河北武强中学2025-2026学年高二下学期4月期中综合素质监测数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷涵盖统计、数列、概率、导数等核心知识，解答题以独立性检验、函数极值、智能客服概率等情境设计，体现数学思维与实际应用的结合，适配期中巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|线性相关系数、分层抽样、条件概率等|第1题图像辨析考查几何直观，第5题象棋比赛情境体现数学语言表达现实世界| |多选题|3/18|等差数列性质、正态分布等|第11题结合“一带一路”茶叶出口数据，考查数据意识与应用能力| |填空题|3/15|排列组合、回归残差、切线问题|第13题广告费与销售额残差计算，强化数据分析与模型观念| |解答题|5/77|独立性检验、导数应用、数列求和等|15题疾病与检查关系的独立性检验，18题智能客服概率分布，突出逻辑推理与实际问题解决能力|

高二数学细目表： 1.线性回归模型拟合效果． 2.等差数列前n项和公式． 3.组合公式． 4.二项展开式． 5.条件概率计算公式．   6.导数的应用． 7.线性回归方程及样本中心点． 8.与的关系． 9.数列的通项公式及前n项和公式． 10.二项式展开式的通项公式．  11.正态分布． 12.组合数运算． 13.回归方程及残差. 14.切线方程及导数的应用． 15. 古典概型的概率公式及独立性检验． 16.导数的应用，利用导数判断单调性及最值． 17.数列的通项公式及前n项和公式． 18.全概率公式及分布列． 19.导数的应用，利用导数判断极值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案 一､单项选择题：  二､多项选择题：ACD   3、 填空题：  四、解答题： 15．【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16．【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以，所以函数在上的最小值为1. 17．【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 18．【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 19．【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故，故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2025—2026学年度下学期期中综合素质监测 高二数学试题 出题人:刘宽新 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 2．记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 4．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 5．某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 7．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A． B．0.206 C． D．0.596 8．已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8 10．已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 11．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 13．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为________.（残差观测值-预测值） 14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．本小题分 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 本小题分 已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 17．本小题分 记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．本小题分 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 19．本小题分 已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $