16.1 变量与函数（课时1） 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024) 16.1 变量与函数（课时1） 一、教学目标 1.经历从具体实例中探索数量关系与变化规律的过程，理解变量、常量的意义，能准确识别具体问题中的变量与常量. 2.了解函数的概念，能结合实例辨析自变量与因变量；掌握函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法），会用合适的方法表示问题中变量之间的关系. 3.能结合实际意义，确定简单实际问题中自变量的取值范围，体会函数中“——对应”的思想. 二、教学重点及难点 重点：理解变量、常量、函数的概念；掌握函数的三种表示方法. 难点：理解函数概念中“对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与之对应”的核心含义；在实际问题中准确确定自变量的取值范围. 三、教学过程 【探究新知】 探究：认识变量与常量. 教师提问：世界处在不停的运动变化中，数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化规律．请大家一起来研究下面四个问题，思考这些问题中都有哪些数量，这些数量的数值是否发生变化？ 问题1：下图是某地一天内的气温变化图．这张气温变化图告诉我们哪些信息？请看图回答： （1）这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． （2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ （3）这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？ 【师生活动】学生观察图象，逐一回答问题： （1）6 时气温约1℃，10 时气温约2℃，14 时气温约 5℃；这天中的 21 时，气温是 0℃． （2）最高气温是 5℃，最低气温是 4℃． （3）3 时至 14 时的气温在逐渐升高，0 时至 3 时、14 时至 24 时的气温在逐渐降低． 教师引导：时间 t 和气温 T 是两个不断变化的量，气温随时间的变化而变化． 问题2：小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 【师生活动】 学生计算相邻周岁的体重差，发现：体重随年龄增长而增加；在 1 至 2 周岁这一段时间内体重增加较快（增加 4.3kg）． 教师引导：周岁和体重是两个变化的量，体重随年龄的增长而变化． 问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（ m ）和千赫兹（ kHz ）为单位标刻的．下面是一些对应的数值： （1）每一列波长 λ 与频率 f 的乘积是多少？你能写出 f 与 λ 的关系式吗？ （2）波长 λ 越大，频率 f 会怎样变化？ 教师点拨：大家可能会发现：每一列 与 的对应值的乘积是一个定值，即 或者说 ． 【学生活动】学生通过观察得到：波长越大，频率越小． 教师引导：波长 λ 和频率 f 是两个变化的量，频率随波长变化而变化；300000 是固定不变的量． 问题4：（1）圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，用 S 表示圆的面积，圆的面积 S 与半径 r 的关系式是什么？ 学生回答：S=πr2． （2）利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： 半径 1 1.5 2 2.6 3.2 圆面积 【师生活动】学生独立完成列式，得出计算结果：π、2.25π、4π、6.76π、10.24π． 教师引导：半径 r 和面积 S 是两个变化的量，面积随半径增大而增大；π 是固定不变的常量． 教师提问：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题 1 中，刻画气温变化规律的量是时间 t 和气温 T，气温 T 随着时间 t 的变化而变化，它们可以取不同的数值．那么在其他三个问题中，有哪些这样的值？ 学生回答：问题 2 中，有周岁和体重；问题 3 中，有周长和频率；问题 4 中，有圆的半径和圆的面积. 教师讲解变量的概念：像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量． 教师引申出常量的概念：在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量． 如问题 3 中的 300000，问题 4 中的 π 等都是常量． 设计意图：选取气温变化、体重增长、波长频率、圆面积这四类典型实例，从图象、表格、解析式三种不同呈现方式出发，引导学生在观察、计算、对比中充分感知“一个量随另一个量变化而变化”的依赖关系，逐步抽象出变量与常量的核心特征，为后续函数概念的建构积累丰富的感性经验． 教师拓展： 变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是＂在某一变化过程中＂，因为同一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中可能就是变量，如在 s=vt 中，当 s 一定时，v，t 是变量，s 是常量；当 t 一定时，s，v 是变量，t 是常量． 【探究新知】 探究：认识自变量、因变量与函数. 教师提问：在上述四个实例中，每个问题都有两个变量，它们之间存在怎样的依赖关系？以气温变化问题为例，给定一个时间t的值，能确定唯一的气温T的值吗？其他问题中两个变量也有这样的对应关系吗？ 【学生活动】学生小组合作，结合四个实例分析：给定一个变量的值，都能找到另一个变量唯一的对应值；小组代表汇报发现，尝试用自己的语言描述“先变的量”和“随之变化的量”的依赖关系． 教师总结自变量与因变量的概念： 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关． 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数． 教师追问：试说出上面四个问题中的自变量与因变量． 【师生活动】学生独立思考后，依次说出四个实例中的自变量与因变量；教师结合学生回答进行订正，并点拨：自变量取不同值时，因变量的值可以相同，核心是“唯一对应”． 答案预设： 问题1中，自变量是时间 t，因变量是气温 T；问题2中，自变量是周岁，因变量是体重；问题3中，自变量是波长，因变量是频率；问题4中，自变量是圆的半径，因变量是圆的面积. 【探究新知】 探究：函数的表示法与自变量的取值范围. 教师提问：我们已经认识了函数，观察四个实例，它们分别用什么方式表示两个变量之间的函数关系？这些表示方式各有什么特点？ 【师生活动】学生观察实例，对比分析表示方式的不同，教师引导学生总结函数的三种表示法： 气温变化问题用图象法表示，能直观看出变量的变化趋势； 体重增长、波长频率问题用列表法表示，能清晰地看出变量的几组对应值； 圆面积问题用解析法（数学式子）表示，能准确表示变量之间的数量关系． 注：函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式． 教师追问：在实际问题中，自变量的取值可以是任意数吗？比如圆的半径r能取负数吗？ 【学生回答】实际问题中自变量的取值要符合实际意义，如圆的半径r表示线段长度，不能为负数和 0，取值范围是一切正实数． 教师总结：研究函数时，必须注意自变量的取值范围，实际问题中的自变量取值范围必须符合实际情境． 设计意图：通过对比四个实例的不同呈现方式，引导学生自主归纳函数的三种表示法（图象法、列表法、解析法），体会各自特点；结合实际情境探究自变量取值范围，强化“取值需符合实际意义或式子有意义”的认知，深化对函数本质的理解． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量． 常量：取值始终保持不变的量，我们称之为常量． 2.自变量与因变量：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数． 3.表示函数关系的方法：解析法、列表法、图象法． 4.自变量的取值范围：实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024) 16.1 变量与函数（课时2） 一、教学目标 1.结合具体实例，理解函数值的意义，能根据函数关系式求函数值；能依据实际意义或数学式子的限制，确定简单函数中自变量的取值范围. 2.通过分析加法表、等腰三角形、图形重叠等问题中的函数关系，能对变量的变化趋势与取值规律进行初步讨论，提升用函数思想分析实际问题的能力. 3.体会函数在几何、代数等领域的应用，感受“数形结合”与“转化思想”. 二、教学重点及难点 重点：理解函数值的意义，能确定数学式子中自变量的取值范围，会根据函数关系式求函数值；能对变量的变化情况进行初步分析. 难点：在复杂问题中分析变量间的变化规律，建立函数模型. 三、教学过程 【复习导入】回顾变量与函数的核心概念 教师提问：上节课我们认识了变量、常量和函数的概念，谁能说说什么是自变量、因变量？ 函数概念的核心特征是什么？实际问题中确定自变量取值范围的关键是什么？ 【师生活动】学生自主回答，教师补充订正：在变化过程中，对于自变量的每一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，这是函数的核心；实际问题中自变量的取值必须符合实际意义． 教师引出课题：今天我们继续学习函数，探究函数值的意义，进一步掌握自变量取值范围的确定方法． 设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对变量、函数核心概念的认知，为本节课函数值、自变量取值范围的深入学习做好铺垫，实现知识的自然衔接． 【探究新知】 探究：确定常见函数的自变量取值范围. 教师提问：我们知道实际问题中自变量取值要符合实际意义，那纯数学式子表示的函数，自变量的取值范围该如何确定？ 【师生活动】学生独立思考后小组交流，教师适时进行引导． 教师总结常见函数的自变量取值范围： 类型 特点 举例 取值范围 整式型 等号右边是整式． 全体实数． 分式型 等号右边的自变量在分母的位置上． 使分母不为0的实数． 幂型 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂． 使底数不为0的实数． 实际问题型 根据实际问题列出函数关系式． 使实际问题有意义的实数． 设计意图：从实际问题延伸到纯数学式子，分类梳理自变量的取值规律，让学生掌握不同形式下自变量取值范围的确定方法，突破本节课的重点知识． 【探究新知】 探究：认识函数值并学会求解. 教师提问：1.填写如图所示的 10 以内正整数的加法表，然后把所有填有 10 的格子涂黑，你能发现什么？ 【学生活动】学生独立完成加法表填写，将和为 10 的格子（如1+9、2+8、3+7…9+1）涂黑，观察发现：涂黑的格子连成一条斜直线（如图）． 提问：2.把这些涂黑的格子横向的加数用 x 表示，纵向的加数用 y 表示，试写出 y 与 x 之间的函数关系式． 3.当涂黑的格子横向的加数为 3 时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为 6 时，横向的加数是多少？ 【学生活动】学生观察涂黑格子，找出横向与纵向加数的等量关系，整理得到函数关系式；代入指定数值计算对应结果，在计算中初步感知函数值的意义，小组内核对答案、交流思路． 答案预设： 2.y 与 x 之间的函数关系式是 y=10−x(1x9，且 x 为整数)． 3.当横向的加数为 3 时，纵向的加数是 7； 当纵向的加数为 6 时，横向的加数是 4． 教师讲解函数值的概念：对于一个函数，当自变量 x=a 时，可以求出它对应的 y 的值，我们就说这个值是 x=a 时的函数值． 设计意图：以加法表实际问题为切入点，让学生在具体计算中理解函数值的意义，掌握求函数值的基本方法，落实本节课核心知识点，培养学生的代数运算能力． 【典型例题】 例1. 等腰三角形顶角的度数 是底角度数 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量 的取值范围． 解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理．可知 得 由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量 的取值范围是 ． 例2. 如图，已知等腰直角三角形 的直角边长与正方形 的边长均为 与 在同一条直线上，开始时点 与点 重合，让 向右移动，最后点 与点 重合． （1）试写出两图形重叠部分的面积 与线段 的长度 之间的函数关系式． （2）当点 从点 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是多少？ 解：（1）重叠部分的面积 与线段 的长度 之间的函数关系式为 教师提问：这里自变量 x 的取值范围是什么？ 学生回答：0x10． （2）点 从点 开始向右移动 1 cm，即 ，．当 时，． 所以当点 从点 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是 ． 教师点拨：可以这样说：当自变量 时，函数值 ． 设计意图：以几何情境为载体，引导学生经历“从实际问题中抽象等量关系→建立函数关系式→结合几何意义确定自变量取值范围→代入求值得到函数值”的完整过程，让学生在具体操作中理解函数值的意义，掌握自变量取值范围的确定方法，体会函数在几何问题中的应用． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.常见函数的自变量取值范围：如（1）整式形式：自变量取全体实数； （2）分式形式：自变量取值保证分母不为 0． 2.函数值：对于一个函数，当自变量 x=a 时，可以求出它对应的 y 的值，我们就说这个值是 x=a 时的函数值． 学科网（北京）股份有限公司 $