精品解析：江西省乐平中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（1、3-27 班）

江西省乐平中学 2025-2026 学年高一下学期期中考试 数学试卷（1、3-27 班） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：程立花 审题人：胡柳彬 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值． 【详解】因为，，所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题． 2. 已知向量，满足，，，若与的夹角为，则（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，， 所以， ，又与的夹角为， 所以， 所以，故，， 解得. 3. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 4. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系求出，的值，再切化弦即可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 因为，等式两边平方得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此. 6. 设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 7. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案. 【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为： ，对，不等式恒成立， 而，，令， 函数，函数的最小正周期为，不妨令， 当时，，此时，则； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，， 由，对，不等式恒成立，得， 即，而，解得， 因此当，存在，使得成立时，， 所以的最大值为. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 存在非零实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求得向量，的坐标表示，再由向量数量积，共线，垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以，， 对于A选项，， ，所以，故A正确； 对于B选项，，所以，故B正确； 对于C选项，，，设向量与的夹角为， 则，所以向量与的夹角为，故C正确； 对于D选项，若，则，，， 则，解得，故D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以， 得，则， 故的形状一定是直角三角形，故A正确； 由于四点的相对顺序不确定，故B错误； 因为，且是平行四边形，所以， 所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 因为与中的外角平分线平行，且， 所以是的角平分线， 同理，是的角平分线，是的角平分线， 故是的内心，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】令可得，结合正切函数周期性可得，代入求解即可. 【详解】令，可得， 因为函数的两个相邻零点间的距离为，则，解得， 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：或 13. 在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 14. 在平面凸四边形ABCD中，已知，，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 16. 已知函数. （1）若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； （2）若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过将方程转化为，结合求解范围，进而得到的取值范围； （2）利用余弦函数的对称性确定三个零点的关系，进而求出的值，再代入计算结果即可. 【小问1详解】 将方程变形为，即， 因为，即当时，，则， 因为， 故，所以. 【小问2详解】 因为函数在上有3个零点， 等价于方程在上有3个根， 令，由，可得， 则问题转化为在上有3 个根. 根据余弦函数的对称性可得，，则， 故， 即， 所以. 17. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式； （2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解； （3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解. 【小问1详解】 解：由图可知：，所以， 又，，所以，可得， 由图像过点，可得， 所以，，即，. 因为，所以，当时，，因此. 又图像过点，所以，所以， 因此. 【小问2详解】 解：当时，可得，即， 所以或， 解得或， 所以方程的解集为：或. 【小问3详解】 解：将方程化为 ，解得或. 作出函数在的图像，如下图所示， 由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点. 又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意. 所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或. 18. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. 【小问3详解】 设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可. 【小问1详解】 解：， 所以函数的“相伴向量”； 【小问2详解】 解：由题知：， ， 因为时，；时， 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省乐平中学 2025-2026 学年高一下学期期中考试 数学试卷（1、3-27 班） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：程立花 审题人：胡柳彬 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，若与的夹角为，则（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 3. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 存在非零实数，使得 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 13. 在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 14. 在平面凸四边形ABCD中，已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数. （1）若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； （2）若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 17. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 18. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $