河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题

**基本信息** 2026届高三二模数学卷以生态系统、AI大模型等真实情境融合知识，通过梯度设计考查数学眼光、思维与语言，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、函数、三角函数|基础题结合数学抽象，如第5题用物种丰富度指数考查数学建模| |多选|3/18|立体几何、函数性质、数列|第11题多角度设问，考查逻辑推理与运算能力| |填空|3/15|函数、正态分布、立体几何|第14题动态几何问题，体现空间观念与创新意识| |解答|5/77|解三角形、概率统计、立体几何、解析几何、导数|第16题以AI模式测评考概率分布，第19题导数证不等式，综合考查数学思维与表达|

高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1.C.2.A3.B 4.C 5.D 6.c 7.D8.A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.ABD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.2 13.39090 14.35 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)因为三角形中角A,B,C成等差数列，2B=A+C 所以B=60°， 由余弦定理知，b2=a2+c2-2 ac cos B, 得b2=a2+c2-ac,又因为b2=(a-c2+4,可得a2+c2-ac=(a-c}+4, a2+c2-ac=a2+c2-2ac+4, 整理得ac=4,根据三角形的面积公式。Sc=acsin B=× 4x5=5. 2 2 2 (2)在ABCD中，CD2 2 +a2-2x -xaxcos B -Id+a-acco360-Id+a-a 4 4 è212a2-1aa-1 -2ac=2ac=2 当且仅当c2=a2,即a=2,c=22时取等号， 此时CD取得最小值为√2， 16.（15分) 解：(1)设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为X,Y,Z X=0.6×2+0.3×1+0.1×0=1.5, 第1页 Y=0.75×2+0.2×1+0.05×0=1.7, Z=0.35×2+0.45×1+0.2×0=1.15, 因为1.7>1.5>1.15，所以“联网搜索”模式的测评得分最高. (2)三个问题中测评得分相等的问题的个数X可能的取值为0,2,3 PX=0)=C×0.6×C)×0.3×0.1=0.108, PX=2)=C×0.62×0.4+C3×0.32×0.7+C×0.12×0.9=0.648, P(X=3)=0.63+0.33+0.13=0.244, 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数X的分布列为： X 0 2 3 P 0.108 0.648 0.244 17.(15分) 解：(1)证明：在平面PAB内过点A作AH⊥PB,交PB于H, 因为平面PAB⊥平面PBC,，又平面PABO平面PBC=PB, 所以AH⊥平面PBC, 则AH⊥BC, 因为MB=PC,所以PB⊥BC, 2 因为AH⊥BC,PB⊥BC,PBO AH=H, 所以BC⊥平面PAB, 所以BC⊥AP. (2)因为MM=PC,所以M上4C, 又PA⊥BC,AC∩BC=C, 所以PA⊥平面ABC, 以B为原点，分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角 坐标系，则B0,0,0),C(2,0,0),A0,2√5,0，设P0,2V3,a,(a>0) 平面PAC的一个法向量为m=(x,,二)： Ac=2,-23,0,Ap=(0,0,a, 第2页 则 m:4c=0.即2-25%=0，设=5，则%=1，所以m=5,10小 ,即 m:AP=0`a,=0 =W5+12=2, 设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,22), BP=0,2V5,aBC=(2,00), -B即=0.即23，+a:=0.设为=5a,则，=-6，得n=65a,6) 的 n.BC=02x,=0 园=VW3a+(←6}=V3a2+36, m-n=V3x0+1xV3a+0x(-6)=V5a 设平面PAC与平面PBC夹角为O,则 o0-bos(E.y BE.n 3a 2×V3a2+367, 解得a=4,即AP=4. (3)由(1)BC⊥平面PAB知BC⊥AB, 取AC的中点O,则OA=OB=OC=2, 又因为M是PC的中点，所以OM=AP=2, 2 则O即为三棱锥M-ABC外接球的球心，半径为2 其外接球的表面积为4πR2=16π. 18.(17分) 解：(1)设点Px,y), 由6+0+了-2-+了得P的就速方为-y-5 即曲线C,的方程为(x-)+少-号它是以C写0为圆心，g以-号为半轻的风 因为1与C,相切，所以A5=Qr-r=45, 3 数5-252-h29-25. 第3页 得a2=3,b2=a2-c2=2 所以曲线C方程为女+y 3+2=1 (2)由(1)知，AF-AE2=FF2, 所以A51x轴， 则4 直线AF的斜率为 3 4=4小-（引-5 (3)设直线l:y=c+m,B(x,),E(x2,y2),F(x2,-y2), 将直线1与椭圆女+二=1联立得：+3k2女+6kx+3m2-6=0 32 6km x+x2=一2+3k2 3m2-1 则x,=2+3k △>0 所名=华盐-红+匹+圆.+2m-+20 2 x1+X2 x1+X2 X1+X2 6km 3k, 2+3k2 恰为圆C,的圆心，而G为弦CD的中点，由垂径定理知QG⊥CD, 所以kk=-1,则k=- k k-1 -1 3 所以k,k×k2 kx 2)2, 3k 即兰为定值 k2 2 19.（17分) 解：(1)(1)∫'(x)=lnx-ax+1 第4页 因为f(x)在(0，+∞)上单调递减，则(x)≥0恒成立， 即nx-ax+1≤0恒成立，即a≥血x+恒成立， 设g)=1血x+1,g)=-nx, 当g'(x)>0时，x∈(0,1)，gx)单调递增： 当g(x)<0时，x∈，+∞)，g(x)单调递减， 所以g(x)mx=g)=1, 所以a≥1 (2)(i)当a=1时，由(1)知，(x)在(0，+∞)上单调递减且∫)=0，结合fx)+∫x2)=0可 知，0<x1<1<x2' 要证x+x2>2,即证x2>2-x, 由∫x)的单调性，只需证x,)<(2-x), 因为f2-x)-f(x2)=f(2-x)+fx), 构造函数F(x)=∫2-x)+f(x),其中0<x<1, F'(x)=-∫'2-x)+f(x)=-ln(2-x)+(2-x)-1+lnx-x+1=lnx-ln(2-x)+2-2x F=+,1-2=2-,因为0<x<1,所以F>0, x2-xx(2-x) 则F'(x)在(O,)内单调递增，又F①)=0，所以F(x)<0恒成立， 所以F(x)在(0,1)内单调递减，所以F(x)=(2-x)+(x)>F)=2f)=0, 则f2-x)+f)=f2-x)-f(x,)>0,即2-x)>fx2), 又因为(x)在(0.+o)内为单调减函数，所以2-x<x2, 即x1+x2>2. (i)由(1)当知a=1时(x)在(0，+o)上单调递减，又f)=0 所以当xe+o时，s0恒成立，即xnx方+0， 第5页 即axsx-到， 当且仅当x=1时取等号。 ◆则：北 则a+a≤日4) 所以 (In 2-In1)+(In 3-In 2)+(In4-In3)+ +ua+0-n小0+学r合+引后*号)+分 则a+小+号t月可 即1+分t分>+2可 第6页 2026届高三第二次模拟考试数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的。 1．已知集合，则A∪B= A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<4} C.{x|-3<x<4} D.{x|-3<x<3} 2．已知复数2的虚部是 A.2 B.2i C.-2 D.-2i 3.，则 A.a<c<b B.b<a<c C.b⋅<c<a D.a<b<c 4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线2x+y=0上，则sin2α= A. B. C. D. 5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定.某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则 A. B. C. D. 6．若两个随机事件A,B相互独立，满足，则P(A+B)= A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 7.已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则 A.2026 B.2025 C.1014 D.1013 8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9．已知四边形ABCD是平行四边形，A(0,0,1),B(2,1,1.),C(2,2,0)，则 A．点D的坐标是（0,1,0） B. C．四边形ABCD的面积是3 D.坐标原点O到直线AC的距离为 10．函数，则 A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间单调递减 C.f(x)在［-π，π］有4个零点 D.f(x)的最大值为6 11．记等差数列的前n项和为Sn，数列的前k项和为，则 A.若且则时，n的最小值为21 B.若当且仅当k=20时，取得最小值，则 C.若取最小值时，k有两个不同解，则 D.若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数，则 13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值、经计算.若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为＿. 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973 14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为.AB是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面a与母线SA交于点P，当BS/／α时，ΔPMN面积的最大值为＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分） 在ΔABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若A,B,C成等差数列， （1）求ΔABC的面积； （2）若D是AB的中点，求CD的最小值． 16.(15分） 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：(0，20],(20，40]，（40,+)，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在（0,20],(20,40]，（40,+)，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率. （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为X，求X的分布列 17.（15分） 三棱锥P-ABC中，已知M是PC的中点.，平面PAB平面PBC， =4,BC=2. （1）证明：AP⊥BC； （2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时， （i）求PA的长； （ii）求三棱锥M-ABC外接球的表面积. 18.（17分） 某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知A恰好与曲线相切. （1）求曲线C1和C2的方程； （2）直线A与曲线的另一交点为，直线与曲线C2另一交点为，求Δ的面积； （3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线l，当直线l与曲线C1交于B、E两点，与曲线C2交于C,D两点时，E点关于原点O的对称点为F，若G为CD的中点，点Q（，0)，记直线QG和直线BF的斜率分别为k1,k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19.（17分） 已知函数 （1）若f(x)在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当a=1时。 （i）若，且.求证 （ii）求证： 5 学科网（北京）股份有限公司 $