精品解析：湖北广水市第一高级中学2026届高三下学期阶段学业能力自测数学试卷（二）

2026届高三下学期阶段学业能力自测 数学试卷（二） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 4. “”是函数“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ） A. 32 B. C. 16 D. 8. 设实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. B. 正三棱柱的体积为 C. 若，则 D. 直线与是异面直线 10. 已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 离心率为 C. D. 11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为7 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则的值为_____________． 13. 在等比数列中，，且，则______． 14. 若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________ 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 重庆城市足球超级联赛（简称 “渝超”）引发了广泛关注. 某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超” 赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，点D在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. （1）写出所有满足的数列； （2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，. （1）求椭圆的方程. （2）证明：为定值. （3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域； （3）若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期阶段学业能力自测 数学试卷（二） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则，则的虚部为. 2. 已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再分析，利用的性质，得或，要使，需保证补上未覆盖的部分且无遗漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”落在内，即，解得． 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 3. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为：，，进而联立方程，并结合韦达定理，得，再计算，原点到直线的距离即可计算面积. 【详解】设直线的方程为：，两点的坐标分别为 联立消得：， 由，得， ，则（舍）， 直线的方程为：， 原点到直线的距离， . 故选：C 4. “”是函数“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正余弦函数的奇偶性及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】当时，为奇函数， 所以“”是函数“”为奇函数的充分条件， 若为奇函数，则， 化简得，， 所以“”是函数“”为奇函数的不必要条件， 故选：A. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解. 【详解】由题意，令， 解得，即函数的单调递增区间是. 故选：D. 6. 已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，根据模长平方公式：  ， ， 再由，移项得， 两边平方：，  代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 7. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ） A. 32 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 8. 设实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，分类讨论进行求解即可. 【详解】设，其中为参数 依题意有零点 易知为单调递增函数. 大致图象如下所示： 当时， 有, 即 即. 当时， 有, 即 即. 综上可知，. 故选：D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. B. 正三棱柱的体积为 C. 若，则 D. 直线与是异面直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 10. 已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（ ） A. 渐近线方程为 B. 离心率为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方程可求渐近线方程和离心率，求出可判断CD选项. 【详解】由题意可得，焦点在轴上，所以， 渐近线方程为，离心率为，A错误，B正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，所以， 所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：BC 11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为7 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 对于A，，不是的周期，故A错误； 对于B，的定义域为， 为奇函数，故B正确； 对于C，，且为奇函数， 的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，，当时，，取最大值7，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，进而求出即可. 【详解】由题意知：，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为:. 13. 在等比数列中，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质求出，再对所求式子求和，利用等比数列的性质求值. 【详解】因为在等比数列中，，所以，解得， 设等比数列的公比为， 则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为 . 由等比数列的性质可知，所以. 故答案为：3 14. 若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________ 【答案】 ①. ##0.25 ②. ## 【解析】 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1， 并且，， 所以，， 所以当时取得最大值； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为， 故答案为：； 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 重庆城市足球超级联赛（简称 “渝超”）引发了广泛关注. 某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超” 赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 【答案】（1）认为关注 “渝超” 赛事与性别有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）整理列联表数据代入卡方统计量公式计算，对比临界值得出结论； （2）确定分层抽样人数，确定随机变量取值，分情况计算概率，列出分布列并求期望． 【小问1详解】 整理列联表数据如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 女性 合计 根据卡方公式： ， 已知小概率值，对应临界值， ， 根据的独立性检验，认为关注 “渝超” 赛事与性别有关． 【小问2详解】 关注赛事的市民中，男性人，女性人，性别比例，则抽取3人时，男性2人，女性1人； 表示顺利完成问答总人数，取值为：， 已知男性完成概率，未完成概率，女性完成概率，未完成概率，且相互独立； 则； ； ； ； 0 1 2 3 数学期望为： ． 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，点D在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为四边形是菱形，且，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由平面平面，利用面面垂直的性质，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 所以，，所以， ， 以为原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， ，则， 设平面的法向量， 则， 取，可得， 所以平面的法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. （1）写出所有满足的数列； （2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 【答案】（1）1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7. （2）证明：设这样的数列对应的公比为， 则相应的四项，从小到大排列为. 要使任意连续三项的和都能被3整除， 则能被3整除，即被3整除即可. 考虑集合，当时， 一定能被3整除， 因中的元素有无穷多个， 则存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）13. 【解析】 【分析】（1）由所给信息，找到满足题意的数列即可； （2）即证明存在无穷多个整数，使能被3整除； （3）将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论所属集合，确定，，所属集合， 并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案. 【小问1详解】 由题可得， 令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或； 令，则；令，则不存在满足题意；，则. 综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设. 因都能被3整除，，则. 若，因都能被3整除，则； 则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为5； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为13； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为9. 综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，. （1）求椭圆的方程. （2）证明：为定值. （3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：延长交椭圆于点，由对称性可知关于原点对称， 设，，所以， 联立，可得，且， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，，即， 联立的方程可解得， 所以， 因为在轴上方，所以且，所以， 又因为，所以，解得，所以， 又因为时，恒成立， 所以， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此可求解出椭圆的方程； （2）延长交椭圆于点，设出点坐标，联立与椭圆的方程，可得点坐标，则点坐标可知，联立的直线方程可得点坐标，根据点到点的距离公式进行化简计算，即可完成证明； （3）判断出的轨迹并求出轨迹方程，计算出到的距离并通过弦长公式表示出，由此可表示出的面积，结合基本不等式求解出面积的最大值. 【小问1详解】 当轴时，，所以， 此时由对称性可知， 因为轴，为的中点，所以为的中点， 所以，且， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，为以为焦点，以为长轴长的半椭圆， 设半椭圆的方程为，所以， 所以，设， 联立和的方程，可得， 则， 且，即， 到直线的距离为， ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域； （3）若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角公式及辅助角公式化简，再应用单调递增区间计算求解； （2）求出，再应用正弦函数值域计算求解； （3）求出，再应用换元法结合正弦函数的值域，应用正弦函数的对称性得出参数范围. 【小问1详解】 因为 ， 令， 解得 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则，所以 即，故的值域为. 【小问3详解】 已知，则. 令，则，函数可记为. 则在有两个不同解，，其中，. 此时，则 ， 即， 所以，，. 所以， 又因为，且，可得， 所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $