专项复习提优五 变量之间的关系 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学“变量之间的关系”单元复习卷，通过选择、填空、解答题（10/8/8题，30/24/66分），结合生活、科技情境（如人形机器人赛跑、快递车行驶），考查变量关系识别、表格与图象分析及实际应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|自变量因变量识别、分段函数图象（如游泳池注水）|基础题为主，融入生活情境（骆驼体温、蔬菜价格表），培养抽象能力| |填空题|8/24|变量关系式建立（销售价格与销量）、数据规律探究（烤鸭烤制时间）|注重数据处理，通过表格数据归纳关系，发展数据意识| |解答题|8/66|行程问题（甲乙方车相遇）、动点面积关系（正方形P、Q运动）|综合应用，结合科技情境（人形机器人测试），考查模型意识与推理能力，体现数学思维与语言表达|

专项复习提优五 变量之间的关系 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温会随时间的变化而发生较大的变化.这里的因变量是( ). A.骆驼 B.沙漠 C.体温 D.时间 2.(2024·四川成都实验外国语学校期末)如图所示的是一游泳池断面图，分为深水区和浅水区，排空池里的水进行清理后，打开进水阀门连续向该池注水(此时已关闭排水阀门)，则游泳池的蓄水高度h(米)与注水时间t(时)之间的关系的大致图象是( ). 3.(2024·陕西西安第八十九中学期末)某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是( ). 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格y/(元/千克) 5.00 5.50 5.00 4.80 2.00 1.50 0.90 1.00 1.50 3.00 3.30 3.50 A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B.7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元/千克 C.1~7月份这种蔬菜的价格一直在下跌 D.7~12月份这种蔬菜的价格一直在上涨 4.(2025·上海延安中学期中)一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是( ). A.轮船的速度为20千米/小时 B.快艇的速度为 千米/小时 C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇比轮船早到2小时 5.(2025·山东济南济阳区期末)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象，下列说法正确的是( ). A.小明吃早餐用了25 min B.小明读报用了30 min C.食堂到图书馆的距离为0.8km D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 6. (2025·甘肃兰州七十八中期末)如图(1)，在长方形ABCD 中，动点 P 从点A 出发，沿AB→BC→CD 运动,至点 D 处停止.点 P 运动的路程为x,△ADP 的面积为y,且y与x之间满足的关系如图(2)所示，则当y=8时，对应的x的值是( ). A. 4 B. 4 或 12 C. 4或16 D. 5或12 7.(2025·四川成都锦江区期末)如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y(y≥0)，则下列图象适合y与x之间关系的是( ). 8.(2025·广西贵港港南区四模)甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y(单位：米)与小刚步行时间x(单位：分)之间的关系如图所示，下列说法错误的是( ). A.小红跑步的速度为150米/分 B.小刚步行的速度为100米/分 C. a=12 D.小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米 9.如图(1),在四边形ABCD中,AB=8,∠C=90°,DC∥AB,动点 P 从点B 出发,沿着B→C→D→A向终点A 运动，设点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为y，若y与x的关系如图(2)所示.下列说法：①BC⊥AB;②四边形ABCD的周长是22;③AD=CD;④△ABP 面积的最大值为16.其中正确的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.(2024·广东深圳大学附中期末)如图(1),在长方形ABCD中,AE=6cm,AB=8cm,点 P 从点B 出发,沿折线 BE→ED→DC匀速运动,运动到点 C 停止.点 P 的运动速度为2cm/s,运动时间为t(s),△BPC 的面积为y(cm²),y与t的图象如图(2),则下列结论正确的有( ). ①a=7;②b=10;③当t=3时,△PCD 为等腰三角形;④当t=10时,y=12. A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·山东聊城阳谷期末)随着气温下降，人们开始增添衣服，在这个问题中，自变量是 . 12.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 当鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为 min. 13.(2025·河北张家口桥西区期末)自变量x与因变量y的关系如图，当x增加1时，y增加 . 14.商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件.每月售出衬衣的件数y(件)与衬衣销售价格x(元)之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元. 15.(2024·资阳中考)小王前往距家2000米的公司参会，先以 v₀(米/分钟)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程s(单位：米)与距家的时间t(单位：分钟)之间的图象如图所示.若小王全程以 v₀(米/分钟)的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟. 16.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，则隧道的长度为 米. 17.甲地某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶，快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了45分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇.已知货车行驶速度为60km/h，两车间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的图象如图所示，给出以下四个结论：①快递车从甲地到乙地的速度是100km/h；②甲、乙两地之间的距离是80km；③快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间是2h.其中正确的是 (填序号). 18.甲、乙两人骑车分别从 A，B两地相向匀速行驶，当乙到达A 地后，继续保持原速向远离 B 的方向行驶，而甲到达B 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后，两车同时到达C地，设两车的行驶时间为 xh，两车之间的距离为 ykm，y与x之间关系如图所示，则两人出发 h后相距30km. 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)甲、乙两车从 A 地出发，沿相同的路线匀速前往 B 地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A 地的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题： (1)A,B 两地相距 km; (2)甲车的速度为 km/h,乙车的速度为 km/h; (3)甲车出发 h后,甲、乙两车相距50km. 20.(6分)现有一笔直的公路连接A，B 两地，甲车从A 地驶往B 地，速度为60km/h，同时乙车从B 地驶往A 地，速度为80km/h.途中甲车发生故障，于是停车修理了2.5h，修好后立即驶往B 地.设甲车行驶的时间为t(h)，两车之间的距离为s(km).已知s 与t的图象如图所示. (1)A,B 两地相距 km,c= ,d= . (2)甲车出发几小时后发生故障? (3)何时甲、乙两车相距40km? 21.(8分)(2024·陕西西安雁塔区期末)某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具(购买文具时间忽略不计)，然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校.小明、小亮两人离文具店的路程. (单位：米)与出发时间x(单位：分钟)之间的图象如图所示. (1)学校和文具店之间的路程是 米，小亮的速度是小明的速度的 倍. (2)小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距30米? 22.(8分)王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)这辆轿车油箱的容量是多少?当轿车行驶600km时，估计油箱中的剩余油量是多少? (3)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A 地前往B 地，到达B 地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的路程. 23.(8分)(2025·广东揭阳普宁期末)太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁面专题博物馆.周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家，如图折线OA-AB-BC表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)聪聪家与博物馆的距离是 千米，博物馆到姑妈家的距离是 千米； (3)图象中 (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度(不含在博物馆参观的时间). 24.(8分)如图(1),在边长为10cm的正方形ABCD中,点 P 从点A 出发,沿A→B→C→D 路线运动,到点 D 停止;点Q 从点D 出发,沿D→C→B→A 路线运动,到点A 停止.若点 P,Q 同时出发,点 P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,a秒时点P,Q 同时改变速度,点 P 的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s,图(2)是点 P 出发x秒后 的面积 与x(s)关系的图象. (1)根据图象，得 (2)设点 P 已行的路程为 点 Q 还剩的路程为 试分别求出改变速度后 与出发后的运动时间x(s)的关系式； (3)若点 P，Q在运动路线上相距的路程为18cm，求x 的值. 25.(12分)在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止.设甲、乙两船行驶x(h)后，与B 港的距离分别为 (单位: km),y₁,y₂与x 的关系如图所示. (1)B,C两港口间的距离为 km,a= . (2)甲船出发几小时追上乙船? (3)在整个过程中，什么时候甲、乙两船相距10km? 26.(10分)(2025·四川成都锦江区期末)2025年4月19日举办的北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛中，北京人形机器人创新中心自研的全尺寸人形机器人“天工 Ultra”夺冠，第二名是松延动力N2“小顽童”.赛前科研人员对以上两种新型智能机器人进行测试，已知“天工 Ultra"’与 N2“小顽童”同时从A 地出发前往B地，出发1分钟后，N2“小顽童”的速度减慢为原来的 最终比“天工 Ultra"晚到2分钟，“天工 Ultra"’与N2“小顽童”所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的关系如图所示.请回答下列问题： (1)直接写出a,b的值. (2)求“天工Ultra”与 N2“小顽童”相遇的时间; (3)在“天工Ultra"’到达终点前，当x为何值时，“天工Ultra”与 N2“小顽童”相距30米? 1. C[解析]因为骆驼的体温随时间的变化而变化，所以自变量是时间，因变量是体温.故选 C. 2. D[解析]由游泳池的结构可知，先注入的是“深水区”，水位上升较快；当水位上升到浅水区时，水位上升变慢，所以只有D中的图象符合游泳池的蓄水高度h(米)与注水时间t(时)之间的关系.故选 D. 3. C[解析]A. x是自变量，y是因变量，本选项不符合题意； B.7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元/千克，本选项不符合题意； C.2~7月份这种蔬菜的价格一直在下跌，原说法错误，本选项符合题意； D.7~12月份这种蔬菜的价格一直在上涨，本选项不符合题意. 故选 C. 知识拓展 本题考查了变量之间的关系的表示方法，用表格能具体地反映自变量与因变量的对应关系，在实际生活中应用非常广泛；用关系式能准确地反映因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量，反之亦然；用图象可以直观地反映因变量随自变量的变化而变化的规律. 4. B [解析]轮船的速度为160÷8=20(千米/小时),快艇的速度为160÷(6-2)=40(千米/小时),故 A 正确，B错误；由图象可知，C，D正确.故选 B. 关键提醒 本题考查了读图能力以及变量之间的关系与实际问题结合的应用，解题的关键是要能根据图象中的信息分析得出变量表示的实际意义，再结合实际意义得到正确的结论. 5. B 6. B [解析]当点 P 运动到点 B 处时,x=6,y=12,即AB= ∴AD=4,∴BC=4,DC=6. 当点 P 在AB 上运动时, ∴AP=4,∴x=4. 当点 P 在DC 上运动时, ∴DP=4,∴x=6+4+6-4=12, ∴x的值为4或12.故选 B. 7. B[解析]分三段：先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小； 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢，则选项 B的图象符合题意.故选 B. 8. C [解析]∵1500÷15=100(米/分), ∴小刚步行的速度为100米/分.故 B选项正确； ∵1500÷6=250(米/分),∴250-100=150(米/分), ∴小红跑步的速度为150米/分，故 A选项正确； ∵1500÷150=10(分),∴a=10,故C选项错误; 小红到达乙地时,小刚离甲地还有(15-10)×100=500(米). 故 D 选项正确. 故选 C. 9. D [解析]∵∠C=90°,DC∥AB, ∴∠B=90°,∴BC⊥AB,故①正确; 由题图可知,BC=4,DC=9-4=5,AD=14-9=5, ∴AD=CD,故③正确; ∵AB=8,∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA=8+4+5+5=22,故②正确; 当点 P 在边CD 上时，△ABP 的面积不变且最大， △ABP 面积的最大值为 故④正确.故选 D. 10. A [解析]当点 P 运动到点E 时,△BPC 面积最大,结合图象可知当t=5时,△BPC 面积最大为40cm²,∴BE=5×2=10(cm). ∴ED=10-6=4(cm). 当点 P 从点E 到点 D 时,所用时间为4÷2=2(s), ∴a=5+2=7.故①正确; 点 P 运动完整个过程需要时间为(10+4+8)÷2=11(s),即b=11.故②错误; 当t=3时,BP=2×3=6(cm)=AE. 又四边形ABCD 是长方形， ∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC. ∵BC=BE=10cm,∴△BPC≌△EAB, ∴CP=AB=8cm,∴CP=CD=8cm, ∴△PCD 是等腰三角形，故③正确； 当t=10时,点 P 运动的路程为10×2=20(cm),此时PC=22-20=2(cm),∴△BPC 面积为 10(cm²),故④错误.∴正确的结论有①③.故选 A. 11.气温 12.148 [解析]设鸭的质量为 xkg时,烤制时间为 tmin,根据表格数据可知，鸭的质量x 每增加0.5千克，烤制时间t增加20min,可得 ∴t=40x+20,∴当鸭的质量为3.2kg,即x=3.2时,t=40×3.2+20=148. 13.3 [解析]当x=a时,y=3x=3a,当x=a+1时,y=3x=3(a+1)=3a+3,所以当x增加1时,y增加3a+3-3a=3. 14. y=2500-5x 200 [解析]根据题意,得y=2000- 当某月售出衬衣 1 500件,即y=1500时,2500-5x=1500,解得x=200.故此时衬衣的单价为 200元. 15.5 [解析]根据题意,得 (米/分钟)，小王全程以 v₀(米/分钟)的速度步行，则他到达需要时间为2000÷80=25(分钟). 由题图可知会议开始时间为出发后16+14=30(分钟)，∴若小王全程以v₀(米/分钟)的速度步行，则他到达时距会议开始还有30—25=5(分钟). 16.900 [解析]由图象可知，火车的长度为150米，火车的速度是150÷(35-30)=30(米/秒),则隧道的长度为35×30-150=900(米). 17.①③ [解析]设快递车从甲地到乙地的速度为x km/h，由题意,得2(x-60)=80,解得x=100,即快递车从甲地到乙地的速度为 100km/h,故①正确; 由题图可知，快递车从甲到乙行驶了2小时，其行驶速度为100km/h,∴甲地到乙地的距离为100×2=200(km),故②错误； 由题意可知，题图中点 B 表示的就是快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离， ∴出发时间为 故③正确. 综上所述，正确的结论是①③. 18.2或4或10 [解析]由题图可知,A,B两地相距90km,甲、乙两车3小时相遇， ∴v甲+ vz=90÷3=30(km/h). ∵甲车5小时到达 B 地， ∴甲的速度为90÷5=18(km/h), ∴乙的速度为30-18=12(km/h). 当两车相遇前相距30km时，依题意,得18x+12x=90-30,解得x=2;当两车相遇后甲车未到B地，相距30km时，依题意,得18x+12x=90+30,解得x=4;当甲到达B地掉头后，相距30km时，依题意,得18x-90=12x-30,解得x=10.综上,两人出发2h或4h或10h后相距30km. 19.(1)300 (2)60 100 [解析]由图象可知, 甲车的速度为300÷5=60(km/h), 乙车的速度为300÷(4-1)=100(km/h). (3) 或 或 或 [解析]设甲车出发a小时后，甲、乙两车相距50km， 当乙没有出发，甲、乙相距50km时， 当乙出发后,甲、乙相遇前相距50km时,60a-100(a-1)=50,解得 当甲、乙相遇后且乙未达到终点时,100(a-1)-60a=50,解得 当甲、乙相遇后且乙到达终点时 综上所述，甲车出发 或 或 或 h后，甲、乙两车相距50km. 20.(1)300 3.75 7.5 [解析]由图象可知,A,B两地的距离为300km,当t=3时,s=0,两车相遇, 此时乙车行驶的路程是80×3=240(km)，甲车行驶的路程是300-240=60(km),∴a=60÷60=1. ∵甲车停车修理了 2.5h,∴b=1+2.5=3.5. ∵c表示乙车到达目的地的时间， ∴c=300÷80=3.75. ∵d表示甲车到达目的地， ∴d=300÷60+2.5=7.5. (2)由(1),得a=60÷60=1. 故甲车出发1小时后发生故障. (3)当t=a=1时,s=300-60-80=160, 当t=b=3.5时,s=80×(3.5—3)=40, ∴两车相遇前,t=(160-40)÷80+1=2.5. 两车相遇后，由图象可知，t=3.5. 综上所述，当甲车行驶的时间为2.5h或3.5h时，甲、乙两车相距 40 km. 21.(1)360 2 [解析]由图象可得学校和文具店之间的路程是 360米. ∵小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具(购买文具时间忽略不计)，然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校，∴小亮的速度是小明速度的2倍. (2)设小明的速度为m 米/分钟，则小亮的速度为 2m 米/分钟,根据题意,得2m+2×2m=360,解得m=60, ∴小明的速度为60米/分钟，小亮的速度为120米/分钟.设小明与小亮迎面相遇以后，再经过n 分钟.两人相距30米,当小亮未达到文具店时,(60+120)n=30,解得 当小亮从文具店返回学校时,60(2+n)-[120×(2+n)-360]=30,解得 综上所述，小明与小亮迎面相遇以后，再经过 分钟或 分钟两人相距30米. 22.(1)由题意，得该表反映了轿车行驶的路程s(km)和油箱剩余油量Q(L)之间的关系，其中轿车行驶的路程s(km)是自变量，油箱剩余油量Q(L)是因变量. (2)由表格可知，当行驶距离为0 时，油箱剩余油量为50L，∴这辆轿车油箱的容量为50L. 观察表格可知,每行驶 100km,油量减少8L,则Q=50-0.08s.当s=600时,Q=50-0.08×600=2. 故当轿车行驶600km时，估计油箱中的剩余油量是2L. (3)当剩余油量为22 L,即Q=22时, 22=50-0.08s,解得s=350. 故 A,B 两地之间的路程为350 km. 23.(1)离开家的时间 离开家的距离 (2)15 25 [解析]由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是40-15=25(千米). [解析] (千米/时). 故聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时. 24.(1)6 [解析]由题意,得 a×10=30,解得a=6. (2)∵a=6,∴动点 P,Q 改变速度后y₁,y₂与出发后的运动时间x(s)的关系式为y₁=6+2(x-6)=2x-6, y₂=30-[12+1×(x-6)]=24-x. (3)点 P 的运动时间为 点Q 的运动时间为 ①当两点同时出发且0<x<6时,(1+2)x+18=30,解得x=4. ②相遇时间为 即两点同时出发10s后相遇. 当两点相遇后,且10<x<18时,1×6+2(x-6)+2×6+(x-6)=30+18,解得x=16. 综上所述，点 P，Q在运动路线上相距的路程为18cm时，x的值为4或16. 25.(1)90 2 [解析]由题图可知,B,C 两港口间的距离为90km,甲船用0.5 h从 A 港口到达B 港口,A 港口和B 港口距离30km, ∴甲船的速度为 ∴甲船从 B 港口到C 港口的时间为 ∴a=1.5+0.5=2. (2)由题图可知，乙船用3h从B 港口到达C 港口， ∴乙船的速度为 ∴60x-30=30x,解得x=1. 故甲船出发1小时追上乙船. (3)①当甲船还未追上乙船时,30x-(60x-30)=10,解得 ②当甲船追上乙船，且甲船还未到达 C 港口时，(60x-30)-30x=10,解得 ③当甲船到达 C 港口，乙船还未到达 C 港口时，90-30x=10,解得 综上所述，当经过 h或 h或 h时，甲、乙两船相距10km. 26.(1)由题意及图象,得a=5+2=7, 则有 解得b=300. (2)当“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相遇时,有 解得x=2.5. 故“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相遇的时间为 2.5分钟. (3)①当0<x≤1时,由“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相距30米,得 解得x=0.25. ②当1<x≤2.5时,由“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相距30米,得 解得x=2.125. ③当2.5<x<5时,由“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相距30米,得 解得x=2.875. 故“天工 Ultra”到达终点前,当x 为 0.25 或 2.125 或2.875时,“天工 Ultra”与 N2“小顽童”相距30米. 学科网（北京）股份有限公司 $