精品解析：山东省济南第七中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 与向量同向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别是，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别是，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 26 B. 13 C. 2 D. 29 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 8. 已知的外心为，则（ ） A. 64 B. 32 C. -32 D. -64 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量也叫作共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 10. 在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 14. 已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若是边的中点，求的长． 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 17. 记的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 18. 在四边形中，，E为的中点，G为线段上一点，的延长线交于点F． （1）若，求的值． （2）若，证明：D，E，F三点共线． （3）若，且，，求周长的最小值． 19. 托勒密定理是指圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是四边形的两条对角线． （1）若是四边形的外接圆的直径，且，求的长度； （2）若，求面积的最大值； （3）已知，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 与向量同向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由单位向量的计算公式即可求解. 【详解】与向量同向的单位向量是． 2. 在中，角的对边分别是，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以． 因为，所以， 因为，所以或． 因为，所以，所以． 3. 如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 4. 在中，角的对边分别是，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【详解】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 5. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 26 B. 13 C. 2 D. 29 【答案】C 【解析】 【详解】，故对该物体所做的功为. 6. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 7. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由，得是等腰直角三角形，斜边米， 在中，，由正弦定理得， 则米，，因此是等边三角形，米. 8. 已知的外心为，则（ ） A. 64 B. 32 C. -32 D. -64 【答案】C 【解析】 【分析】用表示，利用外心的性质以及平面向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得，则． 因为是的外心， 所以， 则． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 平行向量也叫作共线向量 B. 单位向量都相等 C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，单位向量的方向不确定，B错误. 平行向量也叫作共线向量，长度相等且方向相同的向量叫相等向量， 两个单位向量之和仍可能是单位向量，如图，菱形的边长为1，， 则，都是单位向量，且， 因此ACD正确. 10. 在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】设，由条件证明，，由此判断B，由条件若可得，结合数量积定义及数量积运算律求，判断A，由条件若可得，求，，结合向量共线定理判断C，结合向量模的性质数量积运算律求判断D. 【详解】设，，为边长为的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形， ，，故，B正确； 若，则，故为以为斜边的直角三角形， 又，，所以， 故，即， 所以，，， 又， 所以，A错误； 若，则，所以，即， 所以，，所以，C错误； ， ，D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得判断A，再由已知，三角形面积公式及正弦定理求面积判断B，根据，应用三角恒等变换和正弦函数的性质求范围判断C，由等面积法得，结合、基本不等式求最大值判断D. 【详解】由，则，故， 由正弦边角关系得，即， 而，则， 所以，则， 所以，而，可得， 由，可得，A对， 由，B对， 由题设 ，而，且且， 所以，显然，故无最大值，C错， 由题意 所以，可得， 由，可得，则， 即，当且仅当时取等号， 所以，D对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标公式即可求解. 【详解】由题意可得，向量，， 则，解得． 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和三角形面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得结果. 【详解】，，， ，解得：， ，. 14. 已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量线性变换将，用、表示，再结合数量积运算和夹角公式得到关于的不等式，最后求解不等式得出的取值范围. 【详解】记，， 则，， 因为， 所以， 所以， 设向量，的夹角为， 因为， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若是边的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理可得，所以． 【小问2详解】 因为是边的中点，所以， 所以， 则． 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积公式求出，再通过计算模长的平方，开方求解； （2）先计算与，再代入向量夹角余弦公式​求解. 【小问1详解】 因. 则， 故. 【小问2详解】 因， ， 由 因,则. 故与的夹角为. 17. 记的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理角化边可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由余弦定理求得的值，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为. 所以，整理得. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 由余弦定理得， 化简得，解得或（负值舍去），所以. 所以. 18. 在四边形中，，E为的中点，G为线段上一点，的延长线交于点F． （1）若，求的值． （2）若，证明：D，E，F三点共线． （3）若，且，，求周长的最小值． 【答案】（1）1 （2）令，，则， 由共线，则与共线， 所以，则， 由， ， 所以，且为两个向量的公共点，故D，E，F三点共线. （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的推论得到，，结合已知得到与关系，即可得； （2）令，，应用向量加减、数乘的几何意义及向量共线得，进而得到，即可证； （3）根据已知及向量数量积的运算律得，建立平面直角坐标系，并标注相关点的坐标，最后应用两点距离公式和将军饮马模型求三角形的最小周长. 【小问1详解】 由题意及向量共线的推论知 ，且， 又，则，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则， 所以，可得， 所以，则以为原点，分别为轴，建平面直角坐标系， 由，，则， 由，即，故， 若与关于轴对称，则，且，而， 由周长为， 要使三角形周长最小，只需最小，即共线时取得， 所以周长的最小值. 19. 托勒密定理是指圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是四边形的两条对角线． （1）若是四边形的外接圆的直径，且，求的长度； （2）若，求面积的最大值； （3）已知，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形求出，根据托勒密定理直接求解； （2）由托勒密定理及余弦定理求出，再利用三角形面积公式及基本不等式求解； （3）由余弦定理及托勒密定理可得，再由三角形面积公式求出四边形面积即可得解. 【小问1详解】 因为是四边形的外接圆的直径，所以． 因为，所以． 同理可得． 由托勒密定理可得，即 解得． 【小问2详解】 设． 由托勒密定理可得， 即，即． 在中，由余弦定理可得， 故． 因为四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以， 则的面积， 即当且仅当时，的面积取得最大值． 【小问3详解】 设四边形的顶点都在圆上，，且． 因为四边形的顶点都在圆上，所以，则． 由余弦定理可得， 即． 由托勒密定理可得． 四边形的面积， 则． 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $