1.3.2 直角三角形全等的判定 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.3.2 直角三角形全等的判定 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版八年级数学下册 1.3.2 直角三角形全等的判定 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.3.2 直角三角形全等的判定”核心知识点设计，重点考查直角三角形全等的特殊判定方法（HL定理）、一般判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）的应用，以及直角三角形全等与直角三角形性质、等腰三角形等知识的综合运用，衔接前序三角形全等判定、直角三角形的性质与判定相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握直角三角形全等的解题规范，规避HL定理应用前提遗漏、判定方法混淆等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）直角三角形全等的判定前提与核心思路 1. 前提：直角三角形是特殊的三角形，因此三角形全等的一般判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）均适用于直角三角形，同时直角三角形有其独特的全等判定方法（HL定理），可简化解题过程。 2. 核心思路：判定两个直角三角形全等，优先考虑直角三角形特有的HL定理（省时高效）；若不满足HL定理的条件，再选用一般判定方法，注意结合直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）寻找隐含条件。 （二）直角三角形全等的特殊判定方法——HL定理（重点，必记） 1. 定理内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简记为“斜边、直角边”或“HL”） 2. 几何表示：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE（斜边相等），AC=DF（一条直角边相等），则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 3. 应用前提（易错点）：① 两个三角形必须是直角三角形（需明确标注直角或能推导得出直角）；② 必须是“斜边”和“一条直角边”分别相等，缺一不可，不能用两条直角边相等替代（两条直角边相等用SAS判定）。 4. 补充说明：HL定理本质上是直角三角形中“SSA”的特例——在一般三角形中，SSA不能判定全等，但在直角三角形中，由于直角是固定的90°，斜边和一条直角边确定后，第三条边的长度可通过勾股定理唯一确定，因此能判定全等。 （三）直角三角形全等的一般判定方法（衔接前序） 1. 适用说明：SSS、SAS、ASA、AAS四种方法对直角三角形完全适用，解题时可根据已知条件灵活选择： - （1）已知两条直角边对应相等：用SAS判定（直角是两条直角边的夹角）； - （2）已知一个锐角和一条直角边对应相等：用ASA（直角与锐角、直角边对应）或AAS（锐角、直角边与另一条直角边对应）； - （3）已知一个锐角和斜边对应相等：用AAS判定（直角与锐角互余，可推出另一个锐角对应相等）； - （4）已知三条边对应相等：用SSS判定（可结合勾股定理验证是否为直角三角形）。 （四）直角三角形全等的性质（衔接前序） 两个直角三角形全等后，对应边相等、对应角相等，同时可结合直角三角形的性质，推导得出斜边中线相等、斜边上的高相等、对应锐角互余等结论，常用于后续线段相等、角相等的证明。 5. 易错提醒：① 应用HL定理时，忽略“直角三角形”这一前提，直接用HL判定非直角三角形全等；② 混淆HL定理与SAS，误将两条直角边相等用HL判定；③ 判定时遗漏对应关系，如斜边与直角边对应错误；④ 忽略公共边、公共角、对顶角等隐含条件，无法快速找到全等的条件；⑤ 证明过程不规范，未先标注直角三角形，直接使用HL定理。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 一条直角边对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 斜边对应相等 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中，不能判定两三角形全等的是（ ） A. AC=DF，BC=EF B. ∠A=∠D，AB=DE C. AB=DE，AC=EF D. ∠B=∠E，BC=EF 3. 下列关于HL定理的说法，正确的是（ ） A. HL定理适用于所有三角形全等的判定 B. 用HL定理判定全等，只需斜边对应相等 C. 用HL定理判定全等，必须有斜边和一条直角边对应相等 D. 两个直角三角形中，只要有一条边对应相等，就可以用HL定理判定全等 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=BD（D为AB中点），若CD=5cm，则AB的长度为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm 5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则下列结论错误的是（ ） A. BC=EF B. ∠A=∠D C. ∠B=∠E D. AC=DE 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 直角三角形全等的特殊判定方法是________，简记为________，其条件是________。 2. 三角形全等的一般判定方法________、________、________、________，均适用于直角三角形。 3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（________）（填判定方法）。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若用HL定理判定Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'，则还需添加的条件是________和________。 5. 两个直角三角形全等，除了对应边、对应角相等外，还可推出________、________等（至少写2个）。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查直角三角形全等的判定方法。 （1）请完整叙述HL定理的内容、几何表示，以及直角三角形全等的一般判定方法； （2）简述HL定理与一般三角形全等判定方法的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查直角三角形全等判定的易错点及方法判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① HL定理可以判定任意两个三角形全等； ② 两个直角三角形中，两条直角边对应相等，可用HL定理判定全等； ③ 用HL定理判定直角三角形全等，只需一条直角边对应相等即可； ④ 两个直角三角形全等，一定可以用HL定理判定。 （2）为什么说HL定理是直角三角形特有的全等判定方法？请举例说明。 解： 3. （12分）基础证明题，考查HL定理及一般判定方法的简单应用。 （1）如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，BC为公共斜边，AB=DC，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DCB（用HL定理）； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥BC于点D，若AC=AD，求证：Rt△ACD ≌ Rt△ADC（用SAS定理）； （3）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D，AB=DE，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF（用AAS定理）。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 4. （12分）综合证明题，考查直角三角形全等与直角三角形性质的综合应用。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，求证：Rt△ABD ≌ Rt△ACD； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：Rt△ADE ≌ Rt△BDF； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BE⊥AB，且BE=AB，BD⊥BC，且BD=BC，求证：Rt△ABC ≌ Rt△EBD。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 5. （12分）应用题，考查直角三角形全等在实际场景中的应用。 （1）一块直角三角形钢板，测得其两条直角边分别为6cm和8cm，另一块直角三角形钢板与它全等，且有一条斜边与它的斜边相等，求另一块钢板的两条直角边长度； （2）工人师傅要制作两个全等的直角三角形零件，已知其中一个零件的直角边为5cm和12cm，若用HL定理判定两个零件全等，还需测量哪个边的长度？请说明理由； （3）一个直角三角形框架，其中一个锐角为30°，斜边为10cm，另一个直角三角形框架与它全等，求这个框架的两条直角边长度。 解： 6. （12分）综合题，考查直角三角形全等的灵活运用（与等腰三角形、角平分线综合）。 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，求证：Rt△ACD ≌ Rt△AED； （2）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，连接BE、CE，求证：Rt△BDE ≌ Rt△CDE； （3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=BC，E、F分别在AC、BC上，且AE=CF，连接AF、BE，求证：Rt△ABE ≌ Rt△BCF。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 二、填空题：1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；HL；斜边和一条直角边分别相等 2. SSS；SAS；ASA；AAS 3. SAS 4. 斜边对应相等；一条直角边对应相等 5. 斜边中线相等；斜边上的高相等（答案不唯一） 三、解答题：1.（1）HL定理内容、几何表示、一般判定方法略；（2）区别：HL定理仅适用于直角三角形，一般方法适用于所有三角形；联系：HL定理是直角三角形全等判定的特殊方法，一般方法可用于直角三角形 2.（1）①错误，改正：HL定理仅适用于直角三角形全等的判定；②错误，改正：两条直角边对应相等，用SAS判定；③错误，改正：需斜边和一条直角边对应相等；④错误，改正：两个直角三角形全等，可选用HL、SAS、ASA等多种方法；（2）举例略（非直角三角形中，斜边和一条直角边相等不能判定全等） 3.（1）证明略（∠A=∠D=90°，BC=CB，AB=DC，HL）；（2）证明略（AC=AD，∠C=∠ADC=90°，CD=DC，SAS）；（3）证明略（∠A=∠D，∠C=∠F=90°，AB=DE，AAS） 4.（1）证明略（AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，HL）；（2）证明略（AD=BD，∠A=∠B，∠AED=∠BFD=90°，AAS）；（3）证明略（AB=BE，BC=BD，∠ABC=∠EBD=90°，SAS） 5.（1）6cm和8cm；（2）斜边，理由：HL定理需要斜边和一条直角边对应相等，已知一条直角边，需测量斜边；（3）5cm和$$5\sqrt{3}$$cm（步骤略） 6.（1）证明略（AD平分∠BAC，CD=DE，AD=AD，HL）；（2）证明略（BD=CD，∠BDE=∠CDE=90°，DE=DE，SAS）；（3）证明略（AB=BC，∠C=∠BAE=90°，AE=CF，SAS）（步骤略） 学习目标 1.掌握“斜边、直角边(HL)”的判定方法。 2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等。 3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题。 2 复习回顾 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。 (1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据______，△ABC≌△DEF； A B C F E D (2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (3)若AB=DE，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据______，△ABC≌△DEF。 ASA AAS SAS SSS 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B =∠E = 90°， 且 AC = DF，BC = EF，现在能 判定△ABC≌△DEF 吗？ A B C D E F 直角三角形全等的判定 1 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α. 求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c. α a c 画一画 作法： 2. 过点作射线 CN 的垂线 CM . 3. 在射线 CM 上截取 CB＝a. A M C N 4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A. 5. 连接 AB. B α a c 1. 作射线 CN. △ABC 就是所要作的直角三角形. 视频观看 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°， AB = A′B′，AC = A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在△ABC中， A B C A′ B′ C′ ∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) . ∴ BC＝B'C'. ∵AB＝A'B'，AC＝A'C'， 同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2. ∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理). ∵∠C＝90° 验证结论 归纳总结 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： “斜边、直角边”判定方法 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： (1) 一个锐角和这个角的对边对应相等； ( ) (2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等； ( ) (3) 一个锐角和斜边对应相等； ( ) (4) 两直角边对应相等； ( ) (5) 一条直角边和斜边对应相等． ( ) HL ASA SAS AAS AAS 判一判 例 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等). ∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)， ∴∠B +∠F = 90°. 解：根据题意，可知 ∠ABC = ∠DEF = 90°， B A D F C E A 返回 1． 如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC．要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，则需添加一个条件是(　　) A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝DF 中考考法 12 返回 D 2． 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE相交于点O，连接AO，图中全等三角形共有(　　) A．2对　 B．3对　 C．4对　 D．5对 中考考法 13 42° 3． 如图，在△ABC中，∠BAC＝24°，在△DEF中，∠F＝66°，BC，EF边上的高相等，若AC＝DF，则∠B的度数为________. 中考考法 14 【点拨】 返回 中考考法 4． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． (1)求证：△ACD≌△ABD； 中考考法 16 (2)过点C作CE⊥AB于点E，CE交AD于点F，若CE＝AE.求证：AF＝2CD． 【证明】∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEF＝∠CEB＝90°. ∴∠EAF＋∠B＝90°，∠B＋∠BCE＝90°. ∴∠EAF＝∠BCE. ∵AE＝CE，∴△AEF≌△CEB.∴BC＝AF. ∵Rt△ACD≌Rt△ABD.∴CD＝BD. ∴BC＝2CD.∴AF＝2CD. 返回 中考考法 5． 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，作DH⊥BC于点H，BC＝9，AB＝5，则CH的长度为(　　) 中考考法 18 【点拨】 【答案】B 如图，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E.∵DH⊥BC，DE⊥BA，∴∠DEB＝∠DHB＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBH.又∵BD＝BD，∴△DBE≌△DBH(AAS)．∴DE＝DH，BE＝BH. 又∵AD＝CD，∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)． ∴AE＝CH. ∵BC＝BH＋CH＝BE＋CH，∴BC＝AB＋AE＋CH＝AB＋2CH.∵BC＝9，AB＝5，∴CH＝2. 返回 中考考法 6． 中考考法 20 【点拨】 返回 中考考法 7． 【证明】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE， 即∠CAE＝∠BAD. 又∵AC＝AB，AE＝AD， ∴△ACE≌△ABD(SAS)． 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE并延长交BD于点F. (1)求证：△ACE≌△ABD； 中考考法 22 (2)过点A作AH⊥BD于点H，请探究EF，DH，HF三条线段的数量关系，并给出证明. 中考考法 返回 中考考法 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等) 课堂小结 Lavf57.41.100 如图，分别过A，D两点作AG⊥BC，DH⊥EF于点G，H.∵在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)．∴∠ACG＝∠F＝66°.∵∠ACG＝∠B＋∠BAC，∠BAC＝24°，∴∠B＝66°－24°＝42°. 【证明】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， ∴Rt△ACD≌Rt△ABD(HL)． A．3　 B．2　 C．　 D． 6 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转一定的角度到AC，点D为线段AB上一点，连接CD并延长到点E，连接AE，BE，过点A作AF⊥BE交BE的延长线于点F，如果∠B＝∠C，BE＝EC＝4，AE＝3，那么△AEC的面积是________. 如图所示，过点A作AG⊥EC于点G. ∵将线段AB绕点A顺时针旋转一定的角度到AC，∴AB＝AC.∵AF⊥BE，AG⊥EC，∴∠F＝∠AGC＝90°.又∵∠B＝∠C，∴△AFB≌△AGC(AAS)．∴AF＝AG，BF＝GC.又∵AF⊥BE，AG⊥EC，AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)．∴FE＝EG.∵BE＝EC＝4，∴EC＝6.∴EG＋GC＝FE＋BF＝2EF＋BE＝6.∴2EF＋4＝6.∴EF＝1.∵AE＝3，∴AF＝＝2.∴AG＝2.∴△AEC的面积是EC·AG＝×6×2＝6. 【解】EF＋DH＝FH. 证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J.∵△ACE≌△ABD，∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD.∵AJ⊥CE，AH⊥BD，∴CE·AJ＝BD·AH，∴AJ＝AH.在Rt△AFJ和Rt△AFH中，∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL)． ∴FJ＝FH.在Rt△AJE和Rt△AHD中， ∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL)．∴EJ＝DH. ∴EF＋DH＝EF＋EJ＝FJ＝FH. $