旋转与全等三角形的性质综合、旋转与相似三角形的性质综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

旋转与全等三角形的性质综合、旋转与相似三角形的性质综合专项训练 旋转与全等三角形的性质综合、旋转与相似三角形的性质综合专项训练 考点目录 旋转与全等三角形的性质综合 旋转与相似三角形的性质综合 考点一 旋转与全等三角形的性质综合 例1．（2026·江西萍乡·一模）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数． （2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得． ②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得， 进而得出． （3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由题意可知，，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴如图，延长交于点，则直线与直线相交所成的较小角的度数是：． （2）解：①如图，连接，交与点， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②解：补充图，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 射线将分成的两个角， ， 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ． 例2．（25-26九年级下·重庆永川·月考）如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意得到，，；，同时可以得到点在以为圆心，为直径的圆上，得出，； （2）成立，取中点，中点，连接、、、，证明，得到，，推出； （3）取中点，中点，中点，作，连接、、、，证明，得到，，证明，设，则，，求出， ，得到，继而得到． 【详解】（1）解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 例3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知，为等腰直角三角形，，，点在直线上， (1)如图，点为斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、，与的关系为____________； (2)点为直线上一点，若，，求的长； (3)在（1）的条件下，若，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)且； (2)或； (3)． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题．确定点的运动路径是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，由为等腰直角三角形得，，得到，证得，进而可得到答案； （2）分两种情况：当点为线段上一点时，和当点为的延长线上时，求得，由勾股定理可求解； （3）作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小，利用勾股定理求得，最后得到答案． 【详解】（1）与的关系为：且，证明如下： 将绕点顺时针方向旋转到， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ， ， ， ． 故答案为：且； （2）当点为线段上一点时， ，， ， ， ， ， 在中，； 当点为的延长线上时， ，， ，， ， 在中，； 综上，的长为或； （3）∵，即所在的直线固定，即点E在射线上运动， 作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小， 且有，， 作于点G，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，，， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意画出图形即可，延长，交的延长线于点，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）画出图形，延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，证明，然后推出，证明，推出为等腰直角三角形，即可解答 【详解】（1）解：补全图形 如图： 延长，交的延长线于点， 由题意：，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即． ， ． ； （2）解：，理由如下： 延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，如图， 根据（1）中原理可得， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 则． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． (1)的值为 ； (2)将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或° 【分析】（1）根据正方形的性质推出°，°，，继而推出，，可得结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论； （3）先证明得，再推出是等边三角形，求出，再分两种情况计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在正方形中，是正方形的对角线， ∴°，°，， ∴， ∵， ∴°， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）与的数量关系为． 证明：将绕点顺时针旋转到如图示的位置，连接、， ∴ 由（1）知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在正方形内部，如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 当点在正方形外部，如图，连接， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 综上所述，当或时，． 故答案为：或． 考点二 旋转与相似三角形的性质综合 例1．（24-25九年级下·辽宁盘锦·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的性质”为主题开展数学探究活动，矩形和矩形是两个完全一样的矩形，． (1)如图1，连接、，直线和直线的位置关系为_____． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，求证：①平分；②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长_____． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析； (3)或 【分析】（1）由题得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，延长与的延长线于点，交于点，求得，据此得解； （2）①过点作于点，由题可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分； ②根据角平分线的性质得到，由题可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据已知条件得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据直角三角形的性质结合勾股定理得到，，即可求得；如图3，同理求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）由题可知，，，， ， ， ， 延长与的延长线于点，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①由题可知，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ②如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，平分， ∴， 由题可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）由题可知，，， ∴． ∵， ∴，在四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 如图，令与的交点为， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图， 同理可得，，， ∴ 综上所述，的长为或． 例2．（25-26九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． (1)如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； (2)如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； (3)如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形三线合一可得，即可求解； （2）由旋转的性质得，可得，由平行线的性质可得，从而可得，设，根据勾股定理求得的值，证明，可得，即可求解； （3）点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图， ∵绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接， ∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， 即， 当点C与点B重合时，的最小值为，但， 综上可知，. 例3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）含角的直角三角板中，．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（），得到，边与边交于点D，过点D作交边于点E，连接． (1)如图1，当边经过点B时，求α的度数； (2)小明发现在三角板旋转的过程中，度数是定值，他在探究过程中需证明：． ①如图2是旋转过程的一个位置，试完成相似的证明； ②然后直接写出三角板旋转的过程中度数的范围； (3)设的面积为S，当时，求的长，以点E为圆心，为半径作，并判断此时直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)，直线与相切，见解析 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由旋转可以得到； （2）如图，点D在边上，由相似和旋转的性质得出； （3）先求出的面积，由，求得，，表示，利用 解出的长，再利用圆心E到的距离等于的半径，得到直线与相切． 【详解】（1）解：当边经过点B时，， ， 是等边三角形， ； （2）①， ， 由旋转性质可知，，， ， ， ②， ； （3）在中，，， ， 由，得， ， ，即， ，， 此时， 即， 解得 即， 这时D为的中点，，，如图， ， ，点E在边上， 圆心E到的距离等于的半径， 直线与相切． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【分析】本题为旋转综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）根据旋转性质得到，从而证明，，即可证明； （2）作，垂足为P﹒根据旋转性质得到，，，求出，证明，求出，得到，根据勾股定理即可求出； （3）分当点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况分别求出，即可求出的长为或﹒ 【详解】解：（1）证明：∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足为P﹒    ∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ∴在中，； （3）如图2，当点D在线段上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴； 如图3，当点D在线段延长线上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴﹒ ∴的长为或﹒ 变式2．（2025·广东深圳·模拟预测）在菱形中，，，动点M在射线上运动． (1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：； (2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值； (3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）可证得，从而，进而得出； （2）连接，交于点O，作于点F，先求出，，，，设，则，可证得，从而，从而得出，求得x的值，进一步得出结果； （3）分为两种种情形：当点G在上，且时，同样得出点A、B、G、M共圆，从而，，进而得出和设，作于H，作于点N，可求得 ， ，从而表示出，，，根据列出，进而求得结果当时，作于点H，可得出和设，表示出，，根据列出，求得x的值，进一步得出结果；可判定出，进而得出结果． 【详解】（1）证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图1， 连接，交于点O，作于点F， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x1=， （舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当点G在上，且时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点A、B、G、M共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 作于H，作于点N， 由得， AN=， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3， 当时，作于点H， 由上知：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在的延长线上时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或． 变式3．（2025·山东泰安·模拟预测）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】(1)猜想，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： ∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转与全等三角形的性质综合、旋转与相似三角形的性质综合专项训练 旋转与全等三角形的性质综合、旋转与相似三角形的性质综合专项训练 考点目录 旋转与全等三角形的性质综合 旋转与相似三角形的性质综合 考点一 旋转与全等三角形的性质综合 例1．（2026·江西萍乡·一模）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 例2．（25-26九年级下·重庆永川·月考）如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 例3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知，为等腰直角三角形，，，点在直线上， (1)如图，点为斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、，与的关系为____________； (2)点为直线上一点，若，，求的长； (3)在（1）的条件下，若，请直接写出的最小值为______． 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． (1)的值为 ； (2)将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 考点二 旋转与相似三角形的性质综合 例1．（24-25九年级下·辽宁盘锦·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的性质”为主题开展数学探究活动，矩形和矩形是两个完全一样的矩形，． (1)如图1，连接、，直线和直线的位置关系为_____． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，求证：①平分；②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长_____． 例2．（25-26九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． (1)如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； (2)如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； (3)如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 例3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）含角的直角三角板中，．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（），得到，边与边交于点D，过点D作交边于点E，连接． (1)如图1，当边经过点B时，求α的度数； (2)小明发现在三角板旋转的过程中，度数是定值，他在探究过程中需证明：． ①如图2是旋转过程的一个位置，试完成相似的证明； ②然后直接写出三角板旋转的过程中度数的范围； (3)设的面积为S，当时，求的长，以点E为圆心，为半径作，并判断此时直线与的位置关系． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 变式2．（2025·广东深圳·模拟预测）在菱形中，，，动点M在射线上运动． (1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：； (2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值； (3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值． 变式3．（2025·山东泰安·模拟预测）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $