第五单元 数学广角—鸽巢问题 易错题单元提升自测--2024-2025学年人教版六年级下册数学

第五单元 数学广角—鸽巢问题 易错题单元提升自测 (考试时间：90分 试题满分：100分) 姓名： 总分： 易错点题目双向细目表 易错点1 鸽巢原理的基本应用存在问题 题号 6 10 14 30 正误 易错点2 对最不利原则的理解存在问题 题号 1 5 12 27 正误 易错点3 鸽巢原理的逆用存在问题 题号 3 16 28 正误 易错点2 混淆“至少数”与“余数”，不会用商+1 题号 2 15 17 30 正误 一、填空题（共21分） 1．（本题6分）盒子里有同样大小的红球和黄球各5个。要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？ 想：因为有（    ）种颜色的球，最不理想的情况是（                  ），只要再摸出（    ）个，无论是什么颜色，那种颜色就有（    ）个，所以要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（    ）个球。 2．（本题1分）六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有( )人的生日在同一个月。 3．（本题1分）把25个球放在( )个盒子里，才能保证总有一个盒子里至少有7个球。 4．（本题1分）箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出( )只可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。 5．（本题2分）口袋里有6个黑球和4个白球，从中至少摸出( )个球，才能保证两种颜色的球都有；从中任意摸出一个球，是( )球的可能性比较大。 6．（本题2分）一个十一位数，至少有( )个数位上的数字相同；六（1）班49名学生中，至少有( )名学生的属相相同。 7．（本题1分）一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 8．（本题1分）一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出( )块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。 9．（本题1分）将一副扑克牌去掉大小王后还有52张，从中随意抽牌，最少要抽出( )张牌，方能保证其中至少有5张牌是相同的花色。 10．（本题2分）10个保温瓶中有2个次品，其余是合格品。要保证取出的保温瓶中至少有1个是合格品，则至少应取出( )个；要保证取出的保温瓶中至少有1个是次品，则至少应取出( )个。 11．（本题2分）书架上放有六年级下册语文、数学课本各3本。至少拿出( )本，才能保证一定有1本数学课本；至少拿出( )本，才能保证有2本科目相同的课本。 12．（本题1分）从18个自然数1，2，3，7，8，9，13，14，15，19，20，21，25，26，27，31，32，33中，至少取出( )个，才能确保其中必定存在两个数，差等于5。 二、选择题（共5分） 13．（本题1分）某小学的学生中，年龄最大的是12岁，最小的是6岁，至少挑选几名学生，一定能找到两名年龄相同的学生？（    ） A．6 B．7 C．8 D．18 14．（本题1分）5个苹果分给4个小朋友，总有一个小朋友至少分得（    ）个苹果。 A．1 B．2 C．3 D．4 15．（本题1分）小亮在进行射击游戏，打了8枪，一共命中52环，小亮有一枪至少打中了（    ）环。 A．7 B．8 C．9 D．10 16．（本题1分）把21支笔放在（    ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 A．10 B．7 C．6 D．3 17．（本题1分）小岚在解决“把14根香蕉放入4个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少有几根香蕉？”时，先列出算式14÷4＝3（根）……2（根），那么下一步应该是（    ） A．4＋1＝5（根） B．3＋1＝4（根） C．2＋1＝3（根） D．3＋2＝5（根） 三、判断题（共5分） 18．（本题1分）30名生日都在4月份的学生中至少有2人生日在同一天。( ) 19．（本题1分）把21张选票投进4个投票箱里，至少有6张选票投进同一个投票箱。( ) 20．（本题1分）把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进4本书。( ) 21．（本题1分）把13个球放到4个盒子里面，总有一个盒子至少有4个球。( ) 22．（本题1分）我国的手机号码都是十一位数，在一个手机号码中至少有2个数字是相同的。( ) 四、计算题（共38分） 23．（本题8分）直接写出得数。 0.8×0.5＝         25×20%＝                3.14×＝ 4×0.25＝          0.03÷1.5＝                   16∶30＝ 24．（本题18分）下面各题，怎样简便就怎样算。 ×＋÷　　　　　（9.3×－7.3）÷　      　　－（2.8－）＋ ×8××12.5%  　    ×[－（－）]  　      （＋）×7×13 25．（本题12分）解比例。 35∶＝7∶2        1.25∶0.25＝∶1.6 ＝             ∶3＝∶12 五、解答题（共31分） 26．（本题5分）一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 27．（本题5分）“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 28．（本题5分）一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各12条，从中任意捞鱼。 （1）至少要捞出多少条，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少要捞出多少条，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 29．（本题5分）一副扑克牌（取出大、小王）共52张。 （1）一次至少要拿出几张牌，才能保证有2张牌是同花色的？ （2）一次至少要拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？ 30．（本题5分）在下面的每小格中填入“1”或“2”两个数字。 （1）每列有（    ）种不同的填法。 （2）无论怎么填，至少有几列的数字填法完全相同？为什么？ 31．（本题6分）一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块4种花色的牌各13张，那么： （1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？ （2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？ （3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？ （4）至少从中摸出多少张牌，才能保证有3张点数相同的？ 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．2 2；红、黄颜色的球各摸出了1个；1；2；3 【分析】（1）根据抽屉原理，只要摸出的球数比颜色种数多1，就能保证有2个球同色。 （2）盒子里有红球和黄球2种颜色的球，最不理想的情况是先摸出的2个球颜色不同（1个红球和1个黄球），此时只要再摸出1个球，无论是什么颜色，那种颜色就有2个，所以至少要摸出个球。 【详解】（1）只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有2个球同色。 （2）因为有2种颜色的球，最不理想的情况是摸出的2个球颜色不同，只要再摸出1个，无论是什么颜色，那种颜色就有2个，所以要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 2．5 【分析】先用男生人数加女生人数求出班级总人数，一年有12个月，再用总人数除以12个月，得到商和余数；用商加1，就是至少有多少人的生日在同一个月。 【详解】27＋24＝51（人） 51÷12＝4（人）……3（人） 4＋1＝5（人） 3．4 【分析】要保证至少有一个抽屉（盒子）有n个物品，物品总数＝抽屉数×（n－1）＋1，据此用球的总数减去1的差，再除以（n－1）即可解答。 【详解】（25－1）÷（7－1） ＝24÷6 ＝4（个） 4．11 【分析】要保证凑成两双颜色不相同的袜子，需要考虑最不利情况，先取出8只颜色相同的袜子（如：红色），剩下两种颜色的袜子再各取1只（黄色和白色），此时再任意取出1只袜子（黄色或白色）一定有两双颜色不相同的袜子。 【详解】8＋1＋1＋1＝11（只） 分析可知，至少拿出11只可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。 5． 7 黑 【分析】考虑最不利的情况，把数量多的同一种颜色的球全部摸完，再摸1个就一定是另一种颜色，据此解答第一空；哪种球的数量多，摸到的可能性就比较大，据此解答第二空。 【详解】6＋1＝7（个） 所以从中至少摸出7个球，才能保证两种颜色的球都有； 6＞4，所以从中任意摸出一个球，是黑球的可能性比较大。 6． 2 5 【分析】用十一位数的总位数11除以数字的种类数10，根据商和余数，用商加1得到至少相同数字的个数。 用学生总人数49除以属相的种类数12，根据商和余数，用商加1得到至少属相相同的学生人数。 【详解】11÷10＝1……1 1＋1＝2（个） 一个十一位数，至少有2个数位上的数字相同。 49÷12＝4……1 4＋1＝5（名） 六（1）班49名学生中，至少有5名学生的属相相同。 7．4 【分析】总共有3种颜色的球，假设前面取的3个球颜色都不相同，那么再取1个球，不管这个球是哪种颜色，都会和前面3个球中的一个球颜色相同，这样就有2个同色球。 【详解】3＋1＝4（个） 所以，至少摸出4个球才能保证摸到2个同色球。 8．9 【分析】（1）抽屉原理最不利原则：考虑最坏情况，即每个号码都取了2块（未满足3块同号码的最大可能）。 （2） 计算最坏情况的总块数：4个号码2块8块。 （3）再取1块必满足条件：块。 【详解】根据分析可得： 一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。一次至少要取出（9）块木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意考虑最不利情况。 9．17 【分析】抽屉原理最不利原则：考虑最坏情况，即每种花色都抽了4张（未满足5张同花色的最大可能）。 （2）计算最坏情况的总张数：4种花色4张16张。 （3）再抽1张必满足条件：张。 【详解】根据分析可得： 将一副扑克牌去掉大小王后还有52张，从中随意抽牌，最少要抽出（17）张牌，方能保证其中至少有5张牌是相同的花色。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意考虑最差情况。 10． 3 9 【分析】要保证取出的保温瓶中至少有1个合格品，需考虑最坏情况：先取出所有的次品。已知次品有2个，此时再取1个，必定是合格品。因此，所需数量为次品数量加1；  要保证取出的保温瓶中至少有1个次品，需考虑最坏情况：先取出所有的合格品。合格品数量为总数量减去次品数量，此时再取1个，必定是次品。因此，所需数量为合格品数量加1。据此解答。 【详解】（个） （个） 10个保温瓶中有2个次品，其余是合格品。要保证取出的保温瓶中至少有1个是合格品，则至少应取出3个；要保证取出的保温瓶中至少有1个是次品，则至少应取出9个。 11． 4 3 【分析】从最不利的情况考虑：语文、数学课本各3本，最不利的情况是：前3本都拿的是语文课本，接着只能拿数学课本，所以至少拿出4本，才能保证一定有1本数学课本； 从最不利的情况考虑：第一次拿的是语文课本，第二次拿的是数学课本，第三次，无论拿语文课本，还是数学课本，都保证有2本科目相同的课本。 【详解】（本） （本） 书架上放有六年级下册语文、数学课本各3本。至少拿出4本，才能保证一定有1本数学课本；至少拿出3本，才能保证有2本科目相同的课本。 12． 13 【分析】找出所有差为5的两个数，分成以下6组： 第一组：2和7； 第二组：3、8、13（8－3＝5、13－8＝5）； 第三组：9、14、19（14－9＝5、19－14＝5）； 第四组：15、20、25（20－15＝5、25－20＝5）； 第五组：21、26、31（26－21＝5、31－26＝5）； 第六组：27、32（32－27＝5）； 剩下的1和33没有与之构成差为5的数，单独存在。 构建最不利的情况：从每个差为5的组中选取一个数，使得剩下的数中任意两个都不会差为5。例如，第一组选7，第二组选8，第三组选14，第四组选20，第五组选26，第六组选27，此时剩下的数为1、2、3、9、13、15、19、21、25、31、32、33共12个数，其中没有两个数的差为5。在最不利的情况下，取完所有不冲突的12个数后，再取任意一个数都必然属于上述6组中的某一组，从而与组内已存在的数构成差为5的两个数。所以，最少要取出的数量为：12＋1＝13（个） 【详解】根据分析可知： 从18个自然数1，2，3，7，8，9，13，14，15，19，20，21，25，26，27，31，32，33中，至少取出13个，才能确保其中必定存在两个数，差等于5。 【点睛】本题关键在于先罗列出所有差为5的情况，再考虑最不利的情况。 13．C 【分析】年龄范围6岁到12岁，共有7种不同的整数年龄。为了保证一定有两名学生年龄相同，需要考虑最不利的情况，即每种年龄各选出一名学生，在此基础上再增加一名学生，就能满足条件。 【详解】12－6＋1 ＝6＋1 ＝7（种） 7＋1＝8（名） 14．B 【分析】把5个苹果分给4个小朋友，即将这4个小朋友当作4个抽屉，将这5个苹果放入这四个抽屉，利用抽屉原理最差情况：要使每个人分到的苹果最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。 【详解】5÷4＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 所以总有一个小朋友至少分得2个苹果。 15．A 【分析】将总环数看作物体总数，射击次数看作抽屉，用总环数除以射击次数，再加上1环，即可求出有一枪至少打中的环数。 【详解】52÷8＝6……4 6＋1＝7（环） 小亮有一枪至少打中了7环。 16．A 【分析】根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。 【详解】（21－1）÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 故答案为：A 17．B 【分析】鸽巢问题（抽屉问题）：如果把n个物体放进m个抽屉里，其中n＞m： （1）当n不能被m整除时，n÷m＝a……b（b＞0），那么必有一个抽屉至少有（a＋1）个物品。 （2）当n能被m整除时，n÷m＝a，那么总有一个抽屉至少有a个物品。 【详解】把14根香蕉平均放进4个盘子里，先用14÷4＝3（根）……2（根）， 即每个盘子先放3根，还剩2根；剩下的2根香蕉，无论放进哪个盘子里，都会至少让这个盘子再增加1根；所以总有一个盘子里至少有3＋1＝4（根）香蕉。 18．× 【分析】根据抽屉原理，当元素个数等于抽屉个数时，可能每个抽屉里只有 1 个元素，无法保证至少有 2 个元素在同一个抽屉里，据此解题。 【详解】4 月份是小月，共有 30 天。 把 30 天看作 30 个抽屉，30 名学生看作 30 个元素。 30÷30＝1（名） 商是 1，没有余数。 在最不利情况下，每天只有 1 名学生过生日，不能保证至少有 2 人生日在同一天。 原题说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】根据抽屉原理的计算方法，用物体数除以抽屉数，得到商和余数，至少数等于商加 1。通过计算验证题干中的结论是否成立。 【详解】21÷4＝5（张）⋯⋯1（张） 5＋1＝6（张） 所以至少有6张选票投进同一个投票箱。原题说法正确。 故答案为：√ 20．√ 【分析】将 10 本书看作物体数，3个抽屉看作抽屉数，从最不利情况考虑，每个抽屉先放3个，共需9本书，余1本书无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里有3＋1＝4本，据此解答。 【详解】10÷3＝3……1 3＋1＝4（本） 把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进4本书。 故答案为：√ 21． √ 【分析】鸽巢问题（抽屉原理）：用球数除以盒子数（球数＞盒子数），求出商和余数。若有余数，则至少有一个盒子里的球数等于商加1。 【详解】假设每个盒子里的球数尽可能平均。，商是 3，余数是 1，表示平均每个盒子放3个球后，还剩余1个球。无论将剩余的1个球放入哪一个盒子中，该盒子的球数将变为：（个），所以总有一个盒子至少有4个球。 故答案为：√ 22．√ 【分析】手机号码的位数相当于物体数，手机号码有11位，即物体数是11，可用数字的个数相当于抽屉数，可用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共 10 个，即抽屉数为10。根据抽屉原理的计算方法：物体数÷抽屉数＝商……余数，至少数＝商＋1。 【详解】11÷10＝1……1 1＋1＝2（个） 所以，在一个手机号码中至少有 2 个数字是相同的。 故答案为：√ 23．0.4；5；2.8；12.56； 1；0.02；； 【解析】略 24．；0.2；3　 1；；66 【分析】×＋÷，除法改乘法，用乘法分配律进行简算； （9.3×－7.3）÷，先算乘法，再算减法，最后算除法； －（2.8－）＋，先去括号，用结合律进行简算； ×8××12.5%，用乘法交换结合律进行简算； ×[－（－）]，先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，最后算乘法； （＋）×7×13，用乘法分配律进行简算。 【详解】×＋÷ ＝（＋）× ＝1× ＝ （9.3×－7.3）÷ ＝（7.75－7.3）× ＝0.45× ＝0.2 －（2.8－）＋ ＝（4.8－2.8）＋（＋） ＝2＋1 ＝3 ×8××12.5% ＝（×）×（8×0.125） ＝1×1 ＝1 ×[－（－）] ＝×（－） ＝× ＝ （＋）×7×13 ＝×7×13＋×7×13 ＝14＋52 ＝66 【点睛】本题考查了分数的简便计算及小数和分数、分数和百分数的简便计算，整数的运算定律同样适用。 25．x＝10；x＝8； x＝15；x＝3 【分析】在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，据此计算。 【详解】（1）35∶＝7∶2 解：7x＝35×2 7x＝70 x＝70÷7 x＝10 （2）1.25∶0.25＝∶1.6 解：0.25x＝1.25×1.6 0.25x＝2 x＝2÷0.25 x＝8 （3）＝ 解：3x＝5×9 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 （4）∶3＝∶12 解：3x＝12× 3x＝9 x＝9÷3 x＝3 26．7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【详解】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 27．49枝 【分析】根据题意，要保证至少有一个花瓶里有9枝鲜花，最不利的情况是6个花瓶里都插了8枝鲜花，此时再向任意一个花瓶里插入1枝花， 就可以保证无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花，据此解答。 【详解】（枝） 答：学校至少准备了49枝鲜花。 28．（1）9条 （2）25条 【分析】（1）保证有 3 条花色相同的金鱼，已知有 4 种花色，每种 12 条。 最不利情况：每种花色都先捞到 2 条，此时捞取的总数为条。 再捞 1 条，无论这条是什么花色，都会出现有 1 种花色达到 3 条。 因此至少捞出条； （2）保证有 3 种花色不同的金鱼，最不利情况：先把其中 2 种花色的金鱼全部捞完，此时捞取的总数为条。 再捞 1 条，这条必然是剩下 2 种花色中的一种，就会凑齐 3 种不同花色。 因此至少捞出条。 【详解】（1）（条） 答：至少要捞出9条，才能保证有3条花色相同的金鱼。 （2）（条） 答：至少要捞出25条，才能保证有3种花色不同的金鱼。 29．（1）5张； （2）40张 【分析】（1）由于有4种花色，所以至少要拿出（张）牌，才能保证有2张牌是同花色的； （2）由于每种花色有13张牌，所以至少要拿出（张）牌，才能保证4种花色的牌都有。据此解答。 【详解】（1）（张） 答：一次至少要拿出5张牌，才能保证有2张牌是同花色的。 （2）（张） 答：一次至少要拿出40张牌，才能保证4种花色的牌都有。 30．填表见详解 （1）8 （2）2列；理由见详解 【分析】将数字“1”或“2” 填入表格的每个小格中，写全所有可能的填法。 （1）数出每列有几种不同的填法。 （2）根据鸽巢问题的求法，把8种填法放入9列中，先平均每列放一种填法，还剩下1列，无论放哪一种填法，都会出现2列的数字填法完全相同。 【详解】填表如下： 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 （填法不唯一） （1）每列有8种不同的填法。 （2）9÷8＝1（列）……1（列） 1＋1＝2（列） 答：无论怎么填，至少有2列的数字填法完全相同。因为有8种不同的填法，表格共有9列，把8种不同的填法放入9列中，一定至少有2列的数字填法完全相同。 31．（1）42张；（2）44张；（3）19张；（4）29张 【分析】通过最不利原则计算，确保条件必然满足。 （1）考虑最坏情况：2张王牌，红心、草花和方块3种花色的牌各13张全部抽出，则此时再抽出一张，就一定是黑桃； （2）考虑最坏情况：2张王牌，黑桃、草花和方块3种花色的牌各13张全部抽出，则此时再抽出3张，就一定是保证至少有3张牌是红桃； （3）考虑最坏情况：4种花色的牌各抽出4张，还抽出2张王牌，此时再任意抽出1张，无论是哪种花色，都能保证有5张牌是同一花色的，据此即可解答问题； （4）考虑最坏情况：先摸出2张王牌，然后按照点数从A到K，每种点数各摸出2张（因为我们需要保证有3张点数相同，所以每种点数先摸2张）。已经摸出了2＋13×2＝2＋26＝28张牌，但还没有摸到3张点数相同的牌；因此，下一张无论摸到哪一张，都能保证有3张点数相同的牌；据此即可解答问题。 【详解】（1）13×3＋2＋1 ＝39＋3 ＝42（张） 答：至少从中摸出42张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃， （2）13×3＋2＋3 ＝39＋5 ＝44（张） 答：至少从中摸出44张牌，才能保证在摸出的牌中有3张红桃， （3）4×4＋2＋1 ＝16＋3 ＝19（张） 答：至少从中摸出19张牌，才能保证有5张牌是同一花色的， （4）2＋13×2＋1 ＝2＋26＋1 ＝29（张） 答：至少从中摸出29张牌，才能保证有3张点数相同的。 答案第2页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $