1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册（新教材）

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”核心知识点设计，重点考查线段垂直平分线的定义、性质定理、逆定理，以及定理的简单应用和综合运用，衔接前序三角形、全等三角形、直角三角形等相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握线段垂直平分线的解题规范，规避定理与逆定理混淆、应用条件遗漏等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）线段垂直平分线的定义（基础） 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。 补充说明：① 线段垂直平分线的两个核心特征：一是过线段中点，二是与线段垂直，二者缺一不可；② 线段的垂直平分线是一条直线，不是线段或射线；③ 任意一条线段有且只有一条垂直平分线。 （二）线段垂直平分线的性质定理（重点，必记） 1. 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2. 几何表示：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA = PB。 3. 应用前提（易错点）：① 点必须在线段的垂直平分线上；② 距离是指点到线段两个端点的距离，而非到垂直平分线的距离；③ 线段垂直平分线的性质可用于证明两条线段相等，无需通过全等三角形证明，简化推理过程。 4. 证明思路：可通过构造两个直角三角形，利用HL定理证明全等，进而推出PA = PB（简要推导：设AB中点为O，l⊥AB，则∠AOP=∠BOP=90°，AO=BO，OP=OP，Rt△AOP≌Rt△BOP，故PA=PB）。 （三）线段垂直平分线的逆定理（重点，必记） 1. 定理内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2. 几何表示：若点P到线段AB的两个端点距离相等（PA = PB），则点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 应用前提（易错点）：① 点到线段两个端点的距离必须相等，缺一不可；② 逆定理可用于判定一条直线是线段的垂直平分线（若有两个点到线段两端点距离相等，则这两个点所在的直线是线段的垂直平分线）。 4. 补充说明：性质定理与逆定理是互逆关系——性质定理是“垂直平分线上的点→到两端点距离相等”（由线定点的性质）；逆定理是“到两端点距离相等的点→在垂直平分线上”（由点定线的判定）。 （四）线段垂直平分线的综合应用技巧 - 1. 证明线段相等：若已知点在某条线段的垂直平分线上，直接利用性质定理得出线段相等； - 2. 判定线段垂直平分线：找到两个到线段两端点距离相等的点，连接这两个点的直线即为线段的垂直平分线； - 3. 结合全等三角形：当无法直接用性质定理或逆定理时，可结合全等三角形证明线段相等或点在垂直平分线上，衔接前序知识。 5. 易错提醒：① 混淆性质定理与逆定理的因果关系（性质是“线→点”，逆定理是“点→线”）；② 应用性质定理时，忽略“点在垂直平分线上”这一前提；③ 应用逆定理时，只考虑一个点到两端点距离相等，就判定直线是垂直平分线（需两个点）；④ 误将线段的垂直平分线当作线段，忽略其“直线”属性；⑤ 证明逆定理时，未结合等腰三角形“三线合一”或全等三角形推导。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于线段垂直平分线的说法，正确的是（ ） A. 经过线段中点的直线是线段的垂直平分线 B. 垂直于线段的直线是线段的垂直平分线 C. 经过线段中点且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线 D. 线段垂直平分线是线段的一部分 2. 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5cm，则PB的长度为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm 3. 下列说法错误的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B. 到线段两端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上 C. 线段的垂直平分线有无数条 D. 线段垂直平分线是一条直线 4. 在△ABC中，AB=AC，若点A在线段BC的垂直平分线上，则下列结论正确的是（ ） A. AB=BC B. ∠A=∠B C. ∠B=∠C D. ∠A=∠C 5. 下列能判定直线l是线段AB的垂直平分线的是（ ） A. 直线l经过线段AB的中点 B. 直线l垂直于线段AB C. 直线l经过线段AB的中点，且点A到直线l的距离等于点B到直线l的距离 D. 点P在直线l上，且PA=PB 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 经过线段________并且________于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离相等。 3. 线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 4. 在△ABC中，若AB=AC=6cm，BC=8cm，则点A在________的垂直平分线上；若点D是BC的中点，则直线AD是________的垂直平分线。 5. 若点P到线段AB的两个端点距离相等，点Q也到线段AB的两个端点距离相等，则直线PQ是线段AB的________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查线段垂直平分线的定义、性质定理及逆定理。 （1）请完整叙述线段垂直平分线的定义、性质定理（含几何表示）和逆定理（含几何表示）； （2）简述线段垂直平分线性质定理与逆定理的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查线段垂直平分线定理的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 经过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线； ② 线段垂直平分线上的点到线段中点的距离相等； ③ 到线段两个端点距离相等的点，只有一个在这条线段的垂直平分线上； ④ 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。 （2）为什么说线段垂直平分线的性质定理和逆定理是互逆关系？请结合定理内容说明。 解： 3. （12分）基础证明题，考查性质定理及逆定理的简单应用。 （1）如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P、Q均在l上，求证：PA=PB，QA=QB； （2）如图，在△ABC中，PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ是线段AB的垂直平分线； （3）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD是线段BC的垂直平分线（用逆定理证明）。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 4. （12分）综合证明题，考查定理与等腰三角形、全等三角形的综合应用。 （1）在△ABC中，AB=AC，直线l是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点P，求证：PB=PC； （2）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点D，交AB于点E，若BE=5cm，求AE的长度； （3）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，求证：直线AD是线段BC的垂直平分线。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 5. （12分）应用题，考查线段垂直平分线定理在实际场景中的应用。 （1）某小区要在A、B两栋楼之间建一个健身器材区，要求健身器材区到A、B两栋楼的距离相等，且在小区主干道l上（主干道l与AB不垂直），请说明健身器材区的位置如何确定； （2）一块三角形菜地，AB=AC=10m，BC=12m，现要在菜地中找一点P，使点P到A、B、C三点的距离相等，求点P的位置及PA的长度； （3）工人师傅要制作一个等腰三角形零件，已知腰长为8cm，底边为6cm，求底边垂直平分线上任意一点到两腰的距离关系，并说明理由。 解： 6. （12分）综合题，考查线段垂直平分线定理的灵活运用（与角平分线、直角三角形综合）。 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，求证：AD=BD； （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点O，交AC于点P，求证：PB平分∠ABC； （3）如图，在△ABC中，AD是BC的垂直平分线，E是AD上一点，连接BE、CE，若∠EBC=30°，求∠BAC的度数。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 二、填空题：1. 中点；垂直 2. 两个端点 3. 垂直平分线 4. BC；BC 5. 垂直平分线 情境导入 A B P 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 点P是码头的位置 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 线段垂直平分线的性质 1 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB. (A) (B) B A P l 猜想： 点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能证明这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB， 点 P 在 l 上. 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， P A B l C 验证结论 ∴ PA = PB． ∴△PCA≌△PCB (SAS)． 又 AC = CB，PC = PC， ∴∠PCA =∠PCB． 线段垂直平分线的性质定理： 归纳总结 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 练一练： 1. 如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆命题 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 ① 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； ② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 归纳总结 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， 你还有其他证明方法吗？ C A B O ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 证明：延长 AO 交 BC 于点 D. ∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO ＝ ∠CAO. ∵ AB＝AC， ∴ AO⊥BC. ∵ OB＝OC，OD＝OD， ∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL). ∴ BD＝CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. C A B O D B 返回 1． 如图，AD⊥BC，AB＝AC，点C在线段AE的垂直平分线上且点B，C，E三点共线，若AB＝3，BC＝4，则线段DE的长度为(　　) A．4　 B．5 C．6　 D．7 中考考法 15 返回 B 2． [教材P29例1] 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 中考考法 16 36° 返回 3． 中考考法 17 4． 返回 2 700 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝ 90 cm，BD＝60 cm，制作这个风筝需要的布料至少为________cm2. 中考考法 18 5． 如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分线段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE. (1)若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长； 中考考法 19 【解】∵BD垂直平分线段AE， ∴BE＝BA＝6，DA＝DE. ∵△DEC的周长为7，即DE＋CE＋CD＝7， ∴AD＋EC＋DC＝AC＋EC＝7. ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝ AB＋BE＋EC＋AC＝6＋6＋7＝19. 中考考法 (2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数. 返回 中考考法 6． 返回 中考考法 22 中考考法 23 【点拨】 由题可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠C.由题可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∴∠BAE＝∠CAE＝∠C.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAE＋∠BAE＝3∠C＝90°.∴∠C＝30°，故①正确．∵∠AFE＝90°，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，∴BE＝FE.又∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE.∴AB＝AF.∴AP垂直平分线段BF，故②正确． 中考考法 【答案】D 返回 中考考法 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知∠CBD＝∠ABD，则∠A＝________. 【解】∵BD⊥AE，AB＝BE， ∴∠EBD＝∠ABD＝15°，∠BAE＝∠BEA. ∴∠BEA＝＝75°. 又∵∠C＝45°，∴∠CAE＝75°－45°＝30°. ∵DA＝DE，∴∠DEA＝∠DAE＝30°. ∴∠CED＝180°－75°－30°＝75°. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线AP，若射线AP恰好经过点E， 则下列四个结论：①∠C＝30°；②AP垂直平分线段BF；③CE＝2BE；④S△BEF＝S△ABC． 其中，正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵∠C＝30°，∠CFE＝90°，∴CE＝2EF＝2BE，故③正确． ∵CE＝2BE，∴S△BEF＝S△BCF.易知AF＝FC，∴S△BCF＝S△ABC.∴S△BEF＝S△ABC，故④正确．故选D. $