精品解析：山西临汾市2025-2026学年高三下学期质量监控第二次模拟测试数学试题

临汾市2026年高三年级质量监控第二次模拟测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 3. 等差数列的前项和为，，则（） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 11. 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 13. 已知（，且），则______． 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 16. 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 17. 已知函数的一个极值点是． （1）讨论的单调性； （2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，点在上，且满足. （1）证明：平面； （2）设底面是边长为6的等边三角形，点到底面的距离为3，且点在底面的射影恰好落在线段上. （ⅰ）求二面角的正切值； （ⅱ）若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，当球的表面积取最小值时，求球心到底面的距离. 19. 某公园管理部门对周六和周日的游园情况进行数据调研.调研数据显示，在过去的周六日，景区提供相同的服务，游园的游客会根据自身条件等可能地选择周六日的一日进行游园. （1）若景区随机统计7名游客的游园时间，求周六的游客量大于周日的游客量的概率； （2）该景区统计游客游园时间时，若随机选择（）名游客， （ⅰ）设周六的游客量大于周日的游客量的概率为，讨论的单调性； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾市2026年高三年级质量监控第二次模拟测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点三角形的几何性质求解即可. 【详解】 的面积为 所以 故选：A. 3. 等差数列的前项和为，，则（） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 由等差数列性质：，故. 已知，代入得：，化简得. ，化简得. 又，故. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 6. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 7. 将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 8. 椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式定理中二项式系数的特点：中间项的二项式系数最大，求解选项A，对二项式展开式进行赋值，赋值求解选项B，对二项式展开式的左右两边进行求导再赋值求解即可求解选项C，对二项式展开式赋值并观察各项系数特点是否含有16的因数求解选项D. 【详解】展开式中二项式系数最大为第1014项，故选项A正确， 所以 又因为 所以令则故选项B正确. 对函数左右两边求导得： 令，则 又，所以，故选项C正确. ， 令，则， 除第一项外，其余项均可以被16整除， 所以被16除的余数是1，故选项D错误. 11. 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，焦点三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项D，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论. 选项C，特殊点求解的值计算判断C. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，得 ，B错误； 对于选项D：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 ， 设，同理得 ，且 ，故 ，即，D正确； 对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， 设，因为，则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立， 可得或， 则，. 则，则的最小值不是4，C选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 13. 已知（，且），则______． 【答案】## 【解析】 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 【答案】95 【解析】 【分析】先分析数列的分组结构，分别求出每组的和与项数，再结合“和为的整数幂”的条件，构造方程抵消常数项，最后结合的限制条件，检验并找到满足条件的最小项数. 【详解】解：由题意知：第一项为； 第二项为，； 第三项为，，， 第项为，，，，， 根据等比数列前项和的公式，求得每项的和分别为： ，，，，； 每组含有的项数分别为：，，，，； 前个完整项，总共的项数为； 前个完整项，所有项的总和为 ， 由题可知，为2的整数幂，若直接取前个完整组，和为， 不是2的整数幂， 因此，需要在第组中再取若干项，与相抵消，才能使其为2的整数幂. 设再从第组中取前项，则这项的和为： ， 此时，前项的总和为：, 令，则，此时，为的整数幂，对应的总项数为： ，很显然不合题意， ①当时，，解得，总项数项，不满足； ②当时，，时，解得，总项数项，不满足； ③当时，，解得，总项数项，满足， 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 【答案】（Ⅰ）函数f（x）最小正周期为，单调增区间为，（Ⅱ）f（x）取得最大值为，此时 ． 【解析】 【分析】（Ⅰ）化简，再根据周期公式以及正弦函数的单调性即可解决 （Ⅱ）根据求出的范围，再结合图像即可解决． 【详解】（Ⅰ）由于函数 ， ∴最小正周期为． 由得：， 故函数f（x）的单调增区间为，． （Ⅱ）当时，，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值， ∴， 故当时，原函数取最小值2，即，∴， 故， 故当时，f（x）取得最大值为，此时，，． 【点睛】本题主要考查了三角函数化简的问题，以及三角函数的周期，单调性、最值问题．在解决此类问题时首先需要记住正弦函数的性质．属于中等题． 16. 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）本题先判断抛物线开口向右，套用焦半径公式，代入点的横坐标与焦半径长，列式求出的值，再代入标准式即可得出抛物线方程. （2）解法一：先写出抛物线焦点，设横截距式直线方程避免斜率不存在讨论，联立抛物线方程得到一元二次方程，利用韦达定理得两根和与积，结合抛物线弦长公式表示弦长，再求原点到直线的距离，结合三角形面积条件列方程求出参数，最终整理出直线方程.解法二：设过抛物线焦点的直线为，联立抛物线方程，借助韦达定理得到纵坐标关系，利用三角形面积的纵坐标差简便公式列式，化简求解参数，进而写出直线方程. 【小问1详解】 由题意得，点在抛物线上，且， 则，所以，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 解法一： 抛物线方程为，焦点坐标为， 由题可设直线的方程为，，， 由得， ，，. 则，所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得. 所以直线的方程为，即. 解法二： 抛物线方程为，焦点坐标为， 由题可设直线的方程为，，， 由得， ，，. ，解得 所以直线的方程为，即. 17. 已知函数的一个极值点是． （1）讨论的单调性； （2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【小问1详解】 （）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 18. 如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，点在上，且满足. （1）证明：平面； （2）设底面是边长为6的等边三角形，点到底面的距离为3，且点在底面的射影恰好落在线段上. （ⅰ）求二面角的正切值； （ⅱ）若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，当球的表面积取最小值时，求球心到底面的距离. 【答案】（1） 如图，设为与的交点，连接， 过点作交于点， 由题是的中点，则， 易得，故， 又为的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设为与的交点，连接，过点作交于点，通过从而得到，继而得到，即可证明； （2）解法一：（ⅰ）设为在底面上的射影，连接，在底面上的射影为，点作于点，连接，证明从而得到为二面角的平面角，求出，再根据二面角的平面角与二面角的平面角互余即可求出答案； （ⅱ）设球的半径为，在底面上的射影恰为的中点，设，点作于点，设，根据几何关系可知，，联立求得，根据的范围即可求出答案. 解法二：（ⅰ）以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，利用向量法求出二面角的正切值，再根据二面角的平面角与二面角的平面角互余，即可求出答案； （ⅱ）设球的半径为，设，根据得，即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：（ⅰ）如图，设为在底面上的射影，连接， 则点在线段上，平面， 设在底面上的射影为，则在线段上， 因为为的中点，则为的中点， 过点作于点，连接. 因为平面，又平面，则， 又，平面， 则平面， 因为平面，所以， 故为二面角的平面角， 过点作交的延长线于点，则， 又为的中点，则， 因为底面为边长为6的等边三角形，， 所以，即， 所以，即， 所以，则， 又点到底面的距离为3，则， 在中，， 易知平面平面， 则二面角的平面角与二面角的平面角互余， 所以二面角的正切值为. （ⅱ）如图，设球的半径为， 因为为直角三角形，所以在底面上的射影恰为的中点， 记为点，记，则， ① 过点作于点，则， 过点作于点，易知四边形为平行四边形， 设， 则 ，② 由①②有， 即， 当时，取最小值，取到最小值，球的表面积取到最小值， 此时，则当球的表面积取最小值时， 球心到底面的距离为. 解法二：（ⅰ）如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 设点的横坐标为， 由余弦定理可知，则， 则，，，， 则， 故，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 易知平面的一个法向量为， 故， 则 易知平面平面， 则二面角的平面角与二面角的平面角互余， 所以二面角的正切值为. （ⅱ）设球的半径为，易知在底面上的射影恰为的中点， 可设，则. 则有. 则（）. 当时，，取到最小值，则球的表面积取最小值. 则球心到底面的距离为. 19. 某公园管理部门对周六和周日的游园情况进行数据调研.调研数据显示，在过去的周六日，景区提供相同的服务，游园的游客会根据自身条件等可能地选择周六日的一日进行游园. （1）若景区随机统计7名游客的游园时间，求周六的游客量大于周日的游客量的概率； （2）该景区统计游客游园时间时，若随机选择（）名游客， （ⅰ）设周六的游客量大于周日的游客量的概率为，讨论的单调性； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2） （ⅰ）单调递增； （ⅱ）解法一：因为. 由，…，， 知，所以. 则有， 所以. 解法二：因为 . 由知， 累加可以得到， 则有，所以 【解析】 【分析】（1）解法一：应用二项分布概率公式计算求解；解法二：应用概率对称性计算求解； （2）（ⅰ）解法一：由二项分布概率公式计算做商计算得出单调性；解法二：应用概率对称性得出概率公式做商计算得出单调性；（ⅱ）解法一：应用概率公式放缩化简计算证明；解法二：应用概率公式结合对数运算计算证明. 【小问1详解】 解法一： 由题易知游客选择周六、周日进行游园的概率均为， 随机统计7名游客进行统计，若周六的游客量大于周日的游客量， 则周六游园的游客有4人、5人、6人、7人这4种情况， 则周六的游客量大于周日的游客量的概率 . 解法二：随机统计7名游客，周六大于或小于周日的游客量， 由对称性可知，则周六的游客量大于周日的游客量的概率. 【小问2详解】 （i）解法一：由题可知， ， 整理得. 由，知单调递减， 故，即单调递增. 解法二：周六和周日的游客量相等的概率为， 由周六游客量大于或小于周日的游客量的对称性知，， 整理得， 由，知单调递减， 故，即单调递增. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $