2026年中考数学提升专题训练：二次函数应用题压轴题

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过5类典型题型构建"情境建模-性质应用-综合拓展"的解题体系，强化数学建模与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥问题|5题|结合桥梁/隧道等建筑结构，涉及抛物线顶点与跨度计算|坐标建立→待定系数法求解析式→利用函数性质解决实际测量问题| |销售问题|5题|以利润、销量为背景，含一次函数与二次函数综合|数据表格分析→建立利润函数模型→通过配方或顶点公式求最值| |投球问题|5题|运动轨迹类问题，涉及高度与水平距离关系|顶点坐标确定→函数解析式构建→交点与最值的实际意义解读| |喷水问题|5题|水流/喷泉抛物线模型，含平移与对称变换|轨迹抽象→解析式求解→平移后函数关系的动态分析| |图形运动问题|5题|动点与图形面积结合，含分段函数应用|动态过程分段→重叠面积表达式构建→分类讨论求解|

2026年中考数学提升专题训练：二次函数应用题压轴题 目录概览 题型1 拱桥问题 题型2 销售问题 题型3投球问题 题型4 喷水问题 题型5 图形运动问题 题型演练 题型1 拱桥问题 1．一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是G、E、F、H，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点分别在上，点分别在上，点到的距离均为12米．已知所在拋物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 2．【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 3．南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 4．信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 5．综合与实践 问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面． (1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式； (2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）． 题型2 销售问题 6．2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 7．某公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润（）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 8．某地在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量万件与月份月的关系为：，每件产品的利润元与月份月的关系如下表： (1)请你根据表格直接写出每件产品利润（元）与月份月）的关系式； (2)若月利润万元）当月销售量万件）当月每件产品的利润元），求月利润万元）与月份月）的关系式； (3)当为何值时，月利润有最大值，最大值为多少？ 9．为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元． (1)服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？ (2)若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润． 10．某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 题型3投球问题 11．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． (3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 12．小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 13．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，其中x（米）为小球抛出的水平距离，y（米）为小球抛出的高度（即小球到x轴的距离）．小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米． (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A，求点A的坐标； (3)若在斜坡上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并说明理由． 14．体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名米的运动员，从A点跳离地面高度米时，球在头顶米处B点出手，当篮球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式； (2)在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为，请通过计算判断运动员此次投篮的得分． 15．某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 题型4 喷水问题 16．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了一次消防演练．如图，O，A为某建筑物墙面上的两点，为水平地面，建立平面直角坐标系，水枪喷口位于点B处时，水流恰好到达着火点A处．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，已知点A的高度米． (1)求a的值． (2)求点B到墙面的距离． (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米，直接写出m的取值范围． 17．【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 18．综合与实践 问题情境：为打造“水韵休闲”主题景区，某生态景观园区安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：）与距喷口点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： / 0 7 14 21 28 / 0 6 0 问题解决： (1)根据表格中的各组对应数据，在给出的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象，并求出与的函数关系式； (2)为提升观赏效果，要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）； (3)景区计划在距离喷口点水平距离的位置设置一个高度为（单位：）的灯光装置，若要保证水柱不会碰到该装置，求的取值范围． 19．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 20．如图所示，某广场一块绿地的横截面由斜坡和平地组成，坡面的水平宽度为10米，，在坡面的中点D处有一个与水平面垂直安装的可伸缩喷水管，把从E处喷出水的上边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，两条抛物线关于可伸缩水管所在的直线成轴对称，右侧抛物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口1米， (1)当米时， ①求右侧抛物线的解析式； ②求右侧抛物线与斜坡的交点坐标，并判断喷出的水能否浇灌到整个斜坡． (2)在可伸缩喷水管长度的变化过程中，抛物线的形状保持不变，要使喷出的水能浇灌到整个斜坡， ①求可伸缩喷水管的最小高度； ②为避免淋湿游客，应在平地离坡底A处至少多少米设置警示牌？ 题型5 图形运动问题 21．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 22．如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 23．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 24．如图，在等边三角形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． (1)_________（用含的代数式表示）； (2)求当点落在上时的值； (3)求在运动过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 25．如图1，是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止运动，运动时间记为t（秒）．以为边作正方形，面积记为S．图2中给出点P在上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的一部分． (1)求出点P在上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时和的位置关系． (2)请在图2中画出点P在上运动时S和t的函数图象． (3)设，时对应的函数值分别为，，当a取何值时总有，直接写出a的取值范围． 第18页，共18页 第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学提升专题训练：二次函数应用题压轴题》参考答案 1．(1) (2)米 【分析】（1）由题意知的顶点坐标为，设桥洞所在抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）先求出的坐标，即可求解，而由对称性可知，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知的顶点坐标为， 设桥洞所在抛物线的函数表达式为， 将代入中，得，     解得， ∴桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ，     当时，， ，     ， 由对称性可知，， 故， ∴这两条标语的总长为米． 2．(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 3．(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 4．(1)， ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得， 此时， 由隧道上方的抛物线满足的条件是， 不在这个范围中， 故舍去； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故． 5．(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，，得到，即可求出答案； 【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m， ， 点A，B的纵坐标为， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 点O为抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ； （2）如图， 离地面3m， ， 点C，D的纵坐标为， 点C，D在抛物线上， 将代入， 得， 解得，， ，， ， ． 答：吊顶所需材料的面积约为． 6．(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 7．(1) (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设第天的销售利润为w元，分两种情况，分别求出二次函数解析式，求最值即可； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，求出二次函数解析式，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，与成一次函数关系， 设， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：设第天的销售利润为w元，则 ①当时， ； ∴当时，最大值为1250； ②当时， ， ∵对称轴为， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴时，最大值； ∵， 故第10天利润最大，最大利润为1250元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元． 由题意 ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， ∴，解得， 又∵， ∴． 8．(1) (2) (3)时，有最大值为 【分析】（1）观察表中数据可得，当时，；当时，，则与的关系式可得； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别写出关于的函数关系式并化简，则可得答案； （3）分别写出当时，当时，当时的函数最大值，然后比较取最大值即可． 【详解】（1）解：观察表中数据可得，当时，； 当时，． ∴与的关系式为： （2）当时，； 当时，； 当时，； ∴与的关系式为： （3）①当时，， ∴时，有最大值为 ②当时，， 随增大而减小，∴时，有最大值为， ③当时，， 随增大而减小，∴时，有最大值为 ∵，∴时，有最大值为 9．(1)服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元 (2)当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，根据题意列出分式方程，求解并检验即可得到答案； （2）设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，根据题意可得，变形得，该二次函数的图象开口向下，因此在顶点处取得最大值． 【详解】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元； （2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元， 根据题意得：， ， ， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 10．(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可； （2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可； （3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 11．(1)； (2)不能，理由见解析； (3)． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数的图象和性质可得，即得 ，再根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴， （2）解：由（）得， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ， ∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到； （3）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ， ∴解析式为， 当时，， 解得； ∵球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，， 解得， 的取值范围为． 12．(1) (2)①不能；②小明应该后退米或前进米 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 13．(1)二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； (2)点A的坐标为； (3)小球能越过该挡板，理由见解析 【分析】（1）根据题意将点代入二次函数的表达式即可求出a，进而求得函数表达式；将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数图象的性质即可得出最大高度； （2）根据题意联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得，解得，， 再当时，， 即可求得A点的坐标； （3）根据题意把分别代入二次函数的表达式及直线的表达式，再根据挡板高2米，求得挡板顶端距离地面的高度为（米）， 最后，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， 将代入，得， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ， 将二次函数的表达式配方得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为8． 答：这个二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； （2）解：联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， ∴． 答：点A的坐标为； （3）解：小球能越过该挡板，理由如下： 当时，小球的高度为（米）， 当时，斜坡的高度为（米）， ∵挡板高2米， ∴挡板顶端距离地面的高度为（米）， ∵， ∴小球能越过该挡板． 答：小球能越过该挡板． 14．(1)见解析， (2)2分 【分析】（1）以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点设该抛物线的解析式为，将代入求出得，即可解答； （2）将代入抛物线表达式，求出（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为，再与比较，即可解答． 【详解】（1）解：以点A为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图 ∴（米），米， ∴ ∵当篮球运行的水平距离为米时，且达到最大高度米， ∴设该抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入抛物线表达式，得 ， ， 解得（舍去，此为上升阶段的点），即篮筐中心与出手点的水平距离为， ∵三分线与篮筐中心的水平距离为，， ∴此次投篮在三分线内，得分为2分． 15．(1) (2)球离球网顶端的高度差为米 (3)的最小值是2米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． （3）解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是米． 16．(1) (2)点B到墙面的距离为12米 (3) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出时的的值，根据平移规则，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，， 把代入，得， 解得； （2）解：由①知：， ∴当时，解得， ∴， ∴，即点B到墙面的距离为12米； （3）解：由题意，当时， 解得， ∵将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米， ∴． 17．(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 18．(1)见解析， (2)观赏灯带可铺设的最大长度为 (3) 【分析】（1）根据表格中的数据利用描点法画出对应的函数图象，由对称性可得对称轴和顶点坐标，再把解析式设为顶点式，并利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）求出时，x的值即可得到答案； （3）求出时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∵当时的函数值与当的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为 设与的函数关系式为， 当时，， ， 解得， （2）解：在中，令，得， 解得， ， 即观赏灯带可铺设的最大长度为． （3）解：在中，当时， ， 要保证水柱不碰到装置，需． 又高度， ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 20．(1)①；②右侧抛物线与斜坡的交点坐标为，不能 (2)①可伸缩喷水管的最小高度为米；② 【分析】（1）①由题意可得：右侧抛物线的顶点为，再利用待定系数法求解即可；②先求解，，可得的解析式为，再进一步求解即可． （2）①设喷水管向上伸长m米，右侧抛物线解析式为，左侧：，再进一步求解并比较即可． ②由左侧抛物线为，当时，解得（舍去正根），进一步求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：右侧抛物线的顶点为， 设右侧抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得： ， ∴． ②由题意可得：坡面的水平宽度为10米，为斜坡的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∴， 解得（负根舍去）， 当时，， ∴右侧抛物线与斜坡的交点坐标为． ∵， ∴喷出的水无法浇灌到整个斜坡． （2）解：①设喷水管向上伸长m米， 右侧抛物线解析式为， 代入， ∴， 解得：， ∵要覆盖整个坡面， ∴， ∴此时． ∴左侧：， 代入， ∴， 解得：， ∴此时； ∴可伸缩喷水管的最小高度为米． ②此时左侧抛物线为， 当时， 解得（舍去正根）． 所以应该在距离A处至少处设置警示牌． 21．(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 22．(1) (2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可； （3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒； 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上： （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 画出函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） （3）解：当时，， 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 故的函数图象与直线有两个交点时，． 23．(1) (2)①，；②或 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 24．(1)； (2)的值为； (3)． 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，，，得，而，，则； （）由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以； （）当落在上时，则，得；当点与点重合，则，得，当点与点重合，则，得，再分三种情况讨论，当时；当时；当时即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点落在上，则， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴当点落在上时，的值为； （3）解：∵， ∴如图，当落在上时，， ∴， ∴，解得， 如图，当点与点重合， 则，解得； 当点与点重合， 则，解得； 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图，交于点，交于点， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，， ∴， ∴， 综上所述，． 25．(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质和垂线段最短即可解答； （2）求得当点P在上运动时，S和t的函数解析式，再画出图象即可； （3）分类讨论，列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据图象可得点P在上运动时S和t的函数关系式的顶点为， 设S和t的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 点P在上运动时S和t的函数关系式为； 当取最小时，即最小，此时； （2）解：当点P在上运动时，， 此时正方形的面积为， ， 点P在上运动时S和t的函数图象，如下： （3）解：当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 综上，可得或． 答案第2页，共37页 答案第1页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $