9 弧长及扇形的面积-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 9 弧长及扇形的面积 >“答案与解析”见P41 自基础进阶 幻素能攀升 1.（2024·西宁)如图，在△ABC中，∠A=70°， 5.*一个扇形的弧长是10πcm,其圆心角是 BC=12,D是BC的中点，分别以点B,C为 150°，此扇形的面积为 圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E,交 A.30πcm B.60πcm AC于点F,则图中涂色部分的面积是( C.120πcm D.180元cm A.10πB.11π C.12π D.13π 6.新考向·跨学科(2025·湖南)如图，北京市某 处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经 116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即 ∠BOC=15°)，东经116°.设地球的半径约为 (第1题) (第2题) R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A 2.(2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大 和点B之间的劣弧长约为 () 的水上摩天轮，其示意图如图所示.该摩天轮 人R千水 B.2R千米 高128m(即最高点离水面平台MN的距 2 离)，圆心O到MN的距离为68m,摩天轮匀 C 36πR千米 D. πR千米 速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出 发，l0min后到达点B,此过程中，该轿厢所 地轴 北极 A(北纬40°，东经116) B 经过的路径（即AB)长为 m(结果保 地心0赤道 B(北纬15°，东经116) D 留) 南极 A C 0 3.新考向·跨学科如图，滑轮的 (第6题) (第7题) 滑轮 半径为10cm,假设绳索与滑 7.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C为 轮之间没有滑动，当重物上 OA的中点，CE⊥OA,交AB于点E,以点O 升5πcm时，半径OA转过的 重物 为圆心，OC的长为半径作CD,交OB于点 (第3题) D.若OA=4,则涂色部分的面积为() 面积是 cm. 4.如图，△ABC内接于⊙O,∠B=120°，AC= A号+5 且音+2g 2√3，求AC的长 c等+8 n+2 8.(2024·广安)如图，在等腰三角形ABC中， 0 AB=AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半 B 圆O,与AC,BC分别相交于点D,E,则DE (第4题) 的长为 0 (第8题) 76 第三章圆 9.如图，在△CAB中，AC=4,将 思维拓展 △CAB绕点C按逆时针方向 12.如图，直线y=一2x+2与坐标轴交于A,B 旋转30得到△CFG,则涂色部4 两点，P是线段AB上的一个动点（不与点 分的面积为 (第9题) A,B重合)，过点P作y轴的平行线，交直线 10.新考法·探究题一个圆心角为270°的扇形工 y=一x十3于点Q,△OPQ绕点O按顺时 件，未搬运时A,B两点触地放置，搬运时， 针方向旋转45°得到△ODC,边PQ扫过区 先将扇形绕点B作如图所示的无滑动旋 域（涂色部分）的面积S的最大值是() 转，再使它紧贴地面滚动，最后将扇形绕点 A作无滑动旋转，当A,B两点再次触地时 停止.若扇形工件的半径为3m,则圆心O 经过的路径长是 m(结果保留π) O B (第12题) 0 B.号 将 D.21 32 (第10题) 13.(2025·辽宁)如图，在△ABC中， 11.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径 AC=BC,以AB为直径作⊙O,与 OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折 AC相交于点D,连接OC,与⊙O 叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交 相交于点E OA于点C,求涂色部分的周长和面积 (1)如图①，连接DE,求∠ADE的度数、 (2)如图②，若D为AC的中点，且AC=6, 求DE的长 0 (第11题) ① ② (第13题) 777.如图所示. (第7题) 8.(1)五边形ABCDE为正五 边形， ∠ABC=180X(5-2) =108° 5 (2)△AMN是等边三角形. 理由：如图，连接ON,FN. 由作图的过程，知FN=FO. ON=OF, .ON=OF=EN ∴.△OFN是等边三角形. ∴.∠OFN=60. ∴.∠AMN=∠OFN=60. 同理，可得∠ANM=60°， ∴.易得△AMN是等边三角形. (3)如图，连接OD :△AMN是等边三角形， ∴.易得∠AON=120. 五边形ABCDE是正五边形， 六∠A0D=2x2=-14 ∴.∠DON=∠AOD-∠AON=24. 360° 24°=15. 0 (第8题) 9.(1)如图①，延长BP至点E,使 PE=PC,连接CE ,△ABC是⊙O的内接等边三角形， ∴.∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC. ,四边形ABPC是⊙O的内接四 边形 .∠BAC+∠BPC=180 .∠BPC+∠EPC=180, '.∠EPC=∠BAC=60 PE=PC, ∴.△PCE是等边三角形 .'.EC=PC,∠E=∠PCE=60° 又.∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP= 60°+∠BCP, ∴.∠BCE=∠ACP. 在△BEC和△APC中， (EC=PC, R∠BCE=∠ACP, BC=AC, .∴.△BEC2△APC. ∴.EB=PA. ·EB=PB+PE=PB+PC .PA=PB+PC. (2)如图②，过，点B作BE⊥PB,交 PA于点E,则∠EBP=90°，即∠2+ ∠3=90° ,四边形ABCD是⊙O的内接正 方形， .∠ABC=90°，AB=CB. .∠1+∠2=90°. .∠1=∠3. 在△AEB和△CPB中， ∠EAB=∠PCB, RAB=CB ∠1=∠3， '.△AEB≌△CPB. ∴.BE=BP,AE=CP ,'.△BEP为等腰直角三角形 ∴.∠BPE=∠BEP=45° PB .在Rt△BEP中，PE= c0s45 √2PB. ∴.PA=AE+PE=PC+√EPB. 4 ① ② (第9题) 9弧长及扇形的面积 1.B2.40元3.25元 41 4.如图，在弦AC所对优弧上取一点 D,连接OA,OC,DA,DC,过点O作 OH⊥AC于点H. AH=2AC=号×25-5. .∠D+∠B=180°， ,.∠D=180°-∠B=180°-120°=60°. .'.∠AO℃=2∠D=120°. 1 ·易得∠AOH=2∠A0C=60: ·sin∠AOH=A=5 A02 .A0=2. AC的长=120mX2 4 180 3 D H C (第4题) 5.B解析：设此扇形的半径为 rcm,则10x= 180,解得r=12 150πr :此扇形的面积为7×10x×12 60π(cm2). 方法归纳 灵活运用弧长及扇形 面积公式求相关量 孤长的计算公式为1=”恐 180 扇形的面积公式为S扇形 -nπR2 360 之R.对于公式S角形=2R,可以 类比三角形的面积公式进行记忆 利用孤长、扇形面积的计算公式， 已知l,,R,S形四个量中的任意 两个，可求另外两个 6.C 7.B解析：连接OE.C为OA的 中点，·0C=AC=20A=2. ÷0C=20E.:CEL0A易 得∠CE0=30°.∴.∠EOC=60. .∠EOB=30°..CE=OE· sin60°=2√5..S涂色=S扇形oB十 S△(OF一S扇形C0D 30x×4 360 2×2X 23-90πX2-4+23-元=3 360 3 25. 8.l0x 9 解析：如图，连接OD,OE. .AB=AC,,.∠ABC=∠C=70° OE=OB,.∠OEB=∠ABC 70°..∠OEB=∠C=70°.∴OE∥ AC.在△ABC中，∠A=180° ∠ABC-∠C=180°-70°-70°= 40,0A=0D=7AB=∠A= ∠AO=40°.OE∥AC,.∠DOE ∠AD0=40..DE的长为40xX5 180 10π 9 (第8题) 9.3π解析：由题意，得∠ACF= 4 30°，S△CAB=S△CG..S涂色 S△CPG十S南形AF一S△CAB=S扇无ACF= 30π×42_4 3603元 10.6π解析：易得圆心O经过的路 径长是点O在两次旋转中经过的路 径长加上点O中间移动的距离， ,∠AOB=360°-270°=90°，OA= 0B,∠AB0=7×180°-90) 45°...∠OB01=90°-45°=45°. .点O在两次旋转中经过的路径 长为2×3-受(m,点0中 180 间移动的距离为270X3_9(m). 180 2 “圆心0经过的路径长为受+受 6π(m). 11.连接OD, 根据折叠的性质，知CD=CO,BD= BO,∠DBC=∠OBC. .OB=OD=BD. ∴.△OBD是等边三角形. .∴.∠DBO=60. :.∠CB0=2 1 ∠DB0=30°. 在Rt△BOC中， .∠COB=90°， ∴.O0C=2BC. 由勾股定理，得OC+OB=BC, ∴.0C2+62=40C .0C=25. ·易得S△x=S△=2OB· 0C=7×6X2g=65. 设扇形AOB的面积为S,AB的长 为l. ..S=90xX62 360 =9m,1=90πX6」 180 3π. .涂色部分的周长=AC十CD+ BD+1=AC+CO+BO+1=OA+ OB+l=6+6+3π=12+3π，涂色部 分的面积=S-S△mx一S△x=9r 6√5-63=9π-12√3. 12.A解析：由题意，易得A(0,2), B(1,0).点P在线段AB上（不与 点A,B重合)，∴.可设P(m,-2m十 2)(0<m<1),则Q(m,-m+3). ∴.OP2=m2+(-2m+2)2=5m2 8m+4,OQ2=m2+(-m+3)2 2m2一6m+9..△OPQ绕点O按顺 时针方向旋转45°得到△ODC, ∴.△OPQ≌△ODC,∠QOC= ∠POD=45.∴.易得边PQ扫过区 域（涂色部分）的面积S=S扇形a 00-.op S前无P0D=360 吾(-3m2+2m+5)= ( 合)广+经当m宁时S取得税大 值，最大值为3 π 13.(1)如图①，连接OD. 42 在△OAC和△OBC中， (AC=BC, OA=OB, OC-OC, ∴.△OAC≌△OBC. .∠AOC=∠BOC. :∠AOC+∠BOC=180°， .∠AOC=∠BOC=90°. .OA=OD=OE, ∴.∠OAD=∠ODA,∠ODE= ∠OED. 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE= ∠OED=y. 在四边形OADE中，∠OAD+ ∠ADE+∠OED+∠AOC=360°，即 x+x+y+y+90°=360°. ∴.∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+ y=135°. (2)如图②，连接OD. :∠AOC=90°，D为AC的中点， 0D=AD=2AC=2×6=3 ∴.OD=OA=AD=3. ,'.△ADO为等边三角形 ∴.∠AOD=60. ∴.∠D0E=90°-60°=30°. ·DE的长为30元X3=1 180 元 ① ② (第13题) 专题特训十与扇形有关的 不规则图形面积的计算 1.C 2.B解析：，∠ABC=90,∠BAC= BC 30°，BC=2,.AB= tan∠BAC=