精品解析：山西省太原市杏花岭区 太原平民中学2025-2026学年下学期九年级数学学科学习辅助材料

九年级数学学科学习辅助材料 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 某市某日的气温是，则该日的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用最高温度减去最低温度即可求解． 【详解】∵ ∴温差为 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的减法，重点是熟记相关运算法则． 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、∵ ，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、 ，该选项运算正确，符合题意； 、 ，该选项运算错误，不符合题意． 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：榫的俯视图是： 故选：D． 5. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为亿立方米，人均占有淡水量居世界第位，因此我们要节约用水，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值和的值． 【详解】将亿用科学记数法表示为：， 故选：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题目． 6. 如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ） A. 众数是85分 B. 中位数是95分 C. 平均数是95分 D. 方差是19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、中位数、众数、方差、平均数等，读懂统计图，熟练掌握中位数、方差、众数、中位数的定义及求解方法是关键.根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断. 【详解】解：A．众数是90分，人数最多，故A选项错误； B．第5、6个数都是90，则中位数是分，故B选项错误； C．平均数是分，故C选项错误； D．方差是，故D选项正确， 故选：D． 8. 如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据草坪的长为，宽为，利用矩形的面积公式结合草坪的面积为总面积的，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设花卉带的宽度为， 矩形地面的长为，宽为，且四周花卉带宽度相同， ∴中间草坪的长为，宽为， ∴草坪的面积为， 草坪的面积为总面积的，总面积为， 可列方程为：． 9. 已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据图形逐一判定即可求解，掌握垂线的画法及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：①由作图可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图②，连接，由作图可知，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，同理①可证，故②正确； ③由作图可知，为圆的直径， ∴， 即，同理①可证，故③故②正确； 综上，作法正确的是①②③， 故选：． 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求面积为四分之一圆的面积减去四分之一正十二边形的面积，四分之一正十二边形由3个顶角为、腰长为半径的等腰三角形组成，利用含角的直角三角形性质求出三角形的高，进而求出面积； 【详解】解：设圆半径为，则， 四分之一圆的圆心角为，  四分之一圆的面积， 正十二边形的中心角为，  图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为，，， 过点作于点， 在中，，，  ， ， 四分之一正十二边形的面积， 剩余面积 ． 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，属于基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 13. 在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，理解物体高度和影长的关系是关键． 利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比，代入计算即可． 【详解】解：设熊猫雕塑的高度是米， ∵同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， ∴（米） 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 15. 如图，已知正方形，点G为的中点，连接交对角线于点E，延长，在延长线上取点F，使，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，证明，求出，，证明，得出，，根据余角的性质得出，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，，，， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】（1） 解： ； （2） 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】（1）按照乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂的运算法则分别计算每一项，再合并计算即可得到结果； （2）先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，求出m，再根据平移的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图， ， ， 菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上． ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵菱形， ， 又 ∵， ，即， 设菱形向右平移个单位长度，此时， ∵E在反比例函数的图象上． ∴， 解得． ∵， ∴平移后的坐标为． 18. 近年来，根据最新公开资料，初中学生肥胖占比在全国范围内呈现上升趋势，具体数据因地区和统计口径略有差异，中小学生总体超重肥胖率为，其中初中阶段是高发学段之一； 国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：m）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 某校为了解初中生的健康情况，随机抽取了一部分学生的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图，在扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数为______； （2）基于上述统计结果，学校提议加强体育锻炼，制定健身计划，九年级学生小张身高，值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，请你通过计算说明他的体重至少需要减掉多少？（结果精确到） （3）学校从中抽取了2名正常程度和2名偏胖程度共4名学生，计划在4名学生中随机抽取两名学生进行综合体能检测，请你通过计算判断正好抽取两名正常程度学生的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正常类别的人数和占比求出抽取的学生人数，即可求得偏胖人数，即可补全条形统计图； （2）分别计算出小张的实际体重值与正常体重的最大值，两者的差即是至少需要减掉的体重； （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（人）， 则偏胖人数为：（人）， 补全条形统计图略 扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数． 【小问2详解】 解：小张实际体重为：， 小张正常体重的最大值为：， 则他的体重至少需要减掉：． 【小问3详解】 解：令2名正常程度的学生为A、B，2名偏胖程度的学生为C、D， 列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知，共有12种情况，其中正好抽取两名正常程度学生有2种情况， 故正好抽取两名正常程度学生的概率． 19. 王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 （1）用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】（1） （2） 燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【解析】 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【小问1详解】 解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 20. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 21. 阅读与思考 尺规作图之截长补短法 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，解决更多的数学问题．截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 【问题解决】：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 解：延长到点使，连接， 在和中， ， ， ， （______）， 即…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： （1）任务一：写出上述证明过程中空缺处的依据是______． （2）任务二：请结合图1补全上述证明过程； （3）任务三：如图2，在四边形ABCD中，，，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】（1）三角形三边关系 （2） 解：（三角形三边关系）， 即， ； （3） 证明：延长到，使如下图所示， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据已知数据补全证明过程即可； （3）延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系可知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； （1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； （2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； （3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【答案】（1） （2）该同学初次投篮时不能命中篮筐 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得顶点的坐标； （2）根据点和顶点的坐标，用顶点式表示出函数解析式，把点的坐标代入可得二次项系数的值，即可得出抛物线解析式，把代入（1）中得到的函数解析式，求得的值，看是否在和之间即可判断能否命中篮筐； （3）判断出平移后的解析式，把代入后求得合适的的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，篮球最大高度为米， 顶点C的水平坐标为米， 因此顶点坐标为； 【小问2详解】 解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ． 当时，， ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐； 【小问3详解】 解：新的抛物线解析式为：， 根据题意得抛物线过点， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 23. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动．探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究．如图1，在中，，，分别取的中点，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （4）延伸思考：如图4，在中，，，分别取的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 猜想，证明如下： ∵点和点为分别为的中点， ∴由图1可知，， ， 即， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ∴． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理结合，求出，根据点和点分别为的中点，得出，即可求解； （2）根据中点的定义得出，进而得出，再求出，通过证明，即可得出结论； （3）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（2）可得，即可求解； （4）令相交于点，过点作于点，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵点和点分别为的中点， ∴， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图1可知点和点为分别为中点， ， