直角坐标系内的一个点对应，则样本空间为： ，共有36个样本点． （1）记“点数之和为5”为事件A， 从图中可以看到事件A包含的样本点共有4个，为， 所以. （2）记“出现两个4点”为事件，则事件包含的样本点只有1个，为．所以． （3）记“点数之和不小于9”为事件，则从图中可以看到事件包含的样本点有10个， 为，，，，，，，，，． 所以． 题型7：有放回与无放回问题的概率 【例7-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 【变式7-2】（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【答案】/0.4 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 题型8：互斥事件的概率加法公式 【例8-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】 【分析】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】由题意可得． 故答案为： 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 题型9：利用互斥事件的概率公式求概率 【例9-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 【变式9-1】袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则__________，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则__________. 【答案】 / / 【分析】利用互斥事件的概率公式即可得解. 【详解】由派出医生不超过2人的概率为，得，， 由派出医生最多4人的概率为，得，， 由派出医生最少3人的概率为，得，. 故答案为：；. 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球，设事件表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知，，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 【答案】 【分析】确认事件与不可能同时发生，满足互斥条件，再利用互斥事件的概率加法公式即可得解. 【详解】“3只球中有1只红球，2只白球”和“3只球中有2只红球，1只白球”不能同时发生，故两个事件与互斥． 又3只球中既有红球又有白球的情形为：1红2白，2红1白，即或， 故所求的概率为． 题型10：利用对立事件的概率公式求概率 【例10-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 【变式10-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 【答案】 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 【变式10-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用互斥事件概率和公式计算求解； （3）应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为，，，，则这4个事件彼此互斥． 月收入在范围内的概率是 （2）月收入在范围内的概率是 （3）月收入不在范围内的概率是 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 2．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 3．（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 4．（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为，其余2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都是男生有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为. 故选：A. 5．（24-25高一下·云南楚雄·期末）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，红旗、蓝旗与终点的距离相等有点数相同以及点数为4或6两类情况，利用对立事件的概率关系求解. 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有种情况，故所求概率为. 故选：D. 6．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 8．（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 11．（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 【答案】AD 【分析】选项A：根据古典概型判断相互独立事件；选项B：根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C：先列出 和 的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为 1，从而判断是否为对立事件；选项D：先判断事件 和 是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概率加法公式计算即可判断. 【详解】选项A：由已知得，因为，， 所以，即与互不影响，A正确. 选项B：事件与事件能同时发生，故与不是互斥事件，B错误. 选项C：， ， 故事件与不是对立事件，C错误. 选项D：因为事件，事件， 则不可能同时发生，故与互斥，所以，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高一上·山东潍坊·期末）把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，27个体积为的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率. 故答案为： 13．（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可. 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 14．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 【答案】/ 【分析】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有，由题可得，然后由列举法可得答案. 【详解】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有.由题有. 由题可得可为 ，共24种情况. 满足的有共6种，则对应概率为：. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 16．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【答案】(1)0.04 (2)0.26 【详解】（1）设“5人及以上排队等候付款”为事件，由于所有概率的和为1， 则，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04． （2）设“至多有1人排队”为事件，“没有人排队”为事件，“恰有1人排队”为事件，则事件与互斥，，，，所以，即至多有1人排队等候付款的概率是0.26． 17．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据古典概型列举样本空间的基本事件总数，从而设事件A：两个歌唱节目相邻，确定事件A发生的样本总数，从而得概率； （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，结合对立事件关系确定，从而得所求概率. 【详解】（1）记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为，1个小品节目为， 则按任意次序排出一个节目单的样本空间是： bamn，banm，bman，bmna，bnam，bnma，mabn，manb，mban，mbna，mnab，mnba， nabm，namb，nbam，nbma，nmab，nmba，共24件， 设事件A：两个歌唱节目相邻，事件A包含的样本点有 abmn，abnm，bamn，banm，mabn，mban，mnab，mnba，nabm，nbam，nmab，nmba，共12个， 则；即两个歌唱节目相邻的概率是. （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，则事件B的对立事件：舞蹈和小品排在中间， 而事件包含的样本点有，共4件， 所以 18．唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，只有10份答卷答案既没有B，也没有C，再由古典概型求概率即可； （2）设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，再根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：由表可知，这100份答卷每份答案都含有A，B，C，D，E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B，也没有C， 设“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”， 则， . 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为； （2）根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，则， ， 所以这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率为. 19．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)0，2，4 (2) (3)不可能，理由见详解 【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解； （2）分析可知样本容量，且只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解； （3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解. 【详解】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论； 2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 随机事件与概率 知识清单 知识点01：随机试验 知识点02：样本点与样本空间 知识点03：随机事件 知识点04：事件的关系和运算 知识点05：概率及古典概型的概念 知识点06：古典概型的概率公式 知识点07：概率的基本性质 题型讲解 （举一反三） 题型1：判断事件是否是随机事件 题型2：事件的运算及其含义 题型3：判断所给事件是否是互斥关系 题型4：互斥事件与对立事件关系的辨析 题型5：写出样本空间 题型6：计算古典概型问题的概率 题型7：有放回与无放回问题的概率 题型8：互斥事件的概率加法公式 题型9：利用互斥事件的概率公式求概率 题型10：利用对立事件的概率公式求概率 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一：随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点二：样本点与样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点． ②样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间． 一般地，用Ω表示样本空间，用w表示样本点． ③有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间． 知识点三：随机事件 随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，…表示． 基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件． 必然事件：包含了所有样本点的事件． 不可能事件：不包含任何样本点的事件． 注：每个事件都是样本空间的子集.建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间． 知识点四：事件的关系和运算 (1)包含关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 含义 A发生导致B发生 符号表示 B ⊇A(或A⊆B) 图形表示 特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B (2)并事件(和事件) 定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 含义 A与B至少一个发生 符号表示 A∪B(或A＋B) 图形表示 (3)交事件(积事件) 定义 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 含义 A与B同时发生 符号表示 A∩B(或AB) 图形表示 (4)互斥(互不相容) 定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝∅ 图形表示 (5)互为对立 定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为 含义 A与B有且仅有一个发生 符号表示 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 图形表示 知识点五：概率及古典概型的概念 1. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 2.　如果试验具有以下两个特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 知识点六：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 1．从集合的角度理解古典概型的概率公式 用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝.如图所示． 把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝. 2．求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝＝. 知识点七：概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广　如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 方法与技巧： 1．如何应用互斥事件的概率加法公式 (1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果． (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏． (3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和． 2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系 (1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1. (2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立． 题型1：判断事件是否是随机事件 【例1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是_____． 【变式1-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 题型2：事件的运算及其含义 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 题型3：判断所给事件是否是互斥关系 【例3-1】（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【变式3-1】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“2件都是次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”． 其中互斥事件有（　 　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 题型4：互斥事件与对立事件关系的辨析 【例4-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【变式4-1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【变式4-2】从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是______． （1）A，B，C，D彼此互斥； （2）A与D，B与C是对立事件； （3）A的对立事件是； （4）的对立事件为； （5）与为互斥事件，但不是对立事件． 【变式4-3】若事件，事件A与事件B是否一定互为对立？试举例说明． 题型5：写出样本空间 【例5-1】（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．该定理被称为费马大定理．现任取，则根据费马大定理可得事件“等式成立”包含的样本点的个数为________． 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 题型6：计算古典概型问题的概率 【例6-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 题型7：有放回与无放回问题的概率 【例7-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 题型8：互斥事件的概率加法公式 【例8-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【变式8-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 题型9：利用互斥事件的概率公式求概率 【例9-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【变式9-1】袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则__________，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则__________. 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球，设事件表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知，，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 题型10：利用对立事件的概率公式求概率 【例10-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 【变式10-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 2．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 3．（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南楚雄·期末）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 8．（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 10．（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 三、填空题 12．（25-26高一上·山东潍坊·期末）把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 14．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 四、解答题 15．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 16．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 17．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 18．唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 19．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $