易错点2专项突破：最不利原则的应用--2024-2025学年人教版六年级下册数学

第五单元 数学广角—鸽巢问题 易错点2专项突破：最不利原则的应用 一、选择题 1．把21支笔放在（    ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 A．10 B．7 C．6 D．3 2．一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少捞出（    ）条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼。 A．24 B．21 C．19 D．17 3．袋子里有5个黄球，3个黑球，2个白球，从中任意拿出6个，至少有1个是（    ）。 A．黄球 B．黑球 C．白球 D．红球 4．从1~10这10个自然数中，至少要“取出”（    ）个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。 A．5 B．6 C．7 D．8 5．“鲁班球”的核心源于中国古代建筑中首创的——榫卯结构，相传是鲁班发明的，并由此得名。袋中有形状、大小完全相同的红色鲁班球7个，蓝色鲁班球5个，白色鲁班球3个，每次任意摸一个，至少要摸（    ）次，才能确保摸到白色鲁班球。 A．5 B．12 C．13 D．15 二、填空题 6．盒子里有同样大小的黑球10个，红球5个，白球8个，至少摸出( )个球才能保证摸到两个颜色相同的球。 7．将五种不同颜色的卡片各8张放入同一个箱子里，从中至少抽( )张，才能保证一定有4张同种颜色的卡片。 8．把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放在一个袋子里，至少要取( )个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 9．六（1）班的49名学生中，至少有( )名学生的属相相同；把红、黄、蓝3种颜色的球各若干个，至少要取出( )个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 10．一个盒子里有10个红球、6个黄球和4个黑球，它们除颜色外大小形状都相同。任意摸出1个，摸到( )球的可能性最小；摸出11个时，其中一定有( )球。 11．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 12．一副扑克牌（去掉大、小王）共52张，至少摸出( )张牌，就能保证有两张牌的花色相同；至少摸出( )张牌才能保证四种花色的牌都有。 13．新年到了，茜茜给三位老师送贺卡，无论她怎么送，总有一位老师收到的贺卡多于2张。茜茜最少有( )张贺卡。 14．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出( )枚。 15．老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，…，31。如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这31位同学中至少需要选出( )人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。 三、解答题 16．某小学篮球兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁。最少从中挑选几名学生，就能保证找到2名年龄相同的？（先填一填，再解答） 在解决这个问题时，把（    ）看作抽屉，一共有（    ）个抽屉。 17．把红、蓝、绿、黄4种颜色足够多的水彩笔放到盒子里，至少抽出多少支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔？ 18．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 19．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 20．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。 【详解】（21－1）÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 2．B 【分析】要保证有5条相同品种的鱼，最不利的情况是每个品种的鱼都捞出了4条。此时无论再捞出1条哪种品种的鱼，都会出现有一个品种的鱼达到5条。共有5个品种，每个品种捞出4条，总数为：（条） 在最不利情况的基础上，再捞出1条鱼，即可保证有5条相同品种的鱼：（条）。 【详解】A.不符合分析，选项错误； B.符合分析21条，选项正确； C.不符合分析，选项错误； D.不符合分析，选项错误； 故答案为：B 【点睛】需先考虑最不利情况（每个品种捞出4条） ，再用该总数加1得到结果。 3．A 【分析】这道题考查抽屉原理（最不利原则），先找出除黄球外其他颜色球的最大总数，模拟最倒霉的拿球情况（先把非黄球拿光），用要拿的总球数（6个）减去这个最大总数，若结果大于等于1，说明剩下的球只能是黄球，从而得出至少有1个黄球的结论。 【详解】根据分析： 统计各颜色球的数量，黄球5个，黑球3个，白球2个。计算非黄球的最大总数(个)，假设先把所有黑球和白球都拿出来，这是能拿到的最多非黄球数量，一共拿了5个。需要拿6个球，已经拿了5个非黄球，还需要再拿(个)，此时袋子里只剩下黄球，所以这1个球必然是黄球。得出结论从中任意拿出6个，至少有1个是黄球。 故答案为：A 4．B 【分析】1~10的自然数中，奇数为1、3、5、7、9，共5个。要保证取出的数中一定有偶数，需考虑最坏情况： 先取出所有的奇数（5个）。此时再取1个数，必定是偶数。因此至少需取的数的个数为奇数的个数加1。据此解答。 【详解】（个） 从1~10这10个自然数中，至少要“取出”6个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。 故答案为：B 5．C 【分析】要确保摸到白色鲁班球，我们需要考虑最不利的情况，也就是先把红色和蓝色的鲁班球全部摸完，然后再摸一个就一定是白色的。 【详解】先摸完红色和蓝色的球一共需要摸7＋5＝12（次） 再摸1次，就一定能摸到白色鲁班球。 12＋1＝13（次） 至少要摸13次，才能确保摸到白色鲁班球。 故答案为：C 6．4 【分析】把黑红白三种颜色看作三个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况即可解答。 【详解】考虑最差情况：摸出3个球，分别是红、黑、白不同的颜色，那么再任意摸出1个球，一定可以保证有2个球颜色相同。 3＋1＝4（个） 至少摸出4个球，才能保证摸到两个颜色相同的球。 7． 16 【分析】用最不利原则，先假设每种颜色都抽到了3张，此时再抽1张，无论是什么颜色，都能保证有4张同色。 【详解】5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（张） 8．4 【分析】要保证取到两个颜色相同的球，需从最不利的情况考虑，即每种颜色各取1个，此时再取1个球即可保证有两个球颜色相同。 【详解】3＋1＝4（个） 9． 5 4 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 考虑最倒霉的情况，取出的前3个都是颜色不同的球，再取1个，一定能保证取到两个颜色相同的球。 【详解】将49名同学看成放在抽屉里的物体，将12个属相看成抽屉。 49÷12＝4（名）……1（名） 4＋1＝5（名） 至少有5名学生的属相相同。 3＋1＝4（个） 至少要取出4个球。 10． 黑 红 【分析】①数量越多摸到的可能性就越大，数量越少摸到的可能性就越小，数量相等摸到的可能性相同。 ②从最坏情况考虑：先摸完黄球和黑球，才能摸出红球。 【详解】因为4＜6＜10，即黑球最少，所以任意摸出1个，摸到黑球的可能性最小； 黄球和黑球共：6＋4＝10（个） 11＞10 所以当黄球和黑球全部先摸出，第11个摸出的一定是红球。 11．11 【分析】根据题干，可以把黑色，白色和黄色看作3个抽屉，考虑最差情况：摸出10根：8根黑色的，1根白色的，1根黄色的，那么再任意摸出1根，无论从白色抽屉，还是从黄色抽屉摸出，都会出现有两双不同颜色的筷子，由此即可解决问题。 【详解】由分析可得： （根） 至少要取11根才能保证达到要求。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决问题的方法，这里要注意考虑最差情况。 12． 5 40 【分析】分析保证有两张牌花色相同的情况：扑克牌去掉大小王后，有4种花色，分别是黑桃、红桃、方块、梅花。考虑最不利的情况，即每种花色先各摸出1张（共摸出4张），此时再任意摸出1张牌，就一定能保证有两张牌的花色相同。 分析保证四种花色牌都有的情况：每种花色有13张牌。最不利的情形是先把其中三种花色的牌全部摸完，共摸了13×3＝39（张），此时再摸1张，就必定是第四种花色的牌，这样就能保证四种花色的牌都有。 【详解】4＋1＝5（张） 所以至少摸出5张牌，就能保证有两张牌的花色相同。 13×3＝39（张） 39＋1＝40（张） 所以至少摸出40张牌才能保证四种花色的牌都有。 一副扑克牌（去掉大、小王）共52张，至少摸出5张牌，就能保证有两张牌的花色相同；至少摸出40张牌才能保证四种花色的牌都有。 13．7 【分析】假设三位老师每人最多收到2张贺卡，那么总共最多有3×2＝6（张）贺卡。但此时“无论怎么送，总有一位老师收到多于2张”的条件不满足（因为最多每人2张）。因此，最少需要6＋1＝7（张）贺卡，此时无论怎么分配，必然有一位老师收到的贺卡数≥3（即多于2张）。 【详解】根据鸽巢原理（抽屉原理），若要保证“总有一位老师收到的贺卡多于2张”，即至少有一位老师收到至少3张贺卡，则贺卡总数需满足：总数＞老师人数×2＝3×2＝6（张）， 因此，茜茜最少有6＋1＝7（张）贺卡 【点睛】这道题核心运用了抽屉原理的“最不利原则”：要保证某一情况必然发生，先考虑所有“不满足该情况”的最极端（最不利）情形，再在此基础上加1，即可得到满足条件的最小值。解题关键是明确“抽屉”（三位老师）和“物体”（贺卡），通过分析最不利分配来推导结果。 14．3 【分析】这套邮票有“天龙行健”和“辰龙献瑞”2种图案，最不利的情况是先取出的2枚邮票，每种图案各1枚。此时再取出1枚，不管这枚邮票是哪种图案，都能保证有两枚邮票是相同的。所以至少要取出2＋1＝3枚。 【详解】2＋1＝3（枚） 所以她至少要取出3枚。 15．25 【分析】设两位同学的编号为a和b（a＜b），“好朋友”的要求是：a×b能被a＋b整除（也就是a×b÷（a＋b）得整数）。 找出1~31中的所有“好朋友对”包含重复的数：3和6；6和12；12和24；4和12；5和20；6和30；8和24；9和18；10和15；15和30，21和28，20和30。有好朋友的数，共12组“好朋友对”。当去掉3、5、8、9、10、12、21、30这8个数就可以破坏所有“好朋友对”，没有好朋友的数共16个：1、2、7、11、13、14、16、17、19、22、23、25、26、27、29、31。此时选了8＋16＝24人，再选1人，不管选剩下的哪个数，都会和之前选的数组成好朋友。 【详解】1~31中的所有“好朋友对”：3和6；6和12；12和24；4和12；5和20；6和30；8和24；9和18；10和15；15和30，21和28，20和30； 去掉3、5、8、9、10、12、21、30这8个数就可以破坏所有“好朋友对”； 没有好朋友的数共16个：1、2、7、11、13、14、16、17、19、22、23、25、26、27、29、31； 8＋16＝24（人） 再从剩下的数选1人； 24＋1＝25（人） 所以从这31位同学中至少需要选出25人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。 【点睛】找出能破坏所有“好朋友”数对的数是解答本题的关键。 16．年龄；7；8名 【分析】年龄最小的是6岁，最大的是12岁，因此年龄的种类有6、7、8、9、10、11、12这7种， 把年龄看作抽屉即一共有7个抽屉。分析最不利的情况，即每种年龄都有1名同学。 最不利的情况是每一种年龄都有1名同学，这样就有1名6岁、1名7岁、1名8岁、1名9岁、1名10岁、1名11岁、1名12岁的同学，总共7名同学。在最不利的情况下，再增加1名同学，无论这名同学是多少岁，就一定能保证有2名同学年龄相同。据此解答。 【详解】根据分析得：在解决这个问题时，把年龄看作抽屉，一共有7个抽屉。 （名） 答：最少从中挑选8名学生，就能保证找到2名年龄相同的。 17．9支 【分析】要保证抽到3支同色笔，先考虑“最不利”的抽法，每次都尽量抽到不同颜色，且每种颜色都先只抽到2支。已知有红、蓝、绿、黄4种颜色，每种颜色先抽2支，共抽：4×2＝8支。此时盒子里每种颜色都有2支，再抽1支，无论抽到哪种颜色，都能让该颜色的笔达到3支。 【详解】每种颜色先抽2支，再抽1支，都能让该颜色的笔达到3支。 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（支） 答：至少抽出9支才能保证抽到3支颜色相同的水彩笔。 18．28人 【分析】根据题意可知，男、女生的人数比是3∶2，由此可知，男生人数大于女生人数；男、女生的人数比是3∶2，即男生和女生人数分成了3＋2＝5份，用六（1）班人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出男生人数，如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算，即全是男生，把男生全部选完了，再选一定是女生，所以用男生人数＋1，即可解答。 【详解】男、女生的人数比是3∶2，男生人数＞女生人数。 3＋2＝5（份） 男生：45÷5×3 ＝9×3 ＝27（人） 27＋1＝28（人） 答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。 19． 33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【详解】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 20．（1）5只 （2）12只 【分析】从最不利的情况考虑：黑、白两种颜色的袜子，第一次摸出的是黑色的袜子、第二次摸出的是白色的袜子，第三次无论摸出的是什么颜色，都可以和前两次中的一只配成一双，假设第三次摸出一只白色袜子，那么还剩一只黑色袜子，最不利情况下，第四次摸出后可能有一只黑色袜子和三只白色袜子，第五次摸出任意颜色都能配成第二双袜子，所以至少要摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 从最不利的情况考虑：前10次都摸出了黑色的袜子，第11次，第12次只能摸出白色袜子，所以至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【详解】（只） 答：至少摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 （只） 答：至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【点睛】从最不利的情况进行考虑。 答案第2页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $