江苏灌南县2025-2026学年第二学期期中调研考试高二数学试题

2025~2026学年第二学期期中调研考试 高二数学试题 注意事项： 1:考试时间120分钟，试卷总分150分。 2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区战内作答。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a=() X 0 1 a a+0.4 A.0.2 B.0.3 c.0.6 D.0.7 2.已知点4A(3,-1,0),若向量B=(2,5,-3),则点B的坐标是（) .(5,4,-3) B.(L,6,3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) 3.杨辉是我国南宋时期的一位杰出的数学家，在他所著的 (a+b) 《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系 (a+b)2 2 数构成的三角图形，称为“开方做法本源”，现在简称为 “杨辉三角”， (a+b)3 3 1 右边是(a+b)(neN),当n=1,2,3,4,5时展开式中的二项式(a+b)4 4241 系数表示形式。 (a+)5 1 1051 借助该表示形式，判断λ与4的值分别是() (第3题图) A5,9 B.5,10 C.6,9 D.6,10 4.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员 人数，则P(X=3)=() A.分 9 B. 21 C. 6 D. 5.89×90×91×…×100可表示为() A.4品 B.40 C.4品 D.40 6.（-)x+2的展开式中y的系数为() A.100 B.60 C.40 D.20 高二期中数学试卷第1页，共4页 7.在空间直角坐标系中，己知A(1,2,3),B(一2，一1,6)，C3,2,I),D(4,3,0),则直线AB与CD 的位置关系是() A垂直 B.异面 C.平行 D.相交但不垂直 8.用α代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干 个球的所有取法可由(1+a1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1"表示一个球都不取、“a”表示 取出一个红球，而“b”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5 个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取 出的所有取法的是() A.(I+a+a2+a'+a'+a'1+b+c)B.1+as)1+b+b2+b+b+b1+c) C.(1+a)(1+b+62+b2+b+b1+c)D.(I+a'1+b)(1+c+c2+c'+c'+c 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于空间向量的说法中正确的有() A.若向量a、方共线，则向量a、所在的直线平行 B.若向量ā、所在的直线是异面直线，则向量a、i一定不共线 C.若三个向量a、6、c两两共面，则三个向量a、b、c一定共面 D.若a、6、c是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x片，)： 使p=xa+yb+zc 10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=aa243a4(每一位上数字只能是0或1，例 如出现“1010”)，其中4的各位数中a=123,利出现0的概率为，出现1的概率为子，各个位数之 间互相独立记随机变量X=a1+42+a马+44，则当程序运行一次时，下列说法正确的有() A.PK=0)=4 81 aP(K-小-品 C.X的数学期望E(X)= D.随机变量3X+1的方差D3X+)=8 11.已知1-x)202”=a0+a,x+ax2++a2o2r2027,则下列说法正确的有() A展开式的各二项式系数的和为0 B.a1+42+…+a2027=-1 C.a2027=-1 D.2027a+22020a41+22025a2+…+2°a227=1 高二期中数学试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量5~N(2,a2),且P(2<5<2.5)=0.36,则P(522.5)= 13.在（正+的展开式中，有理项的个数共有 个 14.如图，在体积为1的三棱锥A-BCD的侧棱AB,AC,AD上分别取点 E,F,G,AE:EB=AF:FC=1:1,AG:GD=2:1. 记O为平面BCG、平面CDE、平面DBF的交点， 则三棱锥O一BCD的体积等于 (第14题图) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系O-z,其中OxBC, OyllAB,E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a,高为h. (1)求cos(BE,DE):(用含有a和h的式子表达) (2)当∠BED是二面角B-VC-D的平面角时，求cos∠BED. (第15题图) 16.(15分)甲、乙、丙等6名同学利用周末到杜区进行志愿服务 (1)进行合影留念时，6名同学站成一排甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (2)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 17.(15分)现有编号为1,2,3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号 球：2号口袋内装有两个1号球，一个3号球：3号口袋内装有三个1号球，两个2号球：第一次先从1 号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到2号球的概率， 高二期中数学试卷第3页，共4页 18.(17分)如图，等边三角形ABC的边长为8，E,F分别为所在边的中点，O为线段EF的中点，现将 三角形ABC沿直线EF折起，使得二面角A-EF一B为直二面角. (1)求线段AC的长度： (2)求直线BE与平面ABC所成角的余弦值： 3)校C上是否布在异于媚点的点丛使得点4到平面O9的更离为恒若存在，请指出点M给舱 置：若不存在，请说明理由。 0 (第18题图) 19.(17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（∈N,n之3）瓶外观 相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后， 再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏 离程度的高低为其评分.现分别以4，a2,·,a.表示第一次排序时被排在1,2，···，n的n种酒 在第二次排序时的序号，并令X=|1-a+|2-a2|+3-4|+…+|n一a.,则X是对两次排序的偏 离程度的一种描述。 (1)当n=3时，若4，a2,4等可能地为1,2,3的各种排列，求X的所有可能的取值集合： (2)取m=4,假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，41,42,4,4，等可能地为1,2,3.4的 各种排列，且各轮测试相互独立。 ①求X的分布列与数学期望： ②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，计算出现这种现象的概率：出现这种现象，能否认 为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由 高二期中数学试卷第4页，共4页2025~2026学年第二学期高二年级期中考试数学答案 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 心 A 0 0 A 马 心 二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（即：若有两个正确 选项，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每选对一个得2分有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BCD BCD 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.0.14 13.2 14. 四解答题 15.解：(1)由题意知a,a,o,C(-a,a,0,D(-a,-a,0,E(-分号空 由此得：BE=30,-g么，DE=g,30,5 Γ2’2'2 2’2’21 ·BE.DE=-3a 24 E1-DE2oa+r 0年垂●单香●单香重香香● 3分 由向量的数量积公式有： 3a2,h2 BE.DE cos<BE,DE>= 24 =-6a2+h 10a2+h2 …6分 BE·DE 2ic+Fior+ (2)若∠BED是二面角B-VC-D的平面角，则BE⊥CV,DE⊥CV :BE.CV=0,DE.CV=0 由C(-a,a,o,V0,0,h)可得CV=(a,-a,)又BE=(-3,-a,H 222 息E.CV心土0解得：h三2a(P22)……山分 .cos<BE,DE > BE.DE-6a2+h2-6a2+(N2a)21 BE DE 10a2+h2-10a2+(2a)2-31 所以coS∠BED= 3 ……13分 高二期中数学答案 第1页，共4页 16解；(1)从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体， 再与余下2个人全排列，则有C·A·A·A=144种排列方案：…7分 (2)由题可得学生的人数分组方案可以有：①1,2,3；②1,1,4；③2,2,2： ①6名学生人数按1,2,3分为三个组有C.CC种分组方法， 则6人分配到三项不同的社区服务共有C6CCA=360种分配方法；…9分 ②6名学生人数按1,1,4分为三个组有C。=C种分法，则6人分配到三项不同的社区服务， 一种服务1人、一种服务1人、一种服务4人共有C2A=90种分配方法；··11分 ③6名学生平均分配做三项不同的社区服务有CCC=90种分配方法；…13分 则6人分配进行三项不同的社区服务，每组至少一人一共有： 360+90+90=540种方法.………15分 17解：(1)用A,B分别表示第一次、第二次取到号球，=1,2,3，则第一次抽到3号球的条 仔下第二次抽到1号球的概率P84)名)…7分 (2)依题意AA4两两互斥，其和为，并且P风A)子，PA)=PA,)9分 PB2A1,PB2A,PB2Ag…1分 应用全概率公式，有PB月1PA)PB,A,上导×+*是、 …15分 18.解：(I)连接AO,则DE,由题意知面AEF⊥面EBCF,且面AEFO面EBCF=EF, 又AO￠面BCFE,所以AO⊥面BCFE.取边BC的中点记为D,则OE⊥OD. 以OA,OE,OD为正交基底建如图所示空间直角坐标系， 易知A(0,0,2W3),C(-4,23,0),所以AC=210;…4分 (2)由题知EB=(2,25,0), 记面ABC的一个法向量n=(x,%,0), 0 易知BC=(-8,0,0),AB=(4,25,-23), i-BC=-8x=0 x=0 所以 iAB=4x0+2W5y-2W3z,=0' 不妨取=1，得=1，即i=(0,1,1), 3,1 记直线BE与平面ABC的所成角为日， 高二期中数学答案 第2页，共4页 则sin8=cos(EB,n片 1EB.256 EB园2×44’ …………8分 考虑到0∈021，有cos0≥0，从而cos9=V-$in0-i0 所以直线BE与平面ABC的所成角的余弦值为0 ………10分 (3)设AM=2AC,其中0<九<1.……………12分 AC=(-4,2√3，-2N3),AM=(-4元，2√32，-232)，0A=(0,0,23), 0M=0A+AM=-4225元，25-25)， OB=(4,2√3,0)，记平面0BM的一个法向量为m=(x,y,乙1)， m.0B=4x+2N3y=0 则有 m.0M=(←42)x+(2V5)y+(25-252z,=01 [x=3-52 不妨取乙=42，解得{y=21-2,即m=(3-5元21-2,4)， 31=41 则点A到平面OBM的距离d=OAm 85 4V33 m√W3-√3+(2-22+16 11, 整理得：2122+142-7=0，即312+21-1=0， 解得元=或元=-1（舍去），…16分 3 所以当点M位于线段AC的靠近点A的三等分点时，……17分 点A到平面OBM的距离为4N3 11 19.解：（①）当n=3时，a,a2,a的各种排列方式如下表： a 1 2 2 3 a 2 3 1 3 2 a3 3 2 3 1 X 0 2 2 4 4 4 ∴X的可能取值集合为{0,2,4)， …3分 (2)①当n=4时， 高二期中数学答案 第3页，共4页 考虑到在1,2,3,4中奇数和偶数各有两个，所以a2,a4中的奇数个数等于a1,a3中的偶数 个数，那么|1-a+3-43|与2-a2|+4-a4|的奇偶性相同， 所以对于X=(1-a+|3-a3)+(2-a2+4-a4D必为偶数， 而X≥0，且易知X1-4|+|2-3+|3-2|+4-1=8 从而X的可能取值为0、2、4、6、8………………………………6分 (或者通过列举法列出X的所有可能的取值) X==克PX=2-关- P(X=4)=C+C+17 A41 Px-)-CxGicic1-3 A P(X=8)=CG+1+11 A 6 .X的分布列为： 0 2 4 6 8 1 1 7 3 1 24 8 24 8 6 …11分（注每对一项得1分） 从而X的数学期望E(X)=0x 1 +2×二+4× > 3 1 +6×2+8×二=5.…12分 24 8 24 P 6 ②记“在相继进行的三轮测试中都有X≤2”为事件A, 在某轮测试中有X.2“为事件B,则P(B)=P(X=O)+P(X=2)+ 又各轮测试相互独立， Pr=Peae-[Pa-合G。6 ………………………16分 考虑到P(A)-26-0046,该可能在非节小 根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生，从而我们认为该品 酒师有较好的酒味鉴别功能，而非靠随机猜测.…………17分 高二期中数学答案 第4页，共4页