5.1 二次函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

第5章二次函数 5.1二次函数 1.C2.B3.(1)①(2)-4 4.四 5.(1):y是x的二次函数， .m2-4≠0，解得m≠土2. (2)y是x的一次函数， ∴.m2-4=0,且m2-3m十2≠0，解 得m=-2. 6.B 7.D解析：由题意，得当每件产品的 售价为x元时，每件盈利(x一50)元， 日销售量为[200+2(99一x]件， .=(x-50)[200+2(99-x)]. 8.C解析：.四边形ABCD是正方 形，∴.∠FCG=90°，∠EBF= ∠ECG=45°，AC⊥BD,EB=EC.又 ,EG⊥EF,∴.∠BEC=∠FEG= 90°..'.∠BEC-∠FEC=∠FEG ∠FEC,即∠BEF=∠CEG. .△BEF≌△CEG.∴.BF=CG= x,EF=EG.∴.在Rt△EFG中， FG=EG2+EF2=2EF2.在 Rt△CFG中，FG2=CG2+CF2,即 FG2=x2+(5-x)2=2.x2-10.x+ 2.y=2G·EF=号EF, :y=rG2=是(2x2-10x+ 4 235)-号+y与满 足的函数关系是二次函数关系. 9.3 10.y=一弓2+x解析：四边 形ABCD是正方形，..CD=BC= AB=2,∠C=∠CDA=90°= ∠ADE.:DF平分∠ADE, .∠ADF=2∠ADE=45: ∴.∠MDF=90°+45°=135.在BC 上截取CH=CM,连接MH,则 △MCH是等腰直角三角形，BH MD=2-x.'.∠CHM=∠CMH= 45.∴.∠BHM=180°-∠CHM= 135°.∴.∠MBH+∠HMB=45°， ∠BHM=∠MDF..MF⊥BM .∴.∠FMB=90°.又.·∠CMH=45°， ∴.∠FMD+∠HMB=45. ∴.∠MBH=∠FMD.∴.△HMB≌ △DFM.'.S△HMB=S△pFM= 2CM:BH.“y与x之间的函数 1 表达式为y=2x(2-x)= 一方法制归纳 根据图形性质写出函数表达式 解答与几何图形有关的问题 时，往往需要我们灵活地运用图形 性质，挖掘隐含在图形中的线段、 角之间的数量关系，进而写出函数 表达式 11.(1)y=(m-4)xm-m十 2x2-3x-1是关于x的一次函数， m2-m=2, 解得m=2. m-4+2=0, .当m=2时，它是y关于x的一次 函数. (2)y=(m-4)xmm+2x2 3x一1是关于x的二次函数， .分四种情况： ①m-4=0,解得m=4:②m2-m= 1,解得m=1±5 （m2-m=2, 2:③ m-4+2≠0， 解得m=一1；④m2-m=0,解得 m=0或m=1. 综上所述，当m=0或1或4或-1或 1士5时，它是y关于x的二次函数. 2 12.y=6x-x2(0≤x≤6) 解析：如图，延长CO,交AB于点G. :C是⊙O的ACB的中点，.CO AB,AG=2 AB=X6=3. .AE2=AG2+EG2 EF2=FG2+ EG.由题意，得当0≤x≤3时，AF= x,FG=3-x.y=AE2-EF2= AG2+EG2-FG2-EG2=AG2- FG2=9-(3-x)2=6x-x2(0≤x≤ 3).当3<x≤6时，AF=x,FG=x 1 3...y=AE2-EF2=AG2+EG2- FG2-EG2=AG2-FG2=9-(x- 3)=6x-x2(3<x≤6).综上所述， y=6.x-x2(0≤x≤6). B (第12题) 13.(1):篱笆长为24m,花圃的宽 AB为xm, .花圃的长BC为(24一3.x)m. .S=(24-3.x)x=-3.x2+24x. 由题意，得24一3x>0,x>0,24 3x>x, ∴.0<x<6. (2),24-3x9, .x≥5. 结合(1)，得5≤x<6. 5.2二次函数的图像和性质 第1课时二次函数y=ax2的 图像和性质 1.C2.C3.3 4.a1>a2>a3>u4 5.(1)把x=3,y=3代入y=a.x2, 1 得9a=3,解得u=3, 这个二次函数的表达式为y= 1 322. 当x=-2时y=3 ×(-2)2= 3 (2y=子，3>0， '.图像的开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是(0,0) 6.D7.C8.D9.y1<y2<y3 10.一2解析：：二次函数y= (m十1)xm的图像开口向下， '.m=2且m+1<0,解得 m=-2. 11.一、三、四解析：二次函数 y=a.x2(a≠0)的图像开口向上， ∴.a>0.又，直线y=a.x-1与y轴 交于点(0，-1)，∴.直线y=Q.x-1经本册教材思维导图 一般地，形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，且a≠0) 的函数叫做二次函数 概念 开口方向、开口大小、顶点坐 图像 标、对称轴、增减性、最值 和性质 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 顶点式：y=a(x+h)+k(a≠0) [顶点坐标为(-h,k)] 表达式 两根式：ya(xx,)(xx2） （a、x、x2为常数，且a≠0) 根据一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况，可以判断二次函 二次函数 数y-ax2+bx+c的图像与x轴的 公共点的个数 二次函数 利用二次函数y=ax+bx+c的图 与一元二次 像与x轴的公共点的位置，可以 方程 确定一元二次方程ax+bx+c=0 的两个根的近似值 利用二次函数可以解决最值 用二次函数 问题和抛物线形问题 解决实际问题 正切、正弦、余弦 锐角三 特殊角的三角函数 角函数 由三角函数值求锐角 三边之间的关系a2+b2=c 锐 两锐角之间的关系∠A+ 解直角 依据 三角形 ∠B=909 边、角之间的关系 三角 数 坡度、坡角问题 与旋转有关的问题 实际应用 仰角、俯角、方向角问题 比例的基本性质、比例中项、 比例线段 黄金分割 两条直线被一组平行 平行线分线段 线所截，所得的对应线 成比例 段成比例 “平行定理” “两角定理” 探索三角形 “两边及夹角定理” 相似的条件 “三边定理” 周长比等于相似比 相似三角 图形的相似 形的性质 面积比等于相似比的平方 对应线段（中线、高、角平分 线)的比等于相似比 如果两个多边形不仅相似，而 且对应边互相平行（或在同一 条直线上)，对应顶点所在直线 相交于一点，那么这两个多边 图形的 形叫做位似多边形，这个点叫 位似 做位似中心 手级 用相似三角形 用平行投影和中心投影 解决问题 解决问题 册 中学生的 简单随机抽样 视力情况 调查 样本的代表性 统计的 简单应用 用样本估计总体 货比三家 和概率 统计分析帮你做预测 画树状图法、列表法 简单应 抽签方法合理吗 频率与概率的 概率的 概率帮你 关系 简单应用 做估计 样本—用频 率估计概率 收取多少 事件A发生次数的 保险费才 平均值为n×P(A) 合理 解决涉及概率的获 奖、保险等问题 第5章 二次函数 5.1 边基础进阶 1.有下列关系：①面积为10cm的矩形中，矩 形的长y(cm)与宽x(cm)的关系；②底面圆 的半径为5cm的圆柱中，圆柱的侧面积 y(cm)与高x(cm)的关系；③某商品每件 进价为80元，在某段时间内以每件x元出 售，可卖出(100一2x)件，利润y(元)与每件 进价x(元)的关系.其中，y与x满足的函数 关系属于二次函数关系的是 () A.①B.②C.③ D.①③ 2.已知y=(m+1)xm2+1+2x-3是关于x的 二次函数，则m的值为 () A.0 B.1 C.-1D.1或-1 3.(1)有下列函数：①y=6x2+1;②y=6.x+ 1:⑥y+1:@y=9+1.其中，属于 次函数的是 (填序号) (2)二次函数y=2x(x一3)的二次项系数与 一次项系数的和为 4.若y=(m十1)xm+1十4x-5是关于x的二 次函数，则一次函数y=m.x十m的图像不经 过第 象限。 5.已知函数y=(m2-4)x2+(m2一3m+ 2)x-m-1. (1)当m为何值时，y是x的二次函数？ (2)当m为何值时，y是x的一次函数？ 2 注：标“★”的题目设有“方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警 次函数 ●“答案与解析”见P1 幻素能攀升 6.有下列函数：①y=1一x2;②y=x(x一1)； ③y=中④y=x-2)”-x.其中，属 于二次函数的有 A.1个B.2个C.3个D.4个 7.某商家代销一种产品，销售中发现当每件产 品的售价为99元时，日销售量为200件，并 且售价每下降1元，日销售量就会增加2件， 已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和 其他费用共50元.设每件产品的售价为x元， 商家销售该产品每天获得的利润为心元，则 心与x之间的函数表达式为 () A.=(99-x)[200+2(x-50)] B.=(99-x)[200+2(50-x)] C.=(x-50)[200+2(.x-99)] D.=(x-50)[200+2(99-x)] 8.新考向·学科内综合如图，在边长为5 的正方形ABCD中，F是BC上一 动点，过对角线交点E作EG⊥EF, 交CD于点G,设BF的长为x,△EFG的面 积为y,则y与x满足的函数关系是( D G (第8题) A.反比例函数关系B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.以上都不是 9.已知函数y=(k十k)x--1是二次函数， 则k= 10.★如图，在正方形ABCD中，AB=2,M为 正方形ABCD的边CD上的动点（不与点 示”，详见“答案与解祈” C、D重合)，连接BM,过点M作MF⊥ BM,与正方形ABCD的外角∠ADE的平 分线交于点F.设CM=x,△DFM的面积 为y,则y与x之间的函数表达式为 (无需写出自变量的取值 范围). E (第10题) 11.已知y=(m一4)xm-m+2x2-3x-1. (1)当m为何值时，它是y关于x的一次 函数？ (2)当m为何值时，它是y关于x的二次 函数？ 第5章二次函数 思维拓展 12.新考法·探究题如图，C是⊙O的 ACB的中点，弦AB=6,E为OC 上任意一点，动点F从点A出发， 以每秒1个单位长度的速度沿AB方向向 点B匀速运动.设y=AE2一EF2,动点F 的运动时间为x秒，则y与x之间的函数 表达式为 (第12题) 13.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的 篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 ABCD(BC>AB).设花圃的宽AB为xm, 面积为Sm. (1)求S与x之间的函数表达式及自变量 x的取值范围。 (2)若墙的最大可用长度为9m,求此时自 变量x的取值范围. (第13题) 3