9.2025年河北省石家庄市十八县部分重点中学中考数学大联考试卷(二)-【一战成名新中考】2026河北数学·真题与拓展

得8r≤52，.r 号⊙0的半径r的最大值为号cm综上， 1 r的最小值为2cm,最大值为2cm ,13 D 图⑥ 第24题解图 图④ 图⑤ 9.2025年河北省石家庄市十八县部分重点中学中考数学大联考试卷（二） 1.D2.B3.D4.C5.A6.D7.C8.D9.C 10.C 8<14号153 11.C【解析】结合题图①可知，当点N与点 16.①④【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，LABC=60°，AC A重合时，MN的长y=AM,由题图②知此 G =3...AB=AC 时y=1,点M是OA的中点，∴OA= sin60° 26,BG0=，若,0两点关于 2AM=2,即⊙0的半径r=2,当AN的长x AB对称，则直线AB为OC的垂直平分线，OB=BC=√5，故 3π时，连接0N,设LA0N=n,将1= A ①正确；②如解图①，取AB的中点为E,连接OE,CE,易得 第11题解图 2.代人可得的手，解得A=120即此时∠A0N 4 OF=CE= 24B=5.当0C经过点E时，0C最大且C,0两点 =120°，如解图，过点N作NG⊥A0,交A0的延长线于点G, 距离的最大值为2√3，故②不正确：③如解图②，当∠OBC= .∠A0N=120°，∴.∠N0G=180°-120°=60°，∴.∠0NG=30°， ∠AOB=∠ACB=90时，.AB与OC相互平分，但AB⊥C0不 在△0G中，0N=01=206=20N=1,NG=50G 成立，故③不正确；④延长0E至点F,如解图①，：0E=CE, ∴.∠OCE=∠COE,∴.∠CEF=∠COE+∠OCE=2∠COE,同理 5,:01=2,0M=20A=1GM=G0+0M=1+1=2,在 ∠AEF=2∠AOE,∠AEC=2∠ABC,.2LABC=∠AEC= Rt△MNG中，根据勾股定理得MN=√WG+G= 2∠A0E+2∠C0E=2∠A0C,∠A0C=∠ABC=60°，故④正 确，综上所述，所有正确结论的序号是①④. √(5)2+22=3+4=7，.a=√7. 12.A【解析】：正六边形ABCDEF的顶点A,D的坐标分别为 (1,0),(-1,0),.正六边形ABCDEF的边长为1，点M从 点A出发，按照顺时针的方向（即A-B-C-D-E-F-A…）以 每秒2个单位长度的速度运动，即每12秒运动一周，又： 2025÷12=168…9,.第2025秒时点M的位置与第9秒 图① 图② 时的位登相同，即如解图所示此时OW-o4-由旋转 第16题解图 17.解：(1)由题意得AB=8-2=6,BC=10-8=2,AC=6+2=8, 性质得PM=PW,PMLPN.过点N作NQ⊥x轴，垂足为点Q, 则∠NQP=90°，∴.∠QPN+∠QNP=90°，：∠MPN=90°，. 当原点0与点C重合时，OA=8,0B=2,OC=0,点A,B,C所 ∠MPO+∠QPW=90°，∴.∠MP0=∠PNQ,.∠MOP=∠PQN 表示的数分别为-8，-2,0，则p=(-8)+(-2)+0=-10; =90,PM=NP,△M0P≌PON(AAS)PN=OM=5 ,o 当原点0与B的中点重合时，B=3.此时0A=3.0B=3。 =m-2.00=0r40=2点V的坐标为2，点 0C=5,点A,B,C所表示的数分别为-3,3,5，则p=-3+3+5 =5: (2)原点0沿着数轴每向左移动1cm,p的值将会增加3； R 当原点0与点C重合时，p=-10,当p=-4时，-4-(-10)=6， 6÷3=2, .原点0从点C向左移动2cm,此时原点0与点B重合. B 18.解：(1)x<3, 第12题解图 .-5x>-15, 26 参考答案及重难题解析·河北数学 .x-6x>-15,即x+15>6x, 桌面应下调约1.4cm才能使肘部形成的“手肘角”B .被墨迹覆盖的系数为6 为100°. (2)C; 21.解：(1)把(4,0)和(0，-3)代入y=kx+b, (3)x≤1.【解法提示】由①得x<3,由②得x≤1，.不等式组 (4k+b=0 k= 3 的解集为x≤1. 可得 解得 4 b=-3 19.解：(1)50,40：【解法提示】本次随机抽取的学生总人数为94 b=-3 ÷47%=200,.m=200×25%=50,..n=200-50-94-16=40. “这个一次函数的解析式为y= 43; (2)补全条形统计图如解图： 竞赛成绩条形统计图 (2)设平移后的直线的解析式为)= 4-3+a, 人数 94 M(1,3),N(1,1), 100 一一一一一一一一一 .线段MN的中点坐标为(1,2)， 80 60 把(1,2)代入y= 4t-3+a, 40 40 6 3 -3+a=2. 20 17 A BCD组别 解得a二4 第19题解图 (3)把(-1,0)代入y=mx+n,得n=m (3)72°；【解法提示】扇形统计图中，C组对应的圆心角的度 ∴.y=x+m, 数是360°x40-72. 把M(1,3)代入y=mx+m得，m+m=3, 200 （4200x40t16=560(名). 解得烟子 200 把N(1,1)代入y=mx+m得，m+m=1, 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数 1 有560. 解得m二2’ 20.解：()在R1△ABC中，∠A=20°，anA=BC AB 六m的取值范围是了≤m≤子 3 .AB= BC.24 nA0.36≈67(cm）, 22.解：(1)22.5：【解法提示】如解图①，当DP⊥BC时，连接0D, 记BD交OP于点M,OB=OD,BD⊥OP,BM=DM,∠OBD .眼睛与屏幕的距离约为67cm: =∠ODB,BC与⊙0相切，.OB1BC,.∠OBP=90°， (2)不是.如解图，延长FE交DG于点M, OBDP,.∠OBD=∠BDP,.∠ODB=∠BDP,.OM=PM, DN B .四边形OBPD是平行四边形，·OB=OD,.平行四边形 OBPD是菱形，∠OBP=∠BPD=90°，菱形OBPD是正方 形.∠B0P=45°∠B0E=∠B0p=2.5 第20题解图 则MG=FH=72cm,∠DME=90°， .调整前，DM=DG-MG=100-72=28(cm), DM 28 在Rt△DME中，sin∠DEM= DE300.93, B E B .∠DEM≈69°， 图① 图② .∠DEF≈180°-69°=111°，即B≈111°， 第22题解图 故此时不是正确坐姿， (2)如解图②，连接AD,OD. 当∠DEF=100时，∠DEM=80° ,AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， .∠ADB=90°，∠OBP=90°， 在Rt△DEM中，DE=30cm,sin∠DEM=DY DE .∠ADB=∠OBP, .调整后，DM=DE·sin∠DEM=30sin80°≈30×0.98= 由题意知OP⊥BD. 29.4(cm),29.4-28=1.4(cm) .AD//OP. 参考答案及重难题解析·河北数学 27 .∠1=∠A, .E点坐标为(0,1)， 又：BD=BP .DE=√P+1下=2，DE'=√+(-3)下=√10， ..△ABD≌△OPB, ∴.△DEF的周长为DE+DF+EF=DE+DF+FE'≥DE+DE'=√2 .AD=0B +√10 AD 1 inL2-AB2’ 即△DEF周长的最小值为√2+√I0: .∠2=30°， .∠A=90°-30°=60°， .0A=0D. △AOD为等边三角形， .∠A0D=60°， .∠B0D=120°， B :m的长为120Tx10.20(cm): 1803 图① 图② (3)如解图③，连接AE,BE,设BD,OP交于点F,则∠BAE=∠D, 第23题解图 (3)P(5-1,7)或P(-√5-1,7).【解法提示平移抛物线 M得到抛物线V,设抛物线N的解析式为y=-x2+x+m,将点 D(-1,4)代人得，m=n+5,∴.抛物线N的解析式为y=-x2+n t+5顶点P的坐标为（子a+5)将=子代入y= 第22题解图③ :AB是⊙0的直径， -(t1)）+4得y=-nt+30分，子-+3)，如解图 .·∠AEB=90 ②，过点D作DML0于点H,期分4,4=子[(+ 4 .AE=AB·cos∠BAE=AB·cosD=20x5=16(cm), +5)+(-1m -n+3)]点月为P0的中点，PD=0D,: .BE=√AB-AE=√202-16=12(cm), ∠DQP=∠DPQ,LPDQ=4∠DPQ,∠PDQ+∠DPQ+∠DQP BD⊥OP, =180°，.∴6∠DPQ=180°，∴.∠DPQ=30°，在Rt△DPH中， .BF=DF,BE=DE ∠DPH=30°，∴.PH=√3DH,由抛物线N在抛物线M的右 ∴.DE=BE=12cm, ∴.DF=DE·cosD=12X 4-48 或左可得.（子+n5)-4=5(分+1）或（子+a5)-4 5 (cm), ·BD=2DF=5(cm)】 (之1)，解得n=-2(合)或n=25-2或n=-2(合)或n 23.解：(1)顶点D的坐标为(-1,4)， =-25-2P(5-1,7)或P(-5-1,7) .设抛物线M的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0)， 24.解：(1)45；【解法提示】∠ABP=22.5°，由折叠性质可知 ∠EBP=∠ABP=22.5°，且AB=BE,.∠ABE=2×22.5°=45°， 把点E(-2,3)代入得3=a(-2+1)2+4, 在正方形ABCD中，∠ABC=90°，.∠EBC=90°-45°=45°，. 解得a=-1, .抛物线M的表达式为y=-(x+1)2+4, AB=BCBE=BC,∠BEC=∠BCE=2(I80-∠EBC)= 当y=0时，x=-3或1， ×(180°-45)=67.5∠BFE=∠BEC-∠EBP=45, 1 :点A在点B左侧， 点A的坐标为(-3,0)： AB=BE,∠ABF=∠EBF,BF=BF,∴.△ABF≌△EBF,.∴ (2)由(1)知，当x=0时，y=3, ∠AFB=∠EFB=45°. 点C的坐标为(0,3)， (2)由折叠可知∠EBF=∠ABF=a,AB=EB,∠AFB=∠BFC, 易得直线AC的解析式为y=x+3, .∠EBC=90°-2a, 如解图①，作点E关于直线AC的对称点E',则EE⊥AC, :四边形ABCD为正方形∴.AB=BC, 连接DE交AC于点F,则FE=FE', 又·BE=AB,∴.BE=BC :直线AC的解析式为y=x+3, .EE所在直线的解析式为y=-x+1, A∠BEC=∠BCE=180P-,∠EBC=45+a. 2 28 参考答案及重难题解析·河北数学 又：∠BEC=∠BFC+∠EBF=∠BFC+a. 等腰三角形，△FOC是等边三角形时，如解图②，此时LACF .∠BFC=45°=∠AFB, =60°，易得∠ABP=∠ACF=60°，在Rt△ABP中，tan∠ABP= .∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°， 厅，解得4=46.综上所述，线段P的长度为1或 AP 点0为4C的中点0F=1C, 3 45 AC=√JAB+BC2=4万， 六0r-4c=2g, (3)线段P的长度为或45.【解法是示】情况-：当 △AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如解图①，此 时∠AOF=60°，易得∠ABP=∠ACF=30°，在Rt△ABP中，AB 4,∠4n-号解得A-配=：当△0F足 图① 图② 第24题解图 10.2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷 1.A2.D3.A4.D5.D6.D7.C8.C9.A 4=(-4)2-4×3×1=4>0, 10.C11.B ·.此方程有两个不相等的实数根 12.A【解析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是点18.解：尝试：5+3+7=15,15能被3整除， A,:过点A(1,2)的反比例函数解析式为y=2, ≥2，随 ∴.537能被3整除： 验证：abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+(a+b+ 着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才 c), 能满足题意，经过点B(2,5),C(6,1)的直线解析式设为y= ,9能被3整除，(11a+b)是整数， 6m=1解得1， m+n,代人得2m+n=5, .y=-x+7,联立 .9(11a+b)能被3整除， n=7, 又：(a+b+c)能被3整除， y=-x+7, 得x-7x+k=0,根据4≥0，得k≤ .abc也能被3整除： ,综上可知，k 4 t, 应用：子【解法提示1可取0,123,45.6,78,9，共有 的取值袍围为2飞∈号 10种等可能的情况，符合条件的情况有0,3,6,9，共4种， 13.314.(-1,5)15.30° 三位数81n能被3整除的概率为4-2 105 16.5【解析】如解图，作A关于 y 19.解：(1)由题意得，种植B品种果树苗有300×(1-20%-20%- x轴的对称点E,连接AE交x 35%)=75(棵)： 轴于点D,过点E作EM⊥OA M (2)补全统计图如解图：【解法提示】C品种果树苗种植了 于点M,交x轴于点B,:点A 300×20%=60(棵)，∴.成活了60×90%=54（棵） 坐标为(，1)，AD1x轴， 果树苗成活情况统计图 AD=1,0D=√3，.在Rt△AOD 个成活数/棵 E 中，tm∠A0D=D-尽 3, 第16题解图 90 84 OD 80% ∠AOB=30°，EM⊥OA,.∠OMB=90°，又.·C是OB的中 70 60 60 点BM=0B=BC,A.E关于x轴对称AB=BE,AD= 50 02 ED=1,AE=2,AB+BC=BE+BM,.当E,B,M三点共线时. B C D 品种 第19题解图 AB+BC有最小值，即EM长，易得∠AEM=30°，在Rt△AEM 84 中，EM=AE·cos30°=2x)2=3 (3)A品种果树苗的成活率为300X35%×100%=80%: 17.解：(1)P=x2-2(2x-x2)+1=x2-4x+2x2+1=3x2-4x+1; B品种果树描的成活率为号×10%=00： (2)当P=0时，即3x2-4x+1=0. C品种果树苗的成活率为90%； 参考答案及重难题解析·河北数学 29班级： 姓名： 学号： 9 2025年河北省石家庄市十八县部分重点中学中考 数学大联考试卷（二）》 (本试卷总分120分考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 13的相反数是 B.4 3 2.小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切， 每个方格相互之间不剪断)，沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字 A.数 B.学 C.很 D.好 数 3.下列各式中，计算正确的是 学很 A.-x'y+2yx2=3x2y B.4a2+a2=5a4 好玩 C.(-a-b)2=a2-2ab+b2 D.√（-4)2=4 第2题图 4.有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜(FAST),可以“听见”百亿光年之外的声音.已知1光 年≈9.46×1012千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为 A.9.46×104千米 B.9.46×1020千米 C.9.46×102千米 D.9.46×1023千米 5.一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 6.如图，已知A,B,C,D,E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C= A.30° B.45 C.60° D.90° 北 120 北 1H 2 He 3 Li 4Be 5B 氢 氦 锂 铍 硼 650 B 1.008 4.003 6.941 9.012 10.81 第6题图 第7题图 第8题图 7.