查漏补缺03 三大函数图象性质与易错点4大考点14题型专练（专项训练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦一次、反比例、二次函数图象性质，通过漏洞扫描-通法锤炼-能力强化三阶体系，提炼14类题型通解，融合中考真题构建从概念到综合应用的逻辑链，培养数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数|4题型19题|k定增减方向、b定y轴交点、实际应用先定范围|从图象形状/系数性质到交点/增减性应用，再到实际问题建模| |反比例函数|4题型20题|k定象限、分象限比增减、垂线围图形用面积公式|从双曲线特征到k几何意义，结合实际反比关系应用| |二次函数|4题型20题|a定开口、对称轴分区间、顶点/端点判最值|从抛物线性质到图象识图、区间最值，再到利润/面积应用题| |综合压轴|2题型17题|平移口诀（左加右减x，上加下减整体）、交点即方程解|融合三大函数平移规律，通过函数与方程/不等式综合提升思维迁移能力|

查漏补缺03 三大函数图象性质与易错点 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 一次函数 1. 图象形状：一条直线，是最基础的线性函数； 2. 关键前提：系数k不能等于0，一旦k=0就变成常数函数，不再是一次函数； 3. 增减变化：k＞0，图象从左往右上升，y随x的增大而增大；k＜0，图象从左往右下降，y随x的增大而减小，增减只看k，和b没有关系； 4. 交点特征：与y轴交点固定是(0，b)；与x轴交点令y=0，解方程求出x即可； 5. 图象象限：由k的正负、b的正负两个条件一起决定，做题要同时看两个系数； 6. 实际应用：必须先写清楚自变量取值范围，符合生活实际，不能出现负数人数、负数长度。 题型一：一次 函数图象判断 先看 k 定增减方向，再看 b 定与 y 轴交点，结合象限分布直接判断图象。辨易错忽略k≠0；不看自变量范围，把线段/射线当成无限直线。 忽略 k≠0；不看自变量范围，把线段 / 射线当成无限直线。 1．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 3．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型二：一次函数增减性应用 x=0快速写出y轴交点；y=0列方程算出x轴交点，坐标格式写规范。 符号抄写错误；b=0时函数过原点，只有一个交点，容易多算一个交点。 1．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系. 【详解】解：∵直线的一次项系数. ∴随的增大而减小. ∵，可得. ∴， 即. 5．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的符号判断函数增减性，再结合x的取值范围比较y的大小即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而增大． 当时，代入得 ， 又∵ ， 根据增减性可得 ． 题型三：一次函数与坐标轴交点问题 与 y 轴交点 (0,b)，与 x 轴交点令 y=0 解方程。辨易错 算错交点坐标；忘记一次函数与坐标轴必有两个交点（b≠0）。 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 2．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】先根据对称点性质求出点A坐标，再代入直线解析式求出参数b，得到点B坐标，最后根据直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点是点关于轴的对称点，关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴将代入解析式得 ， 解得 ，即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴点坐标为， ∵为坐标原点，为直角三角形，，， ∴． 4．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 【答案】（﹣1，0）． 【分析】根据直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），可以求得k的值，然后令y＝0求出x的值即可． 【详解】解：∵直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3）， ∴2k+1＝3， 解得k＝1， ∴y＝x+1， 当y＝0时，x＝﹣1， 即该直线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长， （2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）． （3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）令x＝0得：y＝4， ∴B（0，4）． ∴OB＝4 令y＝0得：0x+4，解得：x＝3， ∴A（3，0）． ∴OA＝3． 在Rt△OAB中，AB5． （2）∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝3+5＝8， ∴C（8，0）． 设OD＝x，则CD＝DB＝x+4． 在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6， ∴D（0，﹣6）． （3）存在，理由如下： ∵S△PABS△OCD， ∴S△PAB6×8＝12． ∵点P在y轴上，S△PAB＝12， ∴BP•OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 题型四：一次函数实际应用 先确定自变量取值范围，再求解析式与最值。 不写范围；结果不符合实际意义不检验。 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)油箱中的油够用，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 3．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 5．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 考点02 反比例函数 1. 图象形状：双曲线，分成左右两支，永远不会和坐标轴相交； 2. 取值要求：自变量x不能等于0，函数值y也不能等于0，图象无限靠近坐标轴，永不相交； 3. 象限分布：k＞0，图象分布在第一、第三象限；k＜0，图象分布在第二、第四象限； 4. 增减规律：必须分象限看，不能跨象限比较；k＞0，每一个象限内y随x增大而减小；k＜0，每一个象限内y随x增大而增大； 5. k几何意义：图象上任取一点，向两条坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|的一半； 6. 变化特点：图象越靠近坐标轴，|k|的数值越小；越远离坐标轴，|k|的数值越大。 题型五：反比例函数图象象限判断 第一步直接看k的正负，锁定对应象限；第二步结合图象走势，核对双曲线分支位置。 跨两个象限判断增减；误以为双曲线能和x轴、y轴有交点。 1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 2．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于关于原点对称；当时，y随x的增大而减小，得用排除法求解． 【详解】解：∵点，， ∴B与C关于原点对称， 即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 4．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴， ∴a>0，，c<0， ∴b>0，-c>0， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键． 5.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 题型六：反比例函数增减性比大小 先判断几个点是否在同一个象限，同象限直接用增减性比大小，不同象限直接看正负分高低。 不分象限直接乱用增减性；忽略x不能为0这个基础条件。 1．（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 2．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 3．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 5．反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型七：反比例函数k的几何意义求面积 看见垂线围图形，直接套用面积公式，算出数值后再结合象限判断k的正负。 忘记给k加绝对值；把三角形面积直接当成k的值，少除以2。 1．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·吉林四平·二模）如图，正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴，反比例函数的图象经过正方形的两条对角线的交点，若正方形的面积为16，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：正方形的面积为16， ， 正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴， ， ， 反比例函数图象分布在二、四象限， ， ． 4．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得，然后再面积差求出，由此即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴ ∴， ∴． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点，点在轴正半轴上，连接．若点是的中点，的面积为8，则的值为________． 【答案】8 【分析】先求得，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴，点是的中点， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第三象限， ∴． 题型八：反比例函数实际反比应用 找准两个量乘积始终不变，判定反比例关系，列式后标注自变量必须为正数。 没有限制变量为正数；看不懂实际背景，搞错k代表的实际意义。 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 2．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 5．（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【分析】设阻力和阻力臂的函数解析式为，得出，再根据阻力阻力臂动力动力臂求解即可． 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 考点03 二次函数 1. 图象形状：光滑抛物线，有且只有一条对称轴，有最高点或者最低点； 2. 开口方向：a＞0开口向上，图象有最低点；a＜0开口向下，图象有最高点；前提a绝对不能等于0； 3. 对称轴与顶点：对称轴公式x=- ；顶点是整段图象的最值点，是解题核心关键； 4. 交点信息：y轴交点直接看常数项c；x轴交点个数由判别式Δ决定，Δ＞0两个交点，Δ=0一个交点，Δ＜0没有交点； 5. 增减规律：以对称轴为分界线，左边增减、右边增减完全相反； 6. 最值口诀：全体实数范围看顶点；有自变量取值范围时，顶点不在范围内，直接看两端端点取最值。 题型九：二次函数图象综合识图 a看开口、ab看对称轴左右、c看y轴交点、Δ看与x轴交点数量，四步快速识图。 对称轴公式符号记反；看错a、b符号；忽略题目给出的自变量取值范围。 1．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，根据当时得到，借此判断抛物线的开口及最高点坐标即可得出结论. 【详解】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故选：A ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 4．（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，根据所给二次函数解析式可知，二次函数的图象过定点，据此可解决问题． 【详解】解：因为二次函数解析式为， 所以当时，， 则此二次函数的图象过定点， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 5．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 题型十：二次函数增减性与区间最值 先画对称轴定左右，再看开口定升降，最后对照自变量范围，锁定有效区间求最值。 不管取值范围，直接硬套顶点最值；漏掉区间端点的最值对比。 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2026·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与坐标轴的交点，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，根据平移的方向和距离确定的最小值． 【详解】解：当时， 可得：， 抛物线经过点， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线经过点和， 抛物线向上平移个单位长度或向右平移个单位长度或向左平移个单位长度可以经过原点， 的最小值为. 故选：B． 4．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 5．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 题型十一：二次函数与坐标轴交点计算 x=0秒出y轴交点；y=0列一元二次方程，算Δ判断有没有x轴交点。 Δ计算出错；算错坐标正负；没有实数根还强行写交点坐标。 1．（2026·河南周口·一模）若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题结合一次函数的定义和函数图象过原点的条件求解参数，需要注意一次函数的一次项系数不能为0． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点 ∴将代入解析式得 解得 又∵一次函数的一次项系数不为0 ∴，即 ∴． 2．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【详解】解： 和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 4．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 5．（2026·陕西咸阳·一模）已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】 是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 题型十二：二次函数利润/面积最值应用题 设未知数→列二次函数式子→写明自变量取值范围→对比顶点和端点，取合理最值。 不考虑实际限制，顶点超范围还乱用；最后答案不贴合生活实际。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 2．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 4．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)菜园面积的最大值为，此时的长为 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围； （2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值； （3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，，且， 解得， ， 故答案为：，； （2）解： ， 对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 当时，取最大值，最大值为：， 此时， 即菜园面积的最大值为，此时的长为； （3）解：设，则， 矩形的面积为，矩形的面积为， ， ， 由题意得：， 即， 化简得， 解得， 乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ， 解得， 的取值范围为． 考点04三大函数综合压轴 1. 图象形状：光滑抛物线，有且只有一条对称轴，有最高点或者最低点； 2. 开口方向：a＞0开口向上，图象有最低点；a＜0开口向下，图象有最高点；前提a绝对不能等于0； 3. 对称轴与顶点：对称轴公式x=- ;顶点是整段图象的最值点,是解题核心关键; 4. 交点信息：y轴交点直接看常数项c；x轴交点个数由判别式Δ决定，Δ＞0两个交点，Δ=0一个交点，Δ＜0没有交点； 5. 增减规律：以对称轴为分界线，左边增减、右边增减完全相反； 6. 最值口诀：全体实数范围看顶点；有自变量取值范围时，顶点不在范围内，直接看两端端点取最值。 1. 图象平移统一规则：上加下减针对常数项，左加右减针对x本身，所有函数通用； 2. 交点本质：两个函数图象的交点坐标，就是联立两个函数方程的公共解； 3. 函数不等式：谁的图象在上方，谁的函数值就更大，直接看图写解集； 4. 通用扣分点：所有应用题、图象题，一律要检查自变量取值范围，范围写错直接扣分。 题型十三： 三大函数图象平移综合辨析 牢牢记住平移口诀，只对x进行左右加减，只对整体进行上下加减，平移后重新核对关键点位置。 平移符号全部记反；只平移图象，不改写对应函数解析式。 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2026·甘肃陇南·一模）在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的平移规律，得出平移后的函数解析式，再求出当时的自变量取值，即可解答． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，平移后的解析式为， 令，则， 解得：， 平移后的直线与x轴的交点坐标为． 3．（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 题型十四：函数与方程、不等式综合 交点对应方程解，图象高低对应不等式大小，数形结合一步到位写答案。 解集方向写反；漏写等号；忘记结合自变量实际取值范围截断解集。 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 5．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求解； （2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数 的图象与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； （2）解：点在反比例函数， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵点是一次函数与反比例函数的交点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，； （3）解：当时，，， ∵当时，对于的每一个值，都有， ∴的图象在的图象上方， ∴， 解得：． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 2．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 4．（2026·安徽·模拟预测）已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图象过已知点，求出k的值，再根据x轴上点的纵坐标为0，代入一次函数求出横坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将点坐标代入得： 解得：， 一次函数解析式为 , 轴上的点纵坐标为0， 令，得 ， 解得：， 一次函数图象与x轴的交点坐标为． 5．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解： 满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．理解题意是关键．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：， 由条件可得． 解得． ∴直线解析式为． 令， ∴． 故选：B． 7．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当时，有，得，再根据当时，最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可． 【详解】解： ， 该抛物线的对称轴为：直线， ∵当时，有， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵在范围内，且， ∴当时有最大值，时有最小值， ∴， 整理得，， 解得（舍） 故选： A． 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 9．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 若，即， ∴或， 故A错误； 若，则， ∴； 故B错误； 若，则，故C正确； 若时，例如时，即，故D错误； 故选：Ｃ． 10．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】结合已知两点横纵坐标的大小关系，得到关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 12．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 15．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． (1)求的值． (2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 【答案】(1)12 (2)；16 【分析】（1）设点，点，根据题意，得，，求解即可； （2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可； 【详解】（1）解：设点，点， 的面积为24，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， ． （2）解：根据题意，得反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G， ∴， ， 根据反比例函数的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 17．（2026·浙江·一模）已知抛物线． (1)若，求图象与轴的交点坐标； (2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值； (3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入，再令，解方程求出交点坐标即可； （2）根据题意可得，点和点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线的对称轴公式可得，，代入解析式求出的值； （3）将分别代入二次函数与一次函数的解析式求出点和点的坐标，从而得到．分三类讨论，当时，，此时线段随的增大而减小，不符合题意；当时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，因此；当时，符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴图象与轴的交点的坐标为和； （2）解：在二次函数中，对称轴为直线， ∵和在抛物线上， 又∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴，即， 将点代入，得， ， ∴； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向上， 又∵， ∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意； ②当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小， 又∵， ∴； ③当时，， ∴，图象开口向上， ∴当时，线段随的增大而增大，符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺03 三大函数图象性质与易错点 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 一次函数 1. 图象形状：一条直线，是最基础的线性函数； 2. 关键前提：系数k不能等于0，一旦k=0就变成常数函数，不再是一次函数； 3. 增减变化：k＞0，图象从左往右上升，y随x的增大而增大；k＜0，图象从左往右下降，y随x的增大而减小，增减只看k，和b没有关系； 4. 交点特征：与y轴交点固定是(0，b)；与x轴交点令y=0，解方程求出x即可； 5. 图象象限：由k的正负、b的正负两个条件一起决定，做题要同时看两个系数； 6. 实际应用：必须先写清楚自变量取值范围，符合生活实际，不能出现负数人数、负数长度。 题型一：一次 函数图象判断 先看 k 定增减方向，再看 b 定与 y 轴交点，结合象限分布直接判断图象。辨易错忽略k≠0；不看自变量范围，把线段/射线当成无限直线。 忽略 k≠0；不看自变量范围，把线段 / 射线当成无限直线。 1．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型二：一次函数增减性应用 x=0快速写出y轴交点；y=0列方程算出x轴交点，坐标格式写规范。 符号抄写错误；b=0时函数过原点，只有一个交点，容易多算一个交点。 1．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 题型三：一次函数与坐标轴交点问题 与 y 轴交点 (0,b)，与 x 轴交点令 y=0 解方程。辨易错 算错交点坐标；忘记一次函数与坐标轴必有两个交点（b≠0）。 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（2024•红桥区三模）若直线y＝kx+1（k为常数，k≠0）经过点（2，3），则该直线与x轴的交点坐标为 　 　． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：一次函数实际应用 先确定自变量取值范围，再求解析式与最值。 不写范围；结果不符合实际意义不检验。 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 3．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 5．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 考点02 反比例函数 1. 图象形状：双曲线，分成左右两支，永远不会和坐标轴相交； 2. 取值要求：自变量x不能等于0，函数值y也不能等于0，图象无限靠近坐标轴，永不相交； 3. 象限分布：k＞0，图象分布在第一、第三象限；k＜0，图象分布在第二、第四象限； 4. 增减规律：必须分象限看，不能跨象限比较；k＞0，每一个象限内y随x增大而减小；k＜0，每一个象限内y随x增大而增大； 5. k几何意义：图象上任取一点，向两条坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|的一半； 6. 变化特点：图象越靠近坐标轴，|k|的数值越小；越远离坐标轴，|k|的数值越大。 题型五：反比例函数图象象限判断 第一步直接看k的正负，锁定对应象限；第二步结合图象走势，核对双曲线分支位置。 跨两个象限判断增减；误以为双曲线能和x轴、y轴有交点。 1．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．   B．   C．   D．   2．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（    ） A．B．C． D． 5.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型六：反比例函数增减性比大小 先判断几个点是否在同一个象限，同象限直接用增减性比大小，不同象限直接看正负分高低。 不分象限直接乱用增减性；忽略x不能为0这个基础条件。 1．（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5．反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 题型七：反比例函数k的几何意义求面积 看见垂线围图形，直接套用面积公式，算出数值后再结合象限判断k的正负。 忘记给k加绝对值；把三角形面积直接当成k的值，少除以2。 1．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林四平·二模）如图，正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴，反比例函数的图象经过正方形的两条对角线的交点，若正方形的面积为16，则_______． 4．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点，点在轴正半轴上，连接．若点是的中点，的面积为8，则的值为________． 题型八：反比例函数实际反比应用 找准两个量乘积始终不变，判定反比例关系，列式后标注自变量必须为正数。 没有限制变量为正数；看不懂实际背景，搞错k代表的实际意义。 1．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 2．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 5．（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 考点03 二次函数 1. 图象形状：光滑抛物线，有且只有一条对称轴，有最高点或者最低点； 2. 开口方向：a＞0开口向上，图象有最低点；a＜0开口向下，图象有最高点；前提a绝对不能等于0； 3. 对称轴与顶点：对称轴公式x=- ；顶点是整段图象的最值点，是解题核心关键； 4. 交点信息：y轴交点直接看常数项c；x轴交点个数由判别式Δ决定，Δ＞0两个交点，Δ=0一个交点，Δ＜0没有交点； 5. 增减规律：以对称轴为分界线，左边增减、右边增减完全相反； 6. 最值口诀：全体实数范围看顶点；有自变量取值范围时，顶点不在范围内，直接看两端端点取最值。 题型九：二次函数图象综合识图 a看开口、ab看对称轴左右、c看y轴交点、Δ看与x轴交点数量，四步快速识图。 对称轴公式符号记反；看错a、b符号；忽略题目给出的自变量取值范围。 1．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A．B． C． D． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 4．（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 5．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十：二次函数增减性与区间最值 先画对称轴定左右，再看开口定升降，最后对照自变量范围，锁定有效区间求最值。 不管取值范围，直接硬套顶点最值；漏掉区间端点的最值对比。 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 5．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 题型十一：二次函数与坐标轴交点计算 x=0秒出y轴交点；y=0列一元二次方程，算Δ判断有没有x轴交点。 Δ计算出错；算错坐标正负；没有实数根还强行写交点坐标。 1．（2026·河南周口·一模）若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 2．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·一模）已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十二：二次函数利润/面积最值应用题 设未知数→列二次函数式子→写明自变量取值范围→对比顶点和端点，取合理最值。 不考虑实际限制，顶点超范围还乱用；最后答案不贴合生活实际。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 2．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 4．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． (1)关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； (2)求菜园面积的最大值，并求此时的长； (3)在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 考点04三大函数综合压轴 1. 图象形状：光滑抛物线，有且只有一条对称轴，有最高点或者最低点； 2. 开口方向：a＞0开口向上，图象有最低点；a＜0开口向下，图象有最高点；前提a绝对不能等于0； 3. 对称轴与顶点：对称轴公式x=- ;顶点是整段图象的最值点,是解题核心关键; 4. 交点信息：y轴交点直接看常数项c；x轴交点个数由判别式Δ决定，Δ＞0两个交点，Δ=0一个交点，Δ＜0没有交点； 5. 增减规律：以对称轴为分界线，左边增减、右边增减完全相反； 6. 最值口诀：全体实数范围看顶点；有自变量取值范围时，顶点不在范围内，直接看两端端点取最值。 1. 图象平移统一规则：上加下减针对常数项，左加右减针对x本身，所有函数通用； 2. 交点本质：两个函数图象的交点坐标，就是联立两个函数方程的公共解； 3. 函数不等式：谁的图象在上方，谁的函数值就更大，直接看图写解集； 4. 通用扣分点：所有应用题、图象题，一律要检查自变量取值范围，范围写错直接扣分。 题型十三： 三大函数图象平移综合辨析 牢牢记住平移口诀，只对x进行左右加减，只对整体进行上下加减，平移后重新核对关键点位置。 平移符号全部记反；只平移图象，不改写对应函数解析式。 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃陇南·一模）在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 题型十四：函数与方程、不等式综合 交点对应方程解，图象高低对应不等式大小，数形结合一步到位写答案。 解集方向写反；漏写等号；忘记结合自变量实际取值范围截断解集。 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 5．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 4．（2026·安徽·模拟预测）已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 7．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 9．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______．    12．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 14．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 15．（2026·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． (1)求的值． (2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 16．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 17．（2026·浙江·一模）已知抛物线． (1)若，求图象与轴的交点坐标； (2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值； (3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $