第八章 成对数据的统计分析（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义通过八大压轴题型系统构建成对数据统计分析的知识体系，以表格呈现实际数据案例，将相关系数、回归分析、独立性检验等核心内容按“基础计算-交汇应用-综合探究”递进组织，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于情境化例题设计，如广阳岛生态调查、稀土定价分析等，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过相关系数推导、回归模型建立等逻辑推理过程，培养数学思维，结合数据表格与模型表达，提升数学语言应用能力。举一反三的分层练习适合不同学生，助力教师实施精准教学。

第八章 成对数据的统计分析全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 相关系数的计算及应用  1．（24-25高二下·湖北·月考）已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，则该组样本数据点的相关系数（    ） （参考公式：） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】由题目数据结合参考公式可得答案. 【解答过程】由题可得，， 则. ， ， 则. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏·单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【解题思路】运用相关系数公式进行求解即可. 【解答过程】因为，，所以， ， 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（    ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 【答案】D 【解题思路】根据已知数据分别计算各个量得出的值即可. 【解答过程】由题得， 所以， 故接待人数与年份的相关系数约为0.97． 故选：D. 4．（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解题思路】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， ， 则 ， ， 所以， . 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【解题思路】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【解答过程】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 题型2 相关系数与其他知识交汇 1．（24-25高三上·重庆·月考）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量. 1 2 3 4 5 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 12 10 16 14 18 (1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数，，. 【答案】(1)700 (2)0.94 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样，理由见解析 【解题思路】（1）求出样本平均数，再乘以地块数可得出结果； （2）根据题中所给数据，代入，可得出结果； （3）由（2）知知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，各地块间这种植物数量差异也很大，适合采用分层抽样. 【解答过程】（1）由已知得样本平均数， 从而广阳岛这种鸟数量的估计值为. （2）， ， 故样本的相关系数 （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样. 理由如下：由（2）知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计. 2．（24-25高三上·广东广州·月考）某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 【答案】(1)可以，理由见解析 (2)方案二更优惠，理由见解析 【解题思路】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论； （2）设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，计算出、的值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）解：，， 所以，， ，， 所以，， 所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系. （2）解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元， 由题意可知，（元）， 的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 所以，方案二更优惠. 3．（24-25高三上·河南·开学考试）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】(1) (2)652 【解题思路】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【解答过程】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 【答案】(1)，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 (2) 【解题思路】（1）利用公式求出即可判断； (2)根据题意表示出小李挑战成功的概率为，再结合基本不等式及二次函数的知识求解即可. 【解答过程】（1）由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． （2）当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 5．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，，. (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【解答过程】（1），， 故样本相关系数 . （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 题型3 线性回归分析 1．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 【答案】B 【解题思路】根据表格数据的关系，可判断两变量呈正相关，从而判断A项；根据回归直线经过数据样本中心点，可判断BC项；将代入回归直线方程，可求得销量预测值，可判断D项. 【解答过程】对于A，根据表格数据知，销量随月份的增大而增大，所以两个变量呈正相关，相关系数为正数，故A错误； 对于B，C，根据题表数据，可得，， 所以样本中心为，将样本中心代入线性回归方程得，解得， 所以线性回归方程为，故B正确，C错误； 对于D，当时，得，所以预测销量约为3.28万件，所得数据为销量的预测值，并非实际销量，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【解题思路】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【解答过程】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 【答案】C 【解题思路】对于A，利用表中的数据变化情况分析判断，对于B，利用计算平均数即可求出样本中心点，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【解答过程】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，，则样本中心点为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以可以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可得，得，所以D正确. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为__________百元. 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 【答案】6 【解题思路】根据已知数据求出样本中心点，代入得到值，再令即可得解. 【解答过程】由已知数据可知变量的平均值， 变量的平均值， 所以样本数据的中心点为， 因为，所以，代入，得， 所以， 令，得. 故答案为：6. 5．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知某产品近年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 年份编号 市场销售单价 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品年的市场销售单价. 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)元. 【解题思路】（1）根据表中数据计算出，，再结合参考数据利用公式即可计算出，，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【解答过程】（1）由题意得，. 因为， . 所以， . 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为， 令，则. 故预测该产品年的市场销售单价为元. 题型4 非线性回归分析 1．（24-25高三下·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A．-2 B．-1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案. 【解答过程】由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以，， 由，得， 所以，，则. 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【解题思路】先根据散点图确定函数图象的趋势，再结合5个函数图象，进行判断选择. 【解答过程】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给5个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建漳州·月考）2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，*，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 【答案】B 【解题思路】令，由，得，因为，所以 则，即可求解． 【解答过程】令，则， 又，由，得， 因为，所以 则， 下午4点时对应的是， 可得， 故选：B. 4．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【解题思路】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【解答过程】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 5．（24-25高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 【答案】(1)选. (2)；690 【解题思路】（1）观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型. （2）由，得.再根据所给数据，结合线性回归方程的有关计算公式，可求回归方程，再令求值即可. 【解答过程】（1）根据散点图的分布规律，随着的增大，的增长速度越来越快，符合指数函数的增长特征， 所以（均为大于零的常数）适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. （2）因为表示活动推出的天数，，则. . 因为，所以. 所以 ，所以. 又，所以. 所以. 当时，. 所以预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690. 题型5 回归分析与其他知识交汇 1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）某电商平台销售、两款同一价位的智能产品，近个月的销售情况如下： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份代号 销售总量（万件） 已知可用线性回归模型拟合与的关系． (1)根据表中数据求与的线性回归方程； (2)根据（1）中所求的方程，预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量； (3)已知该电商平台购进、两款智能产品的数量之比为，平台声明销售时、两款智能产品会随机发货．现一客户购买了件该产品，记表示购买的件产品中款的数量，求的分布列和数学期望． 附：线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1) (2)万件 (3)分布列为 数学期望为 【解题思路】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程，可得出结果； （3）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值. 【解答过程】（1），， ， ， 所以，， 故与的线性回归方程为． （2）当时，， 故预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量为万件． （3）因为、两款智能产品的数量之比为，所以任选一件产品是款的概率为， 由题意可知，，的可能取值分别为、、、、， 则，， ，， ， 所以的分布列为 由二项分布的期望公式可得. 2．（24-25高二下·浙江·月考）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. (1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； (2)该景点推出团体票，每份团体票包含5张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 5 今从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票，求该份团体票中共有4张有奖门票的概率. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，记“从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票”为事件，“该份团体票中共有张有奖门票”为事件，由全概率公式可得恰有张为有奖门票的概率，再结合条件概率公式代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）设关于的线性回归方程：， 则， ， ， 所以， ， 所以关于的线性回归方程是. （2）记“从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票”为事件， “该份团体票中共有张有奖门票”为事件，则 ， ， ， ， 所以 所以. 3．（24-25高二下·江苏徐州·月考）某高校校庆时连续天入校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.若校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于6月1日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的期望. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，.相关系数. 【答案】(1)，说明见解析， (2) 【解题思路】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值. 【解答过程】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： . 4．（2025·湖南常德·一模）某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； (2)该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】(1)，约为千人； (2). 【解题思路】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第10天进入该景区参观的人数. （2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解. 【解答过程】（1）依题意，，而， 则，， 因此，当时，， 所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人. （2）记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件， ，， 由全概率公式得，同理， 所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 5．（24-25高二下·河南驻马店·月考）稀土不是土，而是一种重要的战略资源和“工业维生素”，以稀土磁性材料为主的永磁电机，是新能源车、风电、工业机器人等领域的核心组成，随着这些高景气度领域需求的持续爆发，带动了稀土需求的高速增长．某企业为了对其开发的稀土进行合理定价，调研了本企业2019年~2024年开发该稀土每千克的成本，得到一组数据，如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 开发成本（元/千克） 91 86 82 73 70 已知是实数，，． (1)求的值； (2)经探究知，之间具有线性相关关系，求开发成本（元/千克）关于年份代码的回归直线方程，并预测2026年开发该稀土每千克的成本是多少?（计算时，的值精确到整数位） (3)表示由（2）中求出的回归直线方程得到的与对应的每千克稀土开发的成本预测值，当其对应的残差的绝对值小于1时，则将已知的开发成本的数据称为一个“有效数据”．现从已经给出的这6组数据中任取3组，求“有效数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)，预测2026年开发该稀土每千克的成本是元. (3)分布列见解析，期望是2 【解题思路】（1）由均值求； （2）将数据代入参考公式，和，求解回归直线方程，再代入，即可求解； （3）首先求解“有效数据”的个数，再代入超几何分布概率公式，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知，， 得； （2），，， ，， 所以， 2026年是，此时. 所以预测2026年开发该稀土每千克的成本是元. （3），，，，，， 这6个数据中，有4个是“有效数据”， ， ，，， 随机变量的分布列， 1 2 3 . 题型6 独立性检验的实际应用 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解题思路】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【解答过程】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解题思路】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【解答过程】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【解答过程】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C. 4．（24-25高二下·上海松江·月考）某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人． 参考数据：， 【答案】45 【解题思路】设被调查的男女生为人，写出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合求参数范围，进而确定被调查的男生为，即可答案. 【解答过程】设被调查的男女生为人，则男生喜欢抖音有人，女生喜欢抖音有人， 所以列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 女生 总计 则，解得， 因此被调查的男生为，又，则人数是5的正整数倍， 所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，调查人数中男生至少有人. 故答案为：. 5．（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【解题思路】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【解答过程】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 题型7 独立性检验与其他知识交汇 1．（24-25高三·上海·课堂例题）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】命题①，根据条件，利用古典概率公式，求出概率，即可判断命题①的正误；根据表中数据，求出，即可判断出命题②和③的正误，即可求解. 【解答过程】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为，所以命题②错误，命题③正确， 故选：B. 2．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各50人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组．调查发现：甲组成员共46人，其中男生16人． (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (2)现从调查的女生中，按分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】(1)有关，理由见解析 (2)随机变量的分布列为 1 2 3 数学期望 【解题思路】（1）根据题中信息列出列联表，设出零假设，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知的可能取值有1、2、3，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【解答过程】（1）根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 16 34 50 女生 30 20 50 合计 46 54 100 零假设：学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， . 根据小概率值，对应的临界值，故我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. （2）由题意知，这5人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人， 则随机变量的可能取值有1、2、3， ，，， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以数学期望. 3．（25-26高二下·河南南阳·期中）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； (2) 【解题思路】（1）根据题意填充列联表，再计算的观测值，与临界值比较后得出结论； （2）利用（1）中列联表的数据，根据古典概型概率公式求解. 【解答过程】（1）依题意可知，女性用户共有200人， 认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； （2）由（1）得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩（百分制），其频率分布直方图如图（1）（2）所示． (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为“参赛学生是否获奖与性别有关”． 性别 是否获奖 合计 不获奖 获奖 男生 女生 合计 100 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，无关 (2)57.2 【解题思路】（1）先算男女生人数及获奖人数列联表，再算值，与临界值判断是否有关. （2）分别根据频率分布计算男女生总分，再用总分和除以总人数得平均数估计值. 【解答过程】（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有（人）， 女生有（人）， 所以男生中获奖的人数为， 不获奖的人数为， 女生中获奖的人数为， 不获奖的人数为， 所以补全列联表如下： 性别 是否获奖 合计 获奖 不获奖 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计 46 54 100 零假设为：参赛学生是否获奖与性别无关， 根据列联表中的数据，计算得： ， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为“参赛学生是否获奖与性别无关”． （2）男生参赛成绩的总分约为： （分）． 女生参赛成绩的总分约为： （分）． 所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为． 5．（25-26高二下·浙江舟山·期中）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【答案】(1) 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员性别有关联 (2) X 0 1 2 3 P 【解题思路】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列，由数学期望计算公式可求得期望值． 【解答过程】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的， 故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的， 故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）由题意，抽取的人中偏好燃油汽车的人数为人， 偏好新能源汽车的人数为人， 随机变量的可能值为，，，， ，， ，， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 的数学期望． 题型8 统计分析综合 1．（24-25高二下·四川广元·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 x 10 20 30 40 50 y 70 80 100 120 130 (1)若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据：） (2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表： 成绩没有进步 成绩有进步 合计 参与课后自主学习 5 135 140 未参与课后自主学习 5 15 20 合计 10 150 160 依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关. 【解题思路】（1）先计算，进而得即可求解； （2）计算卡方，利用独立性检验思想即可求解. 【解答过程】（1）由题意有， ， ， 所以，， 所以； （2）由题意有， 所以在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关. 2．（24-25高二下·安徽芜湖·月考）某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 【答案】(1)；37 (2)不能 【解题思路】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论； （2）根据题给数据分析列联表求解得出结论 【解答过程】（1）由表中的数据可知，， ， ，， 不满意人数与月份之间的回归直线方程为， 当时， 预测该小区10月份对这款不满意人数为37； （2）提出假设：是否使用这款与性别无关， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们不能推断不成立， 即不能认为使用这款与性别有关. 3．（2025高三上·上海·专题练习）为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.996 (2)相关系数接近1，可线性拟合，， (3)认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 【解题思路】（1）根据所给数据计算出相关系数； （2）因接近，故与之间具有极强的线性相关关系；依次运用公式计算和，即得线性回归方程，代入即得数学预测成绩； （3）计算出卡方，即可判断. 【解答过程】（1）由题所给数据可得， ， ， ， ， 所以 . （2）由（1）知相关系数接近，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合； 所以，， 所以，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为分. （3）零假设为学生周末在校自主学习与成绩进步无关. 根据数据，计算得到， 所以依据的独立性检验，可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关. 4．（24-25高三上·四川成都·开学考试）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） (2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，140.5 (2)可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【解题思路】（1）利用最小二乘法可求回归直线方程，进而可得的预测值； （2）计算卡方值可得结论. 【解答过程】（1）画出散点图(如图所示)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合. ，，又的方差为， ， ，故， 当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. （2）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： 因为，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关，此推断犯错误的概率不大于. 5．（2025·河南·三模）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 (1)完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ (2)经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 【答案】(1)表格见解析，能； (2)①该回归直线方程有价值；②112.0. 【解题思路】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果. （2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值. 【解答过程】（1）列联表如下： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联． 根据列联表中的数据，计算得 ， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联． （2）①由题意，得， 得， 由， 得 ， 所以该回归直线方程有价值． ②因为，即， 所以， 又． 故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 成对数据的统计分析全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 相关系数的计算及应用  1．（24-25高二下·湖北·月考）已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，则该组样本数据点的相关系数（    ） （参考公式：） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·江苏·单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（    ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 4．（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 5．（24-25高二下·全国·课后作业）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 题型2 相关系数与其他知识交汇 1．（24-25高三上·重庆·月考）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量. 1 2 3 4 5 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 12 10 16 14 18 (1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数，，. 2．（24-25高三上·广东广州·月考）某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 3．（24-25高三上·河南·开学考试）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 5．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，，. (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 题型3 线性回归分析 1．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 2．（24-25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为__________百元. 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 5．（24-25高二下·河北沧州·期中）已知某产品近年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 年份编号 市场销售单价 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品年的市场销售单价. 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 题型4 非线性回归分析 1．（24-25高三下·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A．-2 B．-1 C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 3．（24-25高二下·福建漳州·月考）2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，*，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0 4．（24-25高三上·福建厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 5．（24-25高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 题型5 回归分析与其他知识交汇 1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）某电商平台销售、两款同一价位的智能产品，近个月的销售情况如下： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份代号 销售总量（万件） 已知可用线性回归模型拟合与的关系． (1)根据表中数据求与的线性回归方程； (2)根据（1）中所求的方程，预测年月份该平台这两款智能产品的销售总量； (3)已知该电商平台购进、两款智能产品的数量之比为，平台声明销售时、两款智能产品会随机发货．现一客户购买了件该产品，记表示购买的件产品中款的数量，求的分布列和数学期望． 附：线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，. 2．（24-25高二下·浙江·月考）杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. (1)因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； (2)该景点推出团体票，每份团体票包含5张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 5 今从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票，求该份团体票中共有4张有奖门票的概率. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 3．（24-25高二下·江苏徐州·月考）某高校校庆时连续天入校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.若校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于6月1日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的期望. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，.相关系数. 4．（2025·湖南常德·一模）某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； (2)该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 5．（24-25高二下·河南驻马店·月考）稀土不是土，而是一种重要的战略资源和“工业维生素”，以稀土磁性材料为主的永磁电机，是新能源车、风电、工业机器人等领域的核心组成，随着这些高景气度领域需求的持续爆发，带动了稀土需求的高速增长．某企业为了对其开发的稀土进行合理定价，调研了本企业2019年~2024年开发该稀土每千克的成本，得到一组数据，如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 6 开发成本（元/千克） 91 86 82 73 70 已知是实数，，． (1)求的值； (2)经探究知，之间具有线性相关关系，求开发成本（元/千克）关于年份代码的回归直线方程，并预测2026年开发该稀土每千克的成本是多少?（计算时，的值精确到整数位） (3)表示由（2）中求出的回归直线方程得到的与对应的每千克稀土开发的成本预测值，当其对应的残差的绝对值小于1时，则将已知的开发成本的数据称为一个“有效数据”．现从已经给出的这6组数据中任取3组，求“有效数据”个数的分布列和数学期望． 参考公式：，． 题型6 独立性检验的实际应用 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 3．（24-25高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25高二下·上海松江·月考）某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人． 参考数据：， 5．（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 题型7 独立性检验与其他知识交汇 1．（24-25高三·上海·课堂例题）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各50人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组．调查发现：甲组成员共46人，其中男生16人． (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (2)现从调查的女生中，按分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 3．（25-26高二下·河南南阳·期中）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩（百分制），其频率分布直方图如图（1）（2）所示． (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为“参赛学生是否获奖与性别有关”． 性别 是否获奖 合计 不获奖 获奖 男生 女生 合计 100 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（25-26高二下·浙江舟山·期中）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 题型8 统计分析综合 1．（24-25高二下·四川广元·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 x 10 20 30 40 50 y 70 80 100 120 130 (1)若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据：） (2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表： 成绩没有进步 成绩有进步 合计 参与课后自主学习 5 135 140 未参与课后自主学习 5 15 20 合计 10 150 160 依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（24-25高二下·安徽芜湖·月考）某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 3．（2025高三上·上海·专题练习）为了了解高中学生课后自主学习时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下图） 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；（参考数据:，） (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（如下图）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（24-25高三上·四川成都·开学考试）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） (2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（2025·河南·三模）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 (1)完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ (2)经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $