2.2.1 一元一次不等式及其解法 课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 2.2.1 一元一次不等式及其解法 第二章 不等式与不等式组 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“2.2.1 一元一次不等式及其解法”核心知识点设计，重点考查一元一次不等式的定义、识别方法，以及利用不等式基本性质解一元一次不等式的步骤、规范与易错点，能准确判断一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的完整流程，分层考查基础识别、辨析判断、解题操作与灵活运用能力，助力巩固不等式基本性质，规范解题步骤，规避常见失误。 一、基础梳理（必记内容） 1. 一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 核心特征（缺一不可）：① 只含一个未知数；② 未知数次数为1；③ 不等号两边都是整式；④ 是不等式（不是等式）。 2. 一元一次不等式的一般形式：ax + b > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0），其中a、b为常数，且a ≠ 0（若a = 0，未知数次数为0，不是一元一次不等式）。 3. 一元一次不等式的解法步骤（与一元一次方程解法类似，核心区别：乘除负数变号）： - （1）去分母：在不等式两边同时乘各分母的最小公倍数，注意：① 不含分母的项也要乘；② 若最小公倍数为负数，不等号方向改变； - （2）去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），注意不要漏乘括号内的每一项； - （3）移项：将含未知数的项移到不等号的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号（与方程移项规则一致）； - （4）合并同类项：将同类项合并，化为“ax > b”（或其他不等号）的最简形式； - （5）系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a，注意：① 若a > 0，不等号方向不变；② 若a < 0，不等号方向改变；③ a ≠ 0。 4. 易错提醒：① 去分母、去括号时漏乘；② 移项忘记变号；③ 系数化为1时，未判断系数正负，忘记改变不等号方向；④ 混淆一元一次方程与一元一次不等式的解法（忽略变号）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ） A. 2x + y > 3 B. 3x² - 1 < 0 C. 2x - 1 > 0 D. 1/x + 2 < 5 2. 关于一元一次不等式的定义，下列说法正确的是（ ） A. 含有未知数的不等式就是一元一次不等式 B. 含有一个未知数，且未知数次数为1的式子是一元一次不等式 C. 只含有一个未知数，未知数次数为1，且不等号两边都是整式的不等式，是一元一次不等式 D. 3x + 5 = 7是一元一次不等式 3. 解一元一次不等式2x - 3 ≤ 5时，第一步正确的是（ ） A. 去分母，得2x ≤ 5 + 3 B. 移项，得2x ≤ 5 + 3 C. 合并同类项，得2x ≤ 8 D. 系数化为1，得x ≤ 4 4. 已知不等式3x - 2 > 4x + 1，下列变形正确的是（ ） A. 3x - 4x > 1 + 2 B. 3x - 4x < 1 + 2 C. 3x + 4x > 1 + 2 D. 3x + 4x < 1 - 2 5. 解不等式-2x + 3 > 7时，系数化为1的正确步骤是（ ） A. 两边同时除以-2，得x > -2 B. 两边同时除以-2，得x < -2 C. 两边同时除以2，得x > 2 D. 两边同时除以2，得x < 2 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 一元一次不等式的一般形式是________（其中a、b为常数，且a ≠ 0）。 3. 解一元一次不等式的核心是利用________，将不等式逐步化为________（或x < a、x ≥ a、x ≤ a）的形式。 4. 解不等式2(x - 1) + 3 > 5时，第一步去括号，得________；移项后，得________。 5. 若不等式ax + 2 > 0（a ≠ 0）是一元一次不等式，则a的取值范围是________；若它的解集是x > -2，则a = ________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查一元一次不等式的识别与定义。 （1）请完整叙述一元一次不等式的定义，并写出其三个核心特征； （2）判断下列式子是否为一元一次不等式，若是，在括号内打“√”，若不是，打“×”并说明理由： ① 3x - 5 < 7（ ）；② 2x² + 3 > 0（ ）；③ x + y ≤ 4（ ）；④ 1/x - 1 < 2（ ）；⑤ 5x + 1 ≥ 0（ ）。 解： 2. （12分）辨析题，考查一元一次不等式的识别及解法易错点。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 2x - 3 = 5是一元一次不等式； ② 解不等式1/2x + 1 > 3时，去分母得x + 1 > 6； ③ 解不等式-3x > 6时，系数化为1得x > -2； ④ 移项时，只需将含未知数的项移到不等号一边，常数项不用移项。 （2）简述解一元一次不等式与解一元一次方程的核心区别。 解： 3. （12分）基础计算题，考查一元一次不等式的解法（不含分母、括号）。 解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上（简要说明解题步骤）： ① 2x + 5 > 9；② 3x - 1 ≤ 8；③ 5x + 2 < 2x + 8；④ 4x - 3 ≥ 2x + 5。 解：（数轴可在答题纸上绘制，此处写出解题步骤和解集） 4. （12分）综合计算题，考查一元一次不等式的解法（含括号、分母）。 解下列一元一次不等式，并写出每一步的依据（利用不等式基本性质）： ① 2(x + 3) - 1 ≤ 5；② (x - 1)/2 + 2 > 3；③ (2x - 3)/3 ≤ (x + 1)/2；④ -2(x - 2) + 1 > 3x - 5。 解： 5. （12分）应用题，考查一元一次不等式解法的实际应用。 （1）已知x = 3是不等式2x - a > 5的解，x = 2不是该不等式的解，求a的取值范围； （2）当x取何值时，代数式3x - 2的值大于代数式2x + 1的值？（列不等式并求解）； （3）已知关于x的一元一次不等式mx + 3 > 2（m ≠ 0）的解集是x < 1，求m的值，并解不等式mx - 1 < 3。 解： 6. （10分）拓展题，考查一元一次不等式解法的综合运用。 （1）解不等式：(3x - 1) - (x + 2) > 2x - 5，并判断x = 2、x = 3是否为该不等式的解； （2）已知关于x的不等式2x - k ≤ 0的解集是x ≤ 4，求k的值，并解不等式kx + 3 > 7； （3）已知a > b，解关于x的一元一次不等式：a(x - 1) > b(x - 1)（提示：分a - b > 0讨论）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 二、填空题：1. 一；1 2. ax + b > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0） 3. 不等式基本性质；x > a 4. 2x - 2 + 3 > 5；2x > 5 + 2 - 3 5. a ≠ 0；1 三、解答题：1.（1）定义略；核心特征：只含一个未知数、未知数次数为1、不等号两边都是整式；（2）①√；②×（未知数次数为2）；③×（含两个未知数）；④×（不是整式）；⑤√ 2.（1）①错误，是一元一次方程；②错误，去分母得x + 2 > 6；③错误，系数化为1得x < -2；④错误，移项需将常数项移到另一边，且移项变号；（2）区别：解一元一次不等式时，系数化为1若除以负数，需改变不等号方向；解方程时，系数化为1无需变号 3. ①x > 2（步骤：移项→合并同类项→系数化为1）；②x ≤ 3；③x < 2；④x ≥ 4（数轴表示略） 4. ①x ≤ 0（去括号→移项→合并同类项→系数化为1）；②x > 3（去分母→移项→合并同类项→系数化为1）；③x ≤ 9；④x < 12/5（每一步依据略，结合不等式基本性质） 5.（1）a < 1且a ≥ -1；（2）3x - 2 > 2x + 1，解得x > 3；（3）m = -1，不等式解得x > -4 6.（1）化简得-3 > -5，解集为全体有理数，x=2、x=3都是解；（2）k=8，不等式解得x > 0.5；（3）∵a > b，∴a - b > 0，两边除以a - b，得x - 1 > 0，解得x > 1 进行新课 知识点1 一元一次不等式的概念 观察下列不等式： x+6＞10，x-1≤2x，3x＞27， 它们有什么共同特点？ ①等式两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的次数是1 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的概念： 思考 观察下面的不等式： 6 + 3x＞30， x + 17＜5x， x＞5， 它们有哪些共同特征？ 左右两边都是整式； 都只含有一个未知数； 未知数的次数是 1. 探究新知 一元一次不等式的概念 1 这些不等式的左右两边都是整式，只含一个未知数，并且未知数的次数是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的定义 归纳总结 1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式？ (1) 3x＋2＞x－1 (2) 5x＋3＜ 0 (3) (4) x (x－1)＜2x ✓ ✓ ✕ ✕ 左边不是整式 化简后是 x2 －x＜2x 练一练 温故知新：解方程：3 - x = 2x + 6. 解：移项，得 -x - 2x = 6 - 3. 合并同类项，得 -3x = 3. 系数化为 1，得 x = -1. 解一元一次不等式 2 类比解一元一次方程，你能解一元一次不等式吗？ 例1 解不等式 3 - x＜2x + 6，并把它的解集表示在数轴上. 解：两边都加 -2x，得 3 - x - 2x＜2x + 6 - 2x. 两边都加 -3，得 3 - 3x - 3＜6 - 3. 典例精析 合并同类项，得 3 - 3x＜6. 合并同类项，得 -3x＜3. 两边都除以 -3，得 x＞-1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 解方程的移项变形对于解不等式同样适用. 去括号，得 3x - 6≥14 - 2x. 解：去分母，得 3(x - 2)≥2(7 - x). 例2 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上. 移项、合并同类项，得 5x≥20. 两边都除以5，得 x≥4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为 x＝a 的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为 x＜a 或 x＞a 的形式. 归纳总结 B 返回 1． 中考考法 11 返回 C 2． 中考考法 12 B 返回 3． 中考考法 13 4． 返回 3 已知(k＋3)x|k|－2＋5＜－4是关于x的一元一次不等式，则k＝________. 中考考法 14 5． 返回 0(答案不唯一) 中考考法 15 6． 返回 x>507　 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于2 025”为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________. 中考考法 16 7． 返回 三 中考考法 17 8． 返回 中考考法 18 9． 中考考法 19 【点拨】 【答案】A 返回 中考考法 10． 中考考法 21 不等式①x2＋4＞2x；②－1＞0；③2x－3＞5y；④≥5π；⑤4y＞－1中，是一元一次不等式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [2025福建]不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　　) 不等式－≤1的最大整数解是(　　) A．8　 B．4　 C．3　 D．－1 关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m的值可以是______________(写出一个即可). 若关于x的方程＝的解为负数，则点(m，m＋1)在第________象限. 【解】≤， 去分母，得3(3x－1)≤2(2x＋1)，去括号，得9x－3≤4x＋2， 移项、合并同类项，得5x≤5，两边都除以5，得x≤1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 解不等式：≤，并把解集表示在数轴上. 已知不等式－1≤的解集为x≥－1，那么不等式－1≤的解集是(　　) A．x≥－　 B．x≤－　 C．x≥－　 D．x≤－ ∵不等式－1≤的解集为x≥－1，∴不等式－1≤满足3x＋1≥－1.∴x≥－.∴不等式－1≤的解集是x≥－. 已知关于x的方程＝3＋k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有k值的乘积为________. － $