湖南永州市2026届高三下学期考前预测数学试卷

永州市2026年高考第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B A D B D A B 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABC 三、填空题 12.2 13.±1 14.6 四、解答题 15.（本题满分13分) 解析： (1)证明：在梯形ABCD中，因为BC∥AD,所以△BCE∽△DAE .1分 DAD2,所以BE=1 因为AD=2BC,所以8E=BC-1 BD 3 …3分 因为B即=8P,所以器-器，所以即∥PD 4分 又因为PDC平面PCD,EF￠平面PCD .5分 所以EF∥平面PCD 6分 (2)由PA⊥平面ABCD,故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-z, 设PA=AD=2BC=2CD=2 7分 则A(0,0,0),B(1,1,0),C(12,0),P(0,0,2),D(0,2,0）8分 所以BD=(-1,1,0),BC=(0,1,0),BP=（-1,-1,2) 9分 BC=0 y=0 设平面PBC的法向量i=(x,y,z),则 i.BP=0 -x-y+2z=0 .10分 令z=1,则y=0,x=2,则i=(2,0,1) .11分 设直线BD与平面PBC所成角为日，则sinB=|cos(元，BD i.BD 10 12分 BD 5 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第1页（共6页) 所以直线BD与平面PBC所成角的正弦值为 5 13分 X 16.(本题满分15分) 解析： (1)因为3 bcosC+3 c cos B=5 Icos A, 由正弦定理得：3 sin BcosC+3 sinCc0sB=5 sin Ac0sA1分 3sin(B+C)=5sin Acos A 2分 即3sinA=5 sinAcos A 3分 又因为0<A<元，所以sinA>0 4分 所以co4-月引 5分 所以cos2A=2c0s2A-1=2× 25 7分 (2)因为coSA= 0<A<元，所以simA=V-cos'A=4 3 8分 设△ABC的内切圆半径为，由等面积法得： 2a+b+r-csmA9分 1 4 又r=1,a=4所以1(4+b+c)x1=1×bcx4 5 10分 整理得：b+c 4bc-4 ① 11分 由余弦定理得：d2=b+c2-2bcco1,即D2+c2-6c=16. … 12分 整理得：0+0-1警+16 ② 13分 联立①②，得16c+16=(恤c-4,解得bc=15或c=0(舍)14分 5 所以△4BC的面积为2 sinC=号x15×4=6. 4 2 5 15分 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第2页（共6页） 17.(本题满分15分) 解析： (1)因为P-P=2,所以点P的轨迹为以R(-2,0),,(2,0)为焦点的双曲线1分 其中a=1,c=2 .2分 故点P的轨迹方程为x2-”=1 3 3分 又因为00=20，设点0k列，则点P售到 4分 将P坐标代入号1，海：号台1，成的方发为 y2 =1.5分 12 (2)易知直线1斜率存在且不为0，设1：x=y+4(m≠0)，点A(x,),点B(x2,y2) 联立方程 3x-=12,得：(3m2-1y2+24w+36=0 .6分 x=y+4 放3mr-10,且a=14(am+小0.得mr号 .7分 则y+y2=3n2-1' -24m 36 ,=3r-1 9分 1.-t+4-,同理1.-1.m2+4-t,- -= k .10分 ky y k2 y2 y2 1 11 ,1,12 因为店，无无成等差数列，所以后十忘无 一十 =一 11分 即0+4-，，+4-t:-2m 12分 1 y2 即4m+(4-t)当+业=0 yiV2 13分 代入+y2= 24 .36 3m2-'yhF32- ,得：t+2）=014分 故t=-2 .15分 18.(本题满分17分) 解析： （①)设事件A:甲第1次投签命中，则P4)-号 1分 则甲投篮4次即停止投篮的概率P=P(AA,A,A,+AA,A,A) 2分 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第3页（共6页) 则P片××子号，枚甲投篮4次即停止投篮的概率为4 33327 7 3分 (2)依题意可得，随机变量X的可能取值为：2,3,4 4分 x=-子号8 5分 3局结束时，甲胜概率 3分+c日 3局结束时，乙胜概率 周c+c**6 1 15 P(X=3)=+ F93636 .7分 K=4)=1PX=2)-P(X=3) 8分 分布列： X 2 3 4 5 5 13 36 36 18 9分 则数学期望B(x)=2×3+3×3+4× 5 1343 369361812 10分 3)当n=1时，z化)-1号+2g3则4=8K) .11分 当n≥2时，Bg)=(）+小号+（®化1+Bg》 .13分 14分 则a+3-a+3列 15分 故a,+3}为首项为？，公比为的等比数列 故a-3)，甲a=3×-3 16分 故Sn= 37n 3n-9 3 17分 1- 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第4页（共6页) 19.(本题满分17分) 解析： (1)当a=0时，f(x)是增函数，无极值点 1分 当a≠0时，f'(x)=e-2, 又因为f(x)有唯一的极值点x,等价于(x)有唯一的变号零点x。 令f'"(x)=e-2am=0,则1-2 a e 2分 令g)=2，则g(x)=2-24 e 则g(x)在区间(w,1)上单调递增，在区间自，+∞)上单调递减.3分 当x→-0时，g(x)→-0，x→+0时，8(x)→0 则当a<0时，直线)日与8)-兰的图象有一个交点，了倒有唯一的极值点 ex 所以a的取值范围为(-p,0) 4分 (2)(i)由(1)知a<0,因为x。为极值点，所以f(x)=e-2a。=0,即a= 2xo 因为a<0,所以<0，所以x,<0 2x。 5分 因为f'(x)为增函数，且f'(x)=0,所以x∈(-0，x),f'(x)<0,x∈(x。,+0), f"(x)>0,所以f(x)在(-0，x)单调递减，在(x,+∞)单调递增，又因为f(0)=0 所以f()<f(0)=0,又因为x→-0，f(x)→+0，所以x∈(-0，x),x2=0 所以fk,)-,=-,e--1 .6分 2 要证：x。<f(x。),只需证：(x)-x。>0,只需证：e(2-x)>2x。+2 2x+2e<1(x0<0) 只需证：2-x0 7分 令hx)=2x+2。,则)= 2(x2-x+1 Le*>0 2-x (2-x)2 8分 则h(x)在(o,0)上单调递增，h(x)<h(0)=1 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第5页（共6页) 故不等式x。<∫(。)得证. 9分 (ii)由(i)证明过程知x,<x。<x2=0,xo为极小值点 所以tam∠CaA=f()-f(,)_f3) X0-X2 Xo 10分 由（i)知。<f(3,)<0,所以0<am∠CBA=f) <1 Xo 11分 因为0<∠CBA<元，所以0<∠CBA<T .12分 先证明：x<2x。,证明过程如下： 因为2x。<x。,(x)在(-0，x。)单调递减 所以只需证f(x)>f(2x) 又因为f(x)=0,只需证：f(2x)<0 13分 即证明：e2。-4x,2-1<0,即证：e2。-2ex。-1<0 令h(x)=e2x-2ex-1(x<0),则h(x)=2e*(e*-x-1) 14分 令s(x)=ex-x-1(x<0),则s'(x)=ex-1<0 所以s(x)在（-D,0)单调递减，所以s(x)>s(0)=0 所以(x)=2e(e-x-1)>0,h(x)在(-o,0)单调递增 所以h(x)<h(0)=0 因为X。<0,所以h(x。)=e2。-4ax。2-1<0,即X<2x。得证15分 因为4<2x,所以0<-x,<x-X,所以0<1<1 x。-X-x0 因为m∠C4B=f,）,-()>0,所以0<tm∠C4B<f）<1 xo-x 因为0<∠CAB<元，所以0<∠CAB< 4 16分 所以∠ABC=元-∠CAB-∠CBA>T △ABC不可能为直角三角形. 17分 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学参考答案及评分标准第6页（共6页)永州市2026年高考第三次模拟考试 数学 命题人：陈诗跃（永州一中） 陶先国（蓝山二中) 唐首佳（宁远一中） 范理华（永州四中) 审题人：胡元紧（道县教科中心) 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效 3.考试结束后，只交答题卡， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1. 己知集合U={xeNx<9}，A={3,4,5,6}，则vA= A.{0,1,2,7,8y B.{1,2,7,8} C.{1,2,7,8,9} D.{0,1,2,7,8,9y 2. 已知函数f(y=2m-引 则f(x)的一个对称中心为 A. c. D. 3. 已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),P(X≤4)=0.7，则P(X≤0)= A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.3 4.某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每 场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能 参加同一场次，则不同派法的种数为 A.12 B.24 C.30 D.36 5.已知数列{an}是公比为g的等比数列，则“a,a。>aa4”是“q>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.己知F是抛物线C:x2=6y的焦点，M是C上一点，直线FM交x轴于点N.若 M为FN的中点，则FW= A.3 B C.4 D. 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学第1页（共4页) 7、已a,A(0》25nB=6os(a+例血a,则amB的最大值为 B.V6 C.V6 D 6 8. 已a藏列a)满是4=方u=h2-公中水加eN),则 1 1 1 A.0<a2026< B. 5052 5052<m6< 2027 1 C. 2027 <a2026<2026 D. 2026 <a26<2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数：=片，则 A.=2 B.z的虚部为-i C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程x2+2x+2=0的一个根 10.己知函数f(x)=血x+内丙，则 A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)有两个零点 C.不等式f(x)<f(2-x)的解集为(0,1) D.若f(a)+f(b)=0,则a2+b2的最小值为2 11.在三棱锥P-ABC中，PB⊥PA,PB=2PA=2a,PC=b,PO⊥平面ABC,点O 为△ABC的垂心，且PO=1,则 A.PC⊥平面PAB 51 B.4+京=1 C.三棱锥P-ABC体积的最小值为5V 8 D.三棱锥P-ABC外接球表面积的最小值为25m 2 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a=(1,3),a1(a-2b),则ab= 13.已知曲线y=ax血x在点（亿，0）处的切线与圆0：×+y2=相切，则a= 4.已知椭圆C千+虹@>b>0,-c,0,G0)为C的左、右焦点，过E的直 线交C于A,B两点，△AFE的面积为bc,△ABE的内切圆与AB相切于点N,若 AB=6AN,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,BC∥AD, PA=AD=2BC=2CD,AC与BD相交于点E,BP=3BF. (1)证明：EF∥平面PCD; (2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值. B (第15题图) 16.（本题满分15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3bcos C+3ccos B-5acos4=0. (1)求cos2A; (2)若a=4,△ABC的内切圆半径为1，求△ABC的面积. 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学第3页（共4页) 17.(本题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-2,0),P,(2,0)、动藏户衡 足PF-|PF=2,O0=2OP,记点Q的轨迹为曲线B. (1)求E的方程： (2)已知点M(4.O),N(1,0),过点M作斜率为k的直线I交E于A,B两点，颜覆 线N4,NB的斜率分别为k,飞，若上，-，⊥成等差数列，求t. k’’ 18,（本题满分17分)甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的偷中重组 为号，乙每次投链的命中率均为 (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮。·求甲投篮4次即停 止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的透球 总数.规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜 负，比赛也停止.记X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列与 数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续nn∈N)次命中，则停止投篮.设停止投篮 时甲投篮总次数为Yn,随机变量y的数学期望为E(),记a,=E(Y,).写出a,与 an-(n≥2)的递推关系，并求数列{an}的前n项和Sn, 19.(本题满分17分)己知函数f(x)=e-ax2-1(a∈R)有唯一的极值点，· (1)求a的取值范围； (2)设x,(x<)是f(x)的两个零点，记A(x,0),B(x,0),C(x,f(名)》 (i)证明：<f(): (ⅱ)判断△ABC是否可能为直角三角形，并说明理由。 永州市2026年高考第三次模拟考试·数学第4页（共4页)