3.8 圆内接正多边形-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 8 圆内接正多边形 自主导学Q典例精析 例题如图，正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O,EF与 BC,CD分别相交于点G,H,求需的值 【分析】首先设⊙O的半径是r,则OF=r,根据AO是等边三角形EAF 顶角的平分线，求出∠COF=60°，然后用直角三角形边角关系和相似三角 例题图 形的性质求出EF和GH,进而求出需的值 【解答】如图，连接AC,BD,OF,则AC与BD相交于点O.设AC与 EF交于点M,⊙0的半径是r,则OFH.AO是∠EAF的平分线，.∠OAF= 3∠EFA=x60=30,0M=0F,∴L0M=∠0AF30.∴∠C0Fe2L0AF= 60.FM-FO.simn 0r.F-2MF-2xr-V3r.0M0F- 2 例题答图 ,CM=r=EF∥BD,△cGH∽△cBD:G册==5 BD CD 2 GI=分M32需-YV3 【点拨】此题主要考查了正多边形与圆的关系，解答此题的关键是要明确下列正多边形 的相关概念.①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.②正多边形的半径：外 接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 中心角.④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 基础巩固达标闯关 一多多与 1.正八边形的中心角等于 2.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC, PD,则△PCD的周长的最小值是 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，D是⊙0上的点，若弦AD是⊙0的内接正六 92 圆第三章 边形的一边，则∠BAD的度数为 4.如图，正六边形A BCDE F的边长为1，它的六条对角线又围成一 个正六边形AB2CDEF2,如此继续下去，则正六边形AB4C4D4E4F4的面积 是 C2 D 5.正六边形的边心距为V3,则该正六边形的边长是() D 第4题图 A.V/3 B.2 C.3 D.2V3 6.如图，正六边形ABCDEF的内切圆的面积与外接圆的面积之比为() A.V3 2 D 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重 合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=k位于第一象限的图象上，则k的值为() A.9V2 B.9V3 C.3V3 D.3V2 8.如图，在⊙0中，OA=AB,OC⊥AB,交⊙0于点C,那么下列结论错误的是() A.∠BAC=30° B.OB的长等于⊙O的内接正六边形的边长 C.AC=BC D.AC的长等于⊙O的内接正十二边形的边长 能力提升蹄综合拓展 9.(1)请分别在图1、图2中用尺规作⊙0的内接正三角形和正方形 (2)若设⊙0的半径为R,求已画的三角形和正方形的边心距和中心角. ●0 ●0 图1 图2 第9题图 93 口数学 九年级下册（北师大版） 1O.如图，已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点 G.猜想DF与GF的数量关系，并说明理由. D A 第10题图 11.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下 探讨. 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形不一定是正方形 乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五 边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形.如图2，△ABC是正三角形，AD= BE=CF,这样构造的六边形ADBECF不是正六边形. (1)如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，请简要说明圆内接五边形 ABCDE为正五边形的理由. (2)如图2，请说明丙同学构造的六边形各内角相等 (3)根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结 论与“边数n(n≥3，n为整数)”的关系，提出你的猜想.（不需说明理由） A A D 图1 图2 第11题图 4 圆 第三章 中考链接©真题演练 12.(2024.镇江)如图，AB是⊙0的内接正n边形的一边，点C在⊙0上，∠ACB= 18°，则n= 13.(2025·上海)已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆 在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两边，那么这个角的度数为 B 第12题图 第14题图 14.(2024南京)如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是（) A.16 B.18 C.20 D.36 15.(2024·济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O,则它的内切圆半径 为() A.1 B.2 C.V2 D.V3 16.(2025·山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子 修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知 内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是() A.TT B.2m C.3π D.4T P 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 17.(2024·呼和浩特)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O,AD和EF 相交于点M,则∠AMF的度数为() A.26° B.27° C.28° D.30° 18.(2023·河北)如图，点P~P是⊙0的八等分点.若△PPP,四边形PPPP的周长 分别为a,b,则下列说法正确的是() A.a<b B.a=b C.a>b D.a,b大小无法比较 95参考答案与提示 同理可得，∠AFC=∠ECF=∠CEB=∠DBE=∠ADB,故 图2中六边形各内角相等.(3)由(1)(2)可知， D 当n(n≥3，n为整数)是奇数时，各内角都相等的圆 内接多边形是正多边形；当n(n≥3，n为整数)是偶 数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形 12.1013.108°或36°14.B15.D16.D 17.B 第11题答图 18.A提示：连接PP,PP。,点P~Ps是⊙O 的八等分点，∴PP4=PP=PP6=PP，PP=PP3=PP 12.解：(1)DA,DC是⊙0的切线，DA=DC b-a=PP6+PP+PP+PP-(PP+PP3+PP)=PP+PP- 同理EB=EC·点P是⊙O外的一点，PA,PB分别与 PP在△PPP6中，PP4+PPo>PPo,∴PP4+PP6>PP. ⊙O相切于点A,B,PA=PB.△PDE的周长是8， .∴b-a>0. ..PD+PE +DE=8...PD +DC+PE +CE =PA +PB =2PA =8. 9弧长及扇形的面积 PA=4.(2)如图，连接AB.BF是⊙0的直径， ∠BAF=90°.PA=PB,.∠PAB=∠PBA.∠P=40°， 1x2.2m3 4.1085.c6.D7.C ∠PAB=∠PBA=×(180°-40°)=70°.PB切⊙0于点 8.A 2 9.解：设扇形所对圆心角的度数为n°，则 B,∴.∠PBF=90°.∴∠ABF=∠PBF-∠PBA=90°-70°=20°. ∴.∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF=180°-90°-20°=70. 292=9,-81,5am-5em-22× 180 81π=57.6m(m2).57.6m×2=115.2(m2),.制作这把 巨扇至少需要丝绸115.2πm2. 10.解：如图，连接AC.,四边形ABCD是菱形且 边长为1.5cm,AB=BC=1.5cm.又B,C两点在扇 形AEF的EF上，AB=BC=AC=1.5cm..△ABC是等 边三角形∠BAC=60,BC的长-607测5-受(cm, 180 E =2R=7×受x15=智(em) S形A 第12题答图 8 8圆内接正多边形 1.452.63.90°4.Y及5.B6.D7.B 18 8.A 9.(1)画图略.(2)圆内接正三角形中心角为 120°，边心距为】R.正方形的中心角是90°，边心距 第10题答图 为Y2R 11.解：如图，连接 2 OC,OD,CD.C,D是AB A 1O.解：DF=GF理由：五边形ABCDE是正五边 上的三等分点，∴.∠AOC= 形，∴.∠CDE=∠C=108°.DC=BC,∴.∠1=∠CBD= ∠C0D=60°.又0C=0D, 2(I80P-∠C)=36.∠2=∠cDE-∠I=72e.AF/CD, .△OCD为等边三角形. D ∠0CD=60°.∴.∠A0C= 第11题答图 ∴.∠F=∠1=36°.∴.∠G=180°-∠2-∠F=180°-72°-36°= ∠OCD.∴AB∥CD.S阴影=S△e+S马形m=S△0am+S马形D, 72°...∠G=∠2..DF=GF. 11.解：(1)理由：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E, S月腿=S角形m=60xmXI2-π」 3606 ∠A所对的弧为BDE,∠B所对的弧为CDA,.BDE= 12.解：OB⊥DE,∠D0E=120°，.DC=CE, CDA..·BDE-CDE=CDA-CDE,即BC=AE...BC=AE. ∠c0D=∠c0E-60.0C=30D=0A.4c=301. 同理可得，AB=DE,AE=CD,AB=CD,AB=BC=CD= AB=20,AC=9,∴A0=18,0B=38..弧FG的长= DE=AE.·.五边形ABCDE是正五边形.(2)：∠AFC 所对的弧为ABC,∠DAF所对的弧为DBF,AD=CF, 120x38=76m,弧DE的长=120x18=12m 180 180 ∴.DBF=DBC+CF=DBC+AD=ABC.∠DAF=∠AFC. 13.解：如图，连接OD.0是AB的中点，C为