1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理”核心知识点设计，重点考查角平分线的定义、性质定理、逆定理，以及定理的简单应用和综合运用，衔接前序三角形、全等三角形、垂直平分线等相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握角平分线的解题规范，规避定理与逆定理混淆、应用条件遗漏、距离判断错误等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）角平分线的定义（基础） 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 补充说明：① 角平分线是一条射线，不是直线或线段，它的端点是角的顶点；② 一个角有且只有一条平分线；③ 角平分线将角分成两个度数相等的小角，且两个小角的和等于原角的度数。 （二）角平分线的性质定理（重点，必记） 1. 定理内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2. 几何表示：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD = PE。 3. 应用前提（易错点）：① 点必须在角的平分线上；② 距离是指点到角两边的垂线段长度，而非点到角顶点的距离，且两条垂线段必须垂直于角的两边（PD⊥OA、PE⊥OB缺一不可）；③ 性质定理可直接用于证明两条垂线段相等，无需通过全等三角形证明，简化推理过程。 4. 证明思路：可通过构造两个直角三角形，利用AAS定理证明全等，进而推出PD = PE（简要推导：OC平分∠AOB→∠AOC=∠BOC，PD⊥OA、PE⊥OB→∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，Rt△PDO≌Rt△PEO，故PD=PE）。 （三）角平分线的逆定理（重点，必记） 1. 定理内容：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 几何表示：如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE，则点P在∠AOB的平分线上（即射线OP平分∠AOB）。 3. 应用前提（易错点）：① 点必须在角的内部（若点在角的外部，到角两边距离相等，不一定在角的平分线上）；② 点到角两边的距离必须是垂线段长度，且两条垂线段分别垂直于角的两边；③ 逆定理可用于判定一条射线是角的平分线（若一个点在角内部，且到角两边距离相等，则连接角顶点与该点的射线是角的平分线）。 4. 补充说明：性质定理与逆定理是互逆关系——性质定理是“平分线上的点→到两边距离相等”（由线定点的性质）；逆定理是“到两边距离相等的点→在平分线上”（由点定线的判定）。 （四）角平分线的综合应用技巧 - 1. 证明线段相等：若已知点在某角的平分线上，且该点到角两边的垂线段已作出，直接利用性质定理得出垂线段相等； - 2. 判定角平分线：找到角内部一个到角两边距离相等的点，连接该点与角顶点的射线，即为角的平分线； - 3. 结合全等三角形：当无法直接用性质定理或逆定理时，可结合全等三角形证明垂线段相等或点在角平分线上，衔接前序知识； - 4. 结合垂直平分线：角平分线与垂直平分线常综合应用，可通过两者的性质推导线段相等、角相等。 5. 易错提醒：① 混淆性质定理与逆定理的因果关系（性质是“线→点”，逆定理是“点→线”）；② 应用性质定理时，忽略“点在角平分线上”或“垂线段垂直于角的两边”这两个前提；③ 应用逆定理时，忽略“点在角的内部”这一前提；④ 误将“点到角顶点的距离”当作“点到角两边的距离”；⑤ 证明逆定理时，未结合直角三角形全等推导。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于角平分线的说法，正确的是（ ） A. 角平分线是一条直线 B. 角平分线把一个角分成两个互补的角 C. 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线是角的平分线 D. 角平分线上的点到角顶点的距离相等 2. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3cm，则PE的长度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 3. 下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 C. 角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 D. 任意一点到角两边的距离相等，都在这个角的平分线上 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，CD⊥AD于点D，则下列结论正确的是（ ） A. BD=CD B. AB=AC C. AD=BD D. ∠ABD=∠ACD 5. 下列能判定射线OP是∠AOB的平分线的是（ ） A. 点P在∠AOB内部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） B. 点P在∠AOB外部，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） C. 点P在OP上，且PA=PB（PA⊥OA，PB⊥OB） D. 点P在∠AOB内部，且PA=PB 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 从一个角的________出发，把这个角分成两个________的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的________的距离相等。 3. 角平分线的逆定理：在一个角的________，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=4cm，则DF=________cm。 5. 若点P在∠AOB的内部，且到OA、OB的距离相等，则射线OP是∠AOB的________，其依据是________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查角平分线的定义、性质定理及逆定理。 （1）请完整叙述角平分线的定义、性质定理（含几何表示）和逆定理（含几何表示）； （2）简述角平分线性质定理与逆定理的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查角平分线定理的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点都在角的平分线上； ② 角平分线是一条线段，能把一个角分成两个相等的角； ③ 点P到∠AOB两边的距离相等，则点P一定在∠AOB的平分线上； ④ 角平分线上的点到角两边的线段相等。 （2）为什么说角平分线的逆定理中，“点在角的内部”这一前提必不可少？请举例说明。 解： 3. （12分）基础证明题，考查性质定理及逆定理的简单应用。 （1）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE； （2）如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB； （3）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE=AF。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 4. （12分）综合证明题，考查定理与等腰三角形、全等三角形的综合应用。 （1）在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，求证：BD=CD，AD⊥BC； （2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，若CD=3cm，求DE的长度，并证明AC=AE； （3）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：AD平分∠BAC。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 5. （12分）应用题，考查角平分线定理在实际场景中的应用。 （1）一块三角形草坪ABC，∠BAC的平分线AD交BC于D，现要在AD上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，说明点P的位置，并求若PD=2m，点P到AB的距离； （2）某工厂有两个车间A、B，位于一条公路的同侧，现要在公路旁建一个仓库P，要求仓库P到两个车间A、B的距离相等，且到公路的距离等于到车间A的距离，用文字说明仓库P的位置确定方法； （3）工人师傅要制作一个角平分线工具，已知一个角为60°，用尺规作出这个角的平分线，并说明依据（结合性质定理或逆定理）。 解： 6. （12分）综合题，考查角平分线定理的灵活运用（与垂直平分线、直角三角形综合）。 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，交AB于点E，求证：AD=BD； （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF，且AE=AF； （3）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，交AD于点O，交AB于E，交AC于F，求证：∠EAD=∠EDA。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 二、填空题：1. 顶点；相等 2. 两边 3. 内部；平分线 4. 4 5. 平分线；角平分线的逆定理 三、解答题：1.（1）定义、性质定理、逆定理及几何表示略；（2）区别：性质定理是“线→点”（角平分线上的点到两边距离相等），逆定理是“点→线”（到两边距离相等的点在角平分线上）；联系：二者互逆，可相互推导 2.（1）①错误，改正：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，在角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②错误，改正：角平分线是一条射线；③错误，改正：点P在∠AOB内部，且到OA、OB的距离相等，则点P在∠AOB的平分线上；④错误，改正：角平分线上的点到角两边的垂线段相等；（2）举例略（角外部到角两边距离相等的点，不在角的平分线上） 3.（1）证明略（利用角平分线性质定理）；（2）证明略（利用角平分线逆定理）；（3）证明略（AD平分∠BAC→DE=DF，AD=AD，Rt 进行新课 知识点1 角平分线的性质 O E C B A D 通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）。 ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 知识要点 角平分线的判定 2 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。 尝试思考 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 结论证明 已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). B A D O P E C 1 2 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识要点 例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . C 返回 1． 已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　) 中考考法 10 2． [2025江门月考]如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 中考考法 11 【点拨】 【答案】C 返回 中考考法 6 返回 3． 中考考法 13 4． 返回 3 cm 小明将两把完全相同的直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2 cm，5 cm，则OC的长度是____________. 中考考法 14 5． 返回 中考考法 15 6． 如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB； 中考考法 16 【证明】如图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.  ∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°. ∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF. 又∵CD＝CB， ∴△CDE≌△CBF(AAS)． ∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB. 中考考法 (2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长. 返回 中考考法 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 中考考法 A． B．2　 C．3 D． 连接CD.∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°.∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD.∵DB＝DE，∠B＝90°，DE⊥AC，∴CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＝(∠A＋∠ACB)＝×90°＝30°，∴∠ACB＝2∠ACD＝60°. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝________. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，过点C作CE⊥AD于点E，连接AC．若∠BAD＝60°，CE＝，且AC恰好平分∠BAD，则△ABC的面积为________. 【解】在Rt△ACE和Rt△ACF中， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)．∴AF＝AE＝10. 由(1)可得△CDE≌△CBF，∴BF＝DE＝4. ∴AB＝AF－BF＝6. $