学科融合如图是完全相同的写有化学元素周期表中原子序数为1~5的元素的卡片，背面朝上从中随 机选取两张，则抽到的这两张卡片恰好都是金属元素的概率为（注：锂和铍为金属元素） 动 2 B. 8.如图，小明从A处出发，沿北偏东65°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向 调整至CE,才能与出发时的方向一致，则∠1的度数为 () A.659 B.70 C.80° D.85 9.现有一张平行四边形ABCD纸片，AD>AB,要求用尺规作图的方法在边BC,AD上分别找点M,N,使得四 边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是 () 真题与拓展 版权归-战成名箭中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 第9题图 第10题图 10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转0(0°<0<90°)，得到 BP,连接CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连接AP,则∠PAH的度数 ( A.随着0的增大而增大 B.随着0的增大而减小 C.不变 D.随着0的增大，先增大后减小 11.如图①，OA是⊙O的半径，点M是OA的中点，点N在⊙O上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到 点A,运动停止，设运动过程中AN的长为x,MW的长为y,图②是y随x变化的关系图象，则a的值为 A.2 B.5 C.7 D.3 0 图① 图② 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系中有一点P(2,0),正六边形ABCDEF的顶点A,D的坐标分别为(1,0)，(-1， 0),点M是正六边形ABCDEF边上的动点，连接PM,将线段PM绕点P顺时针旋转90°得到线段PN, 连接MN.点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A-B-C-D-E-F-A)以每秒】个单位长度的速度 运动，则第2025秒时点N的坐标为 ( A.(2+ 2,2) B.(33 ,2) C.(2+3 3) D.(3 23) 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13比较大小.万 3(填“>”“<”或“=) 14.若6=2，则0= a a+b △A0B的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点B在x轴上，AB交)轴于点 S△Boc=2S△Aoc=2,则k的值为 B 33 第15题图 ·河北数学 16.如图，直角三角板ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC=3.已知斜边AB的端点A,B分别在相互垂直 的射线OM,OW上滑动，连接OC.给出下列结论： N ①若C,O两点关于直线AB对称，则OB=√3：②C,O两点距离的最大值为4： ③若AB平分C0,则AB⊥C0:④在滑动过程中，∠AOC始终等于60° 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 第16题图 17.（本小题满分7分) 如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点A,B,C刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和 刻度10.设点A,B,C所表示的数的和是p,该数轴的原点为O. (1)分别计算出原点O与点C重合时、与AB的中点重合时p的值； (2)原点0沿着数轴每向左移动1cm,p的值将会如何变化？当p的值为-4时，求原点0的位置 A B 巾平m 012345678910 第17题图 18.（本小题满分8分) [x+15>■x,① 琪琪在解不等式组 x-1 时，发现x的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她 ≤1② 看，如图所示 解： -15,…第一步 (1)求被墨迹覆盖的系数； 第二步 (2)答案的第四步应用的性质为 (填序号)； x<3,……第三步 由②得2x-(化-1)≤2，…第四步 A.等式的性质 …第五步 B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号 …第六步 的方向不变 第18题图 C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为 34 真题与拓展· 19.(本小题满分8分) 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整 理、描述和分析 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本， 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A,B,C,D四组进行整理.（满分100分，所有竞赛成绩均 不低于60分)如表： 组别 A B D 成绩(x/分) 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 人数 m 94 n 16 【描述数据】根据抽取的竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图. 竞赛成绩条形统计图 人数4 竞赛成绩扇形统计图 94 100 80 60 B 47% 40 25% 20 C D组别 第19题图 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：m= ,n= (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 (4)若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的 人数 河北数学 20.（本小题满分8分) 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使用电脑时一般正确的坐姿 是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的 夹角)，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”B为100°，如图①所示. (1)如图②，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”ax为20°，BC=24cm时，求眼睛与屏幕的距离为 多少厘米；（结果精确到1cm) (2)如图③，肩膀到水平地面的距离DG=100cm,大臂DE=30cm,小臂水平放在桌面EF上，桌面到地 面的距离FH=72cm,通过计算求此时∠DEF的度数，并判断此时是不是正确坐姿.若是，请说明 理由：若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”B为100°？ (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67， sin69°≈0.93) B 图① 图② 图③ 第20题图 21.（本小题满分9分) 如图，线段MW两个端点的坐标分别为M(1,3),N(1,1),一次函数y=kx+b的图象经过点(4,0)和(0， -3) (1)求一次函数y=kx+b的解析式； (2)将直线y=x+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值； (3)若直线y=mx+n经过点(-1,0)，且与线段MW有交点，求m的取值范围. 第21题图 真题与拓展· 版权归-战成名新中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 22.（本小题满分9分) 爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以AB为直径的圆形框架（⊙O),BC是一个足够长的水平轨道， 且BC与⊙O相切.支架OP的一端固定在圆心O处，另一端P可在轨道BC上滑动，支架BD的一端固 定在B处，另一端D在⊙O上，且BD⊥OP.当点P滑动时，点D随之在直径AB右侧的⊙O上运动.设 OP与⊙O交于点E,连接DE.已知AB=20cm. (1)当点D,P所在的直线与BC互相垂直时，∠BDE= (2)当BD=BP时，如图①，求BD的长； (3)当coD=专时，如图2，求BD的长. 4 B B 图① 图② 第22题图 35 河北数学 23.（本小题满分11分) 24.(本小题满分12分) 如图，抛物线M过点E(-2,3),与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点D的 综合与实践 坐标为(-1,4) 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题.数学活动课上，同 (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标： 学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动. (2)点F是线段AC上一动点，求△DEF周长的最小值； 在正方形ABCD中，点P在射线AD上，将正方形ABCD沿BP所在直线折叠，使点A落在点E处，连接 (3)平移抛物线M得到抛物线N,已知抛物线N过点D,顶点为P,其对称轴与抛物线M交于点Q,若 CE,直线CE交BP所在直线于点F,连接AF ∠PDQ=4∠DPQ,直接写出点P的坐标. 【观察猜想】 (1)如图①，当∠ABP=22.5时，∠AFB= 【类比探究】 (2)如图②，正方形ABCD的边长为4，∠ABP=(0°<a<90°)，连接AC,取AC的中点O,连接OF,求 ∠AFB的度数及线段OF的长度； 第23题图 备用图 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，当△AFC被线段OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 AP的长度 图① 图② 备用图 第24题图 36 真题与拓展·河北数学