第六章计数原理、排列组合、二项式定理讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 1．小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【解析】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 3．从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 【答案】B 【解析】由题意可知所求不同的路线有条. 故选：B 4．小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时2 计数原理综合应用（常见模型） 题型一 占位模型 1．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【解析】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 2．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】D 【解析】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 题型二 组数问题 1．用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】A 【解析】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 题型三 排队模型 1．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】由题意所有排列的方法种数为 2. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【解析】“word”一共有个不同的字母， 这个字母排成一排有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时3 排列的概念 相关知识点 1.排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.判断问题是否属于排列问题：将取出的任意两个元素顺序对调，结果有发生变化的，则该问题与顺序有关. 题型一 排列的概念 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 题型二 简单的排列问题 1．从，，，中取出2个字母的所有排列，共有_______种 【解析】根据题意，从中取出2个字母的所有排列， 共有种. 2．为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 【答案】 【解析】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时4 排列数基本应用 相关知识点 1.排列数：我们把从n个不同元素中取出m（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 2.排列数公式： （用于计算） 3. 规定：0！=1 4. （用于证明） 题型一 排列数的计算 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 2． （用数字作答） 【答案】24 【解析】， 故答案为：24 题型二 解排列数方程或不等式 1．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 题型三 证明排列数恒等式 1．求证：（、为大于1的自然数）． 【解析】 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时5 综合运用（常见模型） 题型一 特殊元素（位置）优先排问题 1．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 【答案】D 【解析】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 题型二 相邻问题 1．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 题型三 不相邻问题 1．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 【答案】B 【解析】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙， 再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法． 故选：B. 题型四 定序问题 1．期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有_____种． 【答案】60480 【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 题型五 排数模型 1．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（    ） A．36个 B．48个 C．66个 D．72个 【答案】A 【解析】先排末位数，有和在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的个元素中选两个进行排列有种结果， 所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数个， 故选：A 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时6 组合及组合数的定义 相关知识点 1.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 2.组合数的概念：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 3.组合数公式：. 规定：. 性质1 性质2 题型一 组合概念的理解 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 【答案】ABC 题型二 枚举法写组合 1．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_________________． 【答案】ab，ac，ad，bc，bd，cd 【解析】可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 题型三 简单的组合问题 1．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【解析】从5个景点中选3个，有种不同的选法. 故选：D 2．有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 【答案】(1)45　(2)21　(3)90 【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即C＝＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝＋＝＋＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝×＝90(种)． 题型四 组合数的计算 1.计算的值是________. 【解析】，，, 因此. 2．计算_______. 【解析】． 题型五 组合数性质的应用 1．已知，则________. 【答案】B 【解析】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 题型六 解组合数方程或不等式 1．满足条件的正整数的个数有______. 【解析】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以.共4个. 题型七 证明组合数恒等式 1．证明：C＝C. 【证明】 ＝. 题型八 “至少“与“至多”问题 1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种抽法，(2)3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种． 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【答案】 C 【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（ 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C. 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时7 二项式定理的基本应用 相关知识点 二项式定理：， 二项式系数：. 通项：，为展开式的第项. 注意：某一项系数与二项式系数的区别. 题型一 求二项展开式 1．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二项式， . 故选：B 题型二 二项展开式的特定项问题 1．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二项式的通项为， 则． 故选：A. 题型三 二项展开式项的系数（二项式系数）问题 1．在的展开式中，含的项的二项式系数为________. 【解析】由题可知：的项的二项式系数为， 题型四 三项展开式问题 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 1．小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 3．从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（   ） A．7条 B．12条 C．64条 D．81条 4．小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时2 计数原理综合应用（常见模型） 题型一 占位模型 1．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 2．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 题型二 组数问题 1．用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 题型三 排队模型 1．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 2. 若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时3 排列的概念 相关知识点 1.排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.判断问题是否属于排列问题：将取出的任意两个元素顺序对调，结果有发生变化的，则该问题与顺序有关. 题型一 排列的概念 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 题型二 简单的排列问题 1．从，，，中取出2个字母的所有排列，共有_______种 2．为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时4 排列数基本应用 相关知识点 1.排列数：我们把从n个不同元素中取出m（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 2.排列数公式： （用于计算） 3. 规定：0！=1 4. （用于证明） 题型一 排列数的计算 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西·期末） （用数字作答） 题型二 解排列数方程或不等式 1．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 题型三 证明排列数恒等式 1．求证：（、为大于1的自然数）． 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时5 综合运用（常见模型） 题型一 特殊元素（位置）优先排问题 1．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种． A．36 B．108 C．120 D．144 题型二 相邻问题 1．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 题型三 不相邻问题 1．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 题型四 定序问题 1．期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有 种． 题型五 排数模型 1．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（    ） A．36个 B．48个 C．66个 D．72个 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时6 组合及组合数的定义 相关知识点 1.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 2.组合数的概念：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 3.组合数公式：. 规定：. 性质1 性质2 题型一 组合概念的理解 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 题型二 枚举法写组合 1．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_________________． 题型三 简单的组合问题 1．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 2．有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 题型四 组合数的计算 1.计算的值是________. 2．计算_______. 题型五 组合数性质的应用 1．已知，则________. 题型六 解组合数方程或不等式 1．满足条件的正整数的个数有______. 题型七 证明组合数恒等式 1．证明：C＝C. 题型八 “至少“与“至多”问题 1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 高中数学同步课时一课一练 第六章 计数原理 课时7 二项式定理的基本应用 相关知识点 二项式定理：， 二项式系数：. 通项：，为展开式的第项. 注意：某一项系数与二项式系数的区别. 题型一 求二项展开式 1．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 题型二 二项展开式的特定项问题 1．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 题型三 二项展开式项的系数（二项式系数）问题 1．在的展开式中，含的项的二项式系数为________. 题型四 三项展开式问题 1．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $