福建省泉州五中2025-2026学年高二下学期数学期中复习练习：数列+圆锥曲线

泉州五中高二下期中复习（数列+圆维曲线） 一、单选题 1.已知a,b,c∈R,若-1，a,b,c,-3成等比数列，则实数a,b,c的乘积的值为() A.-3 B.±3 C.-3V5 D.±35 a,+1,n为奇数 2.已知数列{a}中，4=1，ah= -4+2,n为偶数，则数列a,}的前2026项和为() A.4052 B.4054 C.2026 D.2027 3设数列a满足a+号+号++是-2n1,则a}的前2026项和为（） 332 A.32026-1 B.32026 C.32027-1 D.32027 4已知椭圆C:+二=1的左、右焦点分别为乃，耳，P为椭圆C在第一象限内的一点， 63 ∠RPR骨则月E的面积为《) A.⑤ B.√5 C.2 D.25 2 5.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐 标原点)的重心恰为F,若|AF=5,则|AB=() A.8 B.4V2 C.4W3 D.46 6.己知数列{a}的前n项和为S.,a1+(-1)a=2n+1,则下列结论中错误的是() A.4+4=2B.42m+4m2=81+4C.S2=70 D.若S4n>1000,则n≥11 7抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴.根据光路可逆性，若一条与x轴平行的光线经过点A(3,。)后，射到抛物线C:y2=2x 上，经过两次反射后从点B(4,2)射出，已知光线从点A到点B经过的总路程为9，则P=() A. B.1 C.2 D.4 &已知片是稀圆C号号-1的左焦点，P为新图C上任童点，点Q(4,则PP阳的尿 大值是() 试卷第1页，共8页 A.6+10 B.6+2W5 C.6+3 D.9 已知双曲线C怎1a>0,b>0的左、有焦点分别为，乃，过点乃的直线与双曲线C 的右支交于P,Q两点，连接Q,若∠FQP=∠PQ,则双曲线C的离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(3,+o) C.(W5,+o) D.(15) 0.已知R,E是椭圆C:元+三=1(a>0)与双曲线C:x2-y 3 京=1(b>0)的公共焦点，P为C 与C,在第一象限的公共点，若∠RPR=号则aPFg的内切圆半径为() A. 2W3+V2 B.23-V2 C.5+V6 D.5-6 6 6 3 二、多选题 11.已知数列{a}的首项4=1，且41=3a.+2”，则下列结论正确的有() A.42=6 B.数列{a}是递增数列 C.数列{a+2}是等比数列 D.an=2”+3 12.若正项无穷数列{a}是等差数列，且4+4，=8，则() A.4+a6+4。=12 B.当a=1时，{a}的前20项和为144 C.公差d的取值范围是 D.当4o为整数时，a4o的最大值为7 13.在平面直角坐标系xOy中，已知E(22,0),F(-22,0),点M在x轴上运动，点N在y轴上 运动，且MW=2,动点Q满足MN=-2MQ,记动点Q的轨迹为C,则() A.C的方程为x+二=1 B.1≤09≤3 C.№卧№的最大值为9 D.曲线C上有且仅有两点到直线x-2y-4=0的距离为1 试卷第2页，共8页 14已知曲线B:少+少=1，则下列结论正确的是《) 24 A.y随着x增大而减小 B.曲线E的横坐标的取值范围为-V2,√2 C.直线y=-1.4x与曲线E相交，且交点在第二象限 D.M(x,)是曲线E上任意一点，则W2x,+,的取值范围为(0,2V2 三、填空题 15已知数列红}的酒项公式a=（ (neN),则此数列前n项和S,的取值范围为 16.己知数列{a}满足a=1，,a=2,4a+2=4a1-a(neN),则a。= 17.已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,圆x2+y2-px=0.如图，过点F的直 线1与抛物线和圆的交点依次为A,B,C,D,则4AB+CD的最小值为（请 用P表示) y2=2px 18已如？是椭圆C若是-1口b>0)上第一象限内的点，公，R分别是精题C的左、右焦点 ∠FP=60°，点Q在∠PF,的平分线上，O为原点，O2/1P耳，且|OQ=b,则椭圆C的离心 率为 四、解答题 19.已知数列{m2}的前n项和为Sn,4=1,Sn=n,数列{bn}满足b=1,bn1=2b.+1· a,n为奇数 (1)求数列{a}b}的通项公式：(2)若数列{c}满足cn= b,n为偶数求数列c,}的前n项和. 试卷第3页，共8页 20.已知在正项数列{a}中，4=1且√Sn+√Sn1=a1≥2)，其中Sn为数列{a}的前n项和. (1)求证：数列{S}是等差数列： (2)求数列{a}的通项公式： (3)若对于任意neN,2·≥Sn恒成立，求实数的取值范围： 试卷第4页，共8页 21已知椭圆c。+1a>b>0的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于袖的直线与椭 圆交于M,N两点，MM=1. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C外一点P(2,2)任作一条直线与椭圆交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满 足2PAPB=PO|PA+POPB|,证明：点O必在某条定直线上. 试卷第5页，共8页 22. 已知数列a中，a=牙a a,+1,n∈N. (1)证明数列 -1为等比数列，并求数列”-n的前n项和S: a. (2记b.=,数列化-1的前n项和为，求证：T< 21 试卷第6页，共8页 23已知双曲线方程为。片手1，R,R为双曲线的左、有焦点，离心幸为2，点P为双曲线在 第一象限上的一点，且满足P℉P币=0，PP=6. (1)求双曲线的标准方程： (2)过点F,作斜率不为0的直线I交双曲线于A,B两点；则在x轴上是否存在定点Q(m,0)使得 OA.QB为定值，若存在，请求出m的值及此时△QAB面积的最小值，若不存在，请说明理由. 试卷第7页，共8页 24已知点0》 M为平面内一动点，以MF为直径的圆与x轴相切，点M的轨迹记为T. (1)求曲线T的方程： (2)不过原点的直线I与曲线T交于不同的两点A,B,若以AB为直径的圆过坐标原点. (i)证明：直线l过定点； (ⅱ)点C是曲线T上位于直线l下方的一动点，若对于给定的直线l,记△ABC的面积最大值为S, 对所有符合题设条件的动直线1，求$的最小值. 试卷第8页，共8页 《泉州五中高二下期中复习（数列+圆锥曲线）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D C D D 题号 11 12 13 14 答案 BC AD BCD AD +n=2a m=a+1 10.D【详解】依题意，不妨设P=m,P=n(m>n>0),则 m-n=2’于是 n=a-1’ 在aPR中，由余弦定理得m+n-2 n co写-l,即a++a-l-(a-刂=4(a-3到， 解得a=5,又a2-3=1+b2,所以b=1,在△PRE中，P=5+1,PE=V5-1,RE=2V2, 设3写内切网的半径为，则um号包+"业，即5-小5+). 3 2 解得r=-V6 3 13.BCD【详解】设M(,0),N(0,y,),xy),由N=2可得x6+y=4, 因为瓜=-2项，=（⅓，0-(x-,0,所以2x-） 。=-2y 2 解得 ,所以写)+(2=4，整理得号+=1，A不正确： y。=-2y 00=x2+v2=8r +1,因为x∈[-3,3]，所以og∈[1,9]，02∈[1,3]，B正确： 因为C的方程为号+y=1,所以(22，)，P(-22,0)为其焦点，由Q+1Q例=6可得， 22叫s2O-9,当且仅当0-o3时，取到最大值，c正瑞： x2 设直线x-2y+m=0与C相切，联立)+少=1 x-2y叶V13=0 x-2y+=0 13y2-4y+m2-9=0,由△=16m2-4×13×(m2-9)=0可得 x-2y-V13-02y-4-0 m2=13,即m=±V13.当m=√13时，x-2y+V13=0与 答案第1页，共8页 x-2y-4=0的距离为d= 13+4 1>1:当m=-√13时，x-2y-V13=0与x-2y-4=0的距离为 1<1:曲线C上有且仅有两点到直线x-2y-4=0的距离为1，D正确 5 14AD【详解】因为曲线B:+W-1,当x20,y20时二+上 24 之+41，则曲线B为椭圆 +义=1的一部分：当x>0,V<0时片=1，则曲线8为双曲线，1的一部分， 24 24 且双曲线的渐近线为y=士V2x:当x<0,y>0时上-女=1，则曲线B为双曲线y=1的 42 42 一部分，且双曲线的渐近线为y=±√2x:可得曲线的图形如下所示： 由图可知y随着x增大而减小，故A正确：曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误： 因为-1.4>-√2，所以曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第四象限，故C错误： 因为外W2+5x+ 即点M(,%)到直线√2x+y=0的距离的√5倍， 当直线x+y+c=0与曲线号+号=1(2020)相切时，由 W2x+y-2W2=0 2 4 ,消去y整理得4x2+2√2cx+c2-4=0,则 2x+y+c=0 /2x+y=0 △=(2W2C-16(c2-4-0,解得c=2√5（舍去）或c=-2√，又 222W2 V2x+y=0与V2x+y-2V2=0的距离d V2+13,所以 V2x,+=V3d=2万，所以小√2x,+的取值范围为(0,2]，故D正确。 155制]6.- 答案第2页，共8页 172【详解】极据影意，圆4广-m=0,可得心号+少-号， 所以该圆的圆心为P,所以AB=A-号，CDD-号，所以 44叫+=44号)D号4M+D号，设点4飞)，D5）.易知AD斜 率不为0，设AD方程为x=心+号联立抛物线方程消去x可得-2p-广=0，所以 4y=-p,又片=2P匹，片=2%，两式相乘可得= 4，所以 到a=44rD習=A+号++号=+， 因4托+名≥24污=2p,当且仅当杨=时等号成立.即=号，=p时，44+CD取得最 小值2p 182Y5【详解】设Pg=mPR=,延长OQ交PR于点A,延长R0交PR于M, > 因为点O在∠EPE,的平分线上，O2/IPF,所以∠POA=∠OPF,=30,所以OA=PA,又因 为00PR,0为E的中点，所以A为PR的中点，所以O4-P,所以∠POg=90,又 O2/IPE,所以O为M的中点，所以Pe是MF的垂直平分线，所以PF引=PM, 又因为O0=b,所以M=2b,所以 -n=2b 侧m+n2所以名，在△P匹中，由余弦定理 可得m+r-2 mOs∠RPg=(2c,所以(a+b+a-°-2a+a-b)x3(2c)八， 所以a2+2b+b2+a2-2ab+b2-d2+b2=4c2,即ad2+3b2=4c2,又b2=a2-c2,所以 云+3-c）,所以4a=7c,所以导=号所以精题c的离心丰为e=名-2行 a 7 19.【详解】(1)当n≥2时，a.=S-S-1=m-(n-1)2=2n-1,当n=1时，4=1=2×1-1，满 答案第3页，共8页 足上式，所以a.=21-1:由b1=2b,+1得bn1+1=2(b+1),所以数列bn+1}是以b+1=2为首 项，2为公比的等比数列，所以b+1=2×2=2”,所以bn=2”-1: (2)当n为偶数时，T=C+c2+C3+…+cn=2×1-1+22-1+2×3-1+24-1+…+2(n-1)-1+2”-1 =[2×1+2×3+…+2(n-1)]+[22+24+…+2"]-n +m习0eng24n 2 1-22 2 3 当n为奇数时，T,=C1+c2+c3+…+cn=2×1-1+22-1+2×3-1+24-1++21-1+2×n-1 =[2×1+2×3+…+2+[22+24++2"-1-n 21-) 1-22 +2-42” 2 2■ 3 236 22m2-4 所以工=？3为偶数 12215 2+36内奇数 20.【详解】(1)在数列{a,}中，S。-S1=a(n≥2)①，又因为√Sn+√S-1=a0m≥2)②，a>0, 所以号行瓦-区=0m,又因为瓜-反-1，数列长何}是以1为首项1为公会 的等差数列； (2)由(1)知，数列{S,}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以√Sn=1+(n-1)=n,所 以Sn=n2.当n≥2时，a=S.-S-=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时，a=1,也满足上式， 所以数列{a}的通项公式为4.=21-1； 3》由（②)知.及=川，因为对于任意mcN,2≥S恒成立，所以A≥分恒成立. 设6交，则6u-A=a山+1-广+2，当m=1和2时，6->0 2+1 22+1 2H 即b<b+1;当n≥3，n∈N时，b1-b。<0,b.>b1,所以b<b2<b>b,>b>,所以数列bn} 答案第4页，共8页 的能大项是&令所以令即实致A的取位藏围为尽+】 21.【详解11)解：由题知9-5①.N-2沙-1②，又a-6+c@, a=2 联立①@3解得b=1，所以椭圆c的方程为 +少=1： C=V3 (2)解法一：由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2)+2,设 A(x),B(x2,v.),(x,y),2 PA PB Pe PA+Pe PB, .2-22-2=x-2k-2+-2k2-2,x<2,x<2,2<2,上式可化简为 =255-2(5+x) y=k(x-2)+2 ￥+x2-4 ，联立 x 消去y化简可得 +y2=1 4 1+#,55-16k-32%+12 +4k)r产48(2+2)+16k-32+12-0,则5+，-16-16， 1+4k2 . 2xx2-2(+x2)_8k-6 +x2-4 代入直线方程y=(-2+2,即y=个6-2+2，解得 4k+1 8k-6 2 y 4k+1’由 4+1消去k可得x+4y-2=0,则点0必在定直线x+4y-2=0: 2 =4k+1 法二：'2PAPB=PePA+PePB,|PA(PBPO)=PBI(POH PA),即 PA PB 140-PalQ4,b设A=2a0.则西=-B0:设A,,B）e., [5=2+ 2- 1+入 1- 由PA=2AQ可得 2+ ,由PB=-B0,可得 4、8在椭四号21上. 八=1+元 =1-元 答案第5页，共8页 2+x 1+元 2+y=1 、1+ x+y+a0x+4+5-0+刀2 (4 化简可得 两式相减得到 -2(x+4y+5=0-力2 x+4y=2,.点9必在定直线x+4y-2=0上. 2【详解】1少因为数列a)中，Q名1V,两边同时取每藏，可得， 太-这片两动时按1，可得 1一1 1-1=2-,即—= CLn+i 2 a 1 12 a 因为4有所以日1=2，前以数列公是以2为泸原以好为公比的等比数列： 所以d1=2,所以2-n2n, 8=2x-4x分-6x+2-0+2n孕0 m=2+4⑤6传+2-1小”+o@ 丙式相减可8=+2日2付+2份”-加 宫 所以S=8-8+4 22 一12所以a+2,所以6u42” (2)因为a 01+2=1+2 2”+2,所以 21 111 1 6-12+22+因此买，2+十2+2+十 2+1’所以 +…+ 答案第6页，共8页 1 111 当刀=2时，4，-1<多：随若u的增大，（月逐新变小，A逐渐增大。 因为白>0，所以分<即A所以X<A<子所以工< 3 23.【详解】(1)由题意可得e=￡=2，所以c=2a,又由b'=c2-a2=3a2可得b=V5a, 因为P℉PE=0,|PFPF=6.所以PF⊥PE,由双曲线的定义P-PF=2a,可得 PF+Pr-2PRP=4a2,而PF+PEP=4k2,所以4c2-12=4a2,解得b2=3,d=1, c2=4,所以双曲线的方程为x-上=1. 3 (2)由(1)可得F(2,0),因为直线1的斜率不为0，设1：x=少+2，A(K1,y1),B(2,y2), 「x=ty+2 联立3-广二3整理可得(3-1+12+9=0，则由题意得 3 -12t 9 y+%3二7w31,△=14-36(3-=3qf+>0,因 为QA:⑨8=(x-)(5-为)=(+2-(3+2-吵+⅓头 =-y+e-m+grem-+’+-mr 3t2-1 -2m1r+9+2-,要使0A0B为定值，则12mn15-9 ,解得m=-1,QAQB=0, 3t2-1 3--1 所以在x轴上存在定点O(1,O)使得QAQB为定值，且定值为0，因为双曲线渐近线方程为 y=士Vx,此时3ep-3G+广4.- 3 144t2 36 924 2V32-1°31 3t2-1 又或”0,1长0，则8a,令Fi则Isa 4 1-3t2 a7身又片t-上华w就 u 所以当M=l,即t=0,1方程为x=2时，△QAB面积取到最小值，且(S.=9 答案第7页，共8页 x V+ 4 24.【详解】(1)设点M(x,y),则以M为直径的圆的圆心为 22 半径 rw叫- 所以= 整理得y=x2，,故曲线T的方程为y=x2. (2)(i)设直线1：y=x+b(b≠0)，A(,x),B(x2,x), 则sx2 =在+b消去y得--b=0,所以+名=k,=-b,以4B为 直径的圆过原点，所以OA1OB,则OAOB=5+=0→-1-)=0， 因b≠0，解得b=1,所以直线1方程为y=x+1,恒过定点(0,1). (ii)对于给定的k,直线：y=x+1与T交于A,B,则 A=V伍-5广+0⅓=1+RV5+x)广-4西，将x+书：=k,,=-b=-1,代入得 AB到=1+)k2+4),又点C(t,)在r上且位于1下方，即<t+1,点C到直线1：-y+1=0 的距离为d= -到，由<+1知和-10，放d- Vk2+1 √k2+1 令f()=-t2+t+1,则对于给定的k,f(t)为开口向下的一元二次函数， + 所以当时，f@取符设大值了[月安+1，此时d最大，a洁 Vk2+1 k2 +1 所以a18c面期的员大鱼s)h人号+0爱乐行表F年· 令m44,4+小，易知y和单润递指， 所以当m=4,即=0时S)取得最小值3.4=上8=1. 1 88 答案第8页，共8页