8 圆内接正多边形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

于点M1,M2,连接OMP(3,4), ∴.由勾股定理，易得OP= √32+4=5.A(2.5,0),B(5,0), C是MB的中点，.OA=AB,CM CB.AC=2OM.·当OM的长 最大时，AC的长取最大值.当点M 运动到点M2时，OM的长取最大值， 此时AC长的最大值=2OM,= 2(0p+PM,)=专×6+2)=子 7 M 1M M OA B (第4题) 5.D解析：.直线y=一x一2与 x轴y轴分别交于A,B两点，.当 x=0时，y=-2:当y=0时，x= 一2.∴.点A的坐标为（一2,0），点B 的坐标为(0，-2)..OA=OB=2. ∴.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得 AB=√OA+OB2=2W2.,△PAB 的底边AB=2√2，∴.当△PAB的底 边AB上的高最大时，△PAB的面积 最大.连接OD,OP.CD=√2，⊙O 的半径为1，P为CD的中点，.DP= CD-号.0P1CD在R△0P 中，根据勾股定理，得OP VOD-Dp-竖当P0的延 长线恰好垂直于AB时，垂足为E,此 时PE即为△PAB的底边AB上的 最大的高.OE⊥AB,OA=OB, OE-7AB-PE=OE+ OP-3此时Saw-号AB· PE=2×2w2x3=3 2 6.√17解析：如图，连接PM,MQ. ,PQ与⊙M相切于点Q,∴.MQ⊥ PQ.∴.∠PQM=90°.，点M的坐标 是(1,0)，∴.MQ=MO=1.∴.PQ= √PM-MQ=√PM-1'..当 PM的长最小时，PQ的长取最小值 易知当PM⊥AB时，PM的长最小. ,直线y=x十5与坐标轴分别交于 点A,B,∴.当x=0时，y=5,当y= 0时，x=-5.∴.点A的坐标是(0， 5),点B的坐标是（一5,0）..OA= 5,OB=5.AO⊥BO,∴.易得 ∠PBM=45°.PM⊥AB, ∴.∠BPM=90°.在Rt△BPM中， MB=OB+OM=5+1=6,..PM= MB·sin∠PBM=6X =3 2 .PQ=√/(3√2)2-1=√7.∴.PQ 长的最小值是√17. y p 0 B 0 M (第6题) 7.8-2√2解析：如图，作△PMD 的外接圆，则圆心O在DM的垂直平 分线上移动，连接OD,OM.设DM的 垂直平分线交DM于点N,则DN= MN,ON⊥CD..'∠DOM=2∠DPM, ∴.当∠DOM的度数最大时，∠DPM 的度数最大.易知当⊙O与BC相切 时，∠DOM的度数最大.：四边形 ABCD为矩形，∴.CD=AB=4, AD=BC=8.,M是CD的中点， ÷CM=DM=2CD=2.MN 1.连接OP,则OP⊥BC.∠C= 90°，ON⊥CD,∴.易得四边形OPCN 是矩形.∴.ON=PC,OP=NC=2十 1=3=OM.在Rt△MON中，由勾股 定理，得ON=√OM-MN= √32-1=2√2.∴.PC=2√2. ∴.BP=BC-PC=8-2N2」 (第7题) 40 8圆内接正多边形 1.D2.B3.12 4.如图，正八边形ABCDEFGH即为 所求作。 1 A G (第4题) 5.B 6.>解析：如图①，过点A作AD⊥ BC于点D,则AD过圆心O1,连接 O1B.在Rt△BO1D中，易得O1B= O1A=6,∠O1BD=30°，.BD= 90,=3v5=D3C0,D 7B0=3.∴.BC=63,AD=6 3=9.S1=So01-S△4x=πX 6号×65×9=36x-275.如图 ②，连接O2A,O2F,过点O2作O2H⊥ AF于点H.,六边形ABCDEF是 圆内接正六边形，∠40，F=360- 6 60°.∴.∠A02H=30°.O2F=O2A, ∴.△AO2F是正三角形.∴.O2F= O2A=AF=6.在Rt△AO2H中， 0,H=5X6=35.S,=S00 2 65.0,F=xX62-6×2×6X35 36π-54√3..S1-2S2=36π 27√3-72π+108√3=81√3-36π> 0..S1>2S2. ① ② (第6题) 7.如图所示. (第7题) 8.(1)五边形ABCDE为正五 边形， ∠ABC=180X(5-2) =108° 5 (2)△AMN是等边三角形. 理由：如图，连接ON,FN. 由作图的过程，知FN=FO. ON=OF, .ON=OF=EN ∴.△OFN是等边三角形. ∴.∠OFN=60. ∴.∠AMN=∠OFN=60. 同理，可得∠ANM=60°， ∴.易得△AMN是等边三角形. (3)如图，连接OD :△AMN是等边三角形， ∴.易得∠AON=120. 五边形ABCDE是正五边形， 六∠A0D=2x2=-14 ∴.∠DON=∠AOD-∠AON=24. 360° 24°=15. 0 (第8题) 9.(1)如图①，延长BP至点E,使 PE=PC,连接CE ,△ABC是⊙O的内接等边三角形， ∴.∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC. ,四边形ABPC是⊙O的内接四 边形 .∠BAC+∠BPC=180 .∠BPC+∠EPC=180, '.∠EPC=∠BAC=60 PE=PC, ∴.△PCE是等边三角形 .'.EC=PC,∠E=∠PCE=60° 又.∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP= 60°+∠BCP, ∴.∠BCE=∠ACP. 在△BEC和△APC中， (EC=PC, R∠BCE=∠ACP, BC=AC, .∴.△BEC2△APC. ∴.EB=PA. ·EB=PB+PE=PB+PC .PA=PB+PC. (2)如图②，过，点B作BE⊥PB,交 PA于点E,则∠EBP=90°，即∠2+ ∠3=90° ,四边形ABCD是⊙O的内接正 方形， .∠ABC=90°，AB=CB. .∠1+∠2=90°. .∠1=∠3. 在△AEB和△CPB中， ∠EAB=∠PCB, RAB=CB ∠1=∠3， '.△AEB≌△CPB. ∴.BE=BP,AE=CP ,'.△BEP为等腰直角三角形 ∴.∠BPE=∠BEP=45° PB .在Rt△BEP中，PE= c0s45 √2PB. ∴.PA=AE+PE=PC+√EPB. 4 ① ② (第9题) 9弧长及扇形的面积 1.B2.40元3.25元 41 4.如图，在弦AC所对优弧上取一点 D,连接OA,OC,DA,DC,过点O作 OH⊥AC于点H. AH=2AC=号×25-5. .∠D+∠B=180°， ,.∠D=180°-∠B=180°-120°=60°. .'.∠AO℃=2∠D=120°. 1 ·易得∠AOH=2∠A0C=60: ·sin∠AOH=A=5 A02 .A0=2. AC的长=120mX2 4 180 3 D H C (第4题) 5.B解析：设此扇形的半径为 rcm,则10x= 180,解得r=12 150πr :此扇形的面积为7×10x×12 60π(cm2). 方法归纳 灵活运用弧长及扇形 面积公式求相关量 孤长的计算公式为1=”恐 180 扇形的面积公式为S扇形 -nπR2 360 之R.对于公式S角形=2R,可以 类比三角形的面积公式进行记忆 利用孤长、扇形面积的计算公式， 已知l,,R,S形四个量中的任意 两个，可求另外两个 6.C 7.B解析：连接OE.C为OA的 中点，·0C=AC=20A=2. ÷0C=20E.:CEL0A易 得∠CE0=30°.∴.∠EOC=60. .∠EOB=30°..CE=OE·拔尖特训·数学（北师版）九年级下 8 圆内接正多边形 》“答案与解析”见P40 自基础进阶 幻素能攀升 1.新考向·传统文化(2025·枣庄)在我国古代 5.(2025·南充)如图所示为正六边形与矩形叠 文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常 拼成的一个组合图形.若正六边形的边长为 被视为君子修身齐家的象征.如图所示为某 2,则矩形的面积是 () 玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆 A.12 B.83 和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图 C.16 D.12/3 中涂色部分的面积是 .0 (第5题) (第6题) (第1题) 6.(2025·阳泉模拟)如图，S1表示⊙O1中去 A.π B.2π C.3π D.4π 掉内接正三角形部分的面积，S2表示⊙O2 2.(2024·雅安)如图，⊙O的周长为8π，正六 中去掉内接正六边形部分的面积，⊙O1和 边形ABCDEF内接于⊙O,则△OAB的面 ⊙O2的半径均为6，则S1 2S2(填 积为 () “”“<”或“=”) 7. 新考向·数学文化丹麦数学家莫尔指出：只用 圆规可以完成一切尺规作图.意大利数学家 马斯凯罗尼也独立发现此结论.请你利用数 B 学家们发现的结论，完成作图： (第2题) 如图，已知⊙O,A是⊙O上一点，只用圆规 A.4 B.43C.6 D.6√5 将⊙O的圆周四等分（按如下步骤完成，保留 3.(2025·德州德城模拟)如图，⊙O是△ABC 作图痕迹)， 的外接圆.若∠ABC=15°，弦AC是⊙O内 ①以点A为圆心，OA的长为半径，自点A 接正多边形的一边，则该正多边形的边数为 起，在⊙O上按逆时针方向顺次截取AB= BC=CD; ②分别以点A,D为圆心，AC的长为半径作 0 弧，两弧交于⊙O上方的点E; ③以点A为圆心，OE的长为半径作弧交 (第3题) ⊙O于G,H两点，则点A,G,D,H将⊙O 4.如图，作已知圆⊙O的内接正八边形（不写作 的圆周四等分 法，保留作图痕迹)。 (第4题) (第7题) 74 第三章圆 8.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O. 思维拓展 阅读以下作图过程，并回答问题： 9.(1)如图①，△ABC是⊙O的内接 如图②所示.①作直径AF;②以点F为圆 等边三角形，P为劣弧BC上一动 心，O的长为半径作弧，与⊙O交于点M, 点.求证：PA=PB+PC N;③连接AM,MN,NA. (2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正 (1)求∠ABC的度数 方形，P为劣弧BC上一动点.求证：PA= (2)△AMN是等边三角形吗？请说明理由. PC+√2PB. (3)从点A开始，以DN的长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些n等分点，得 到正n边形，求n的值 ① ② (第9题) ① (第8题) 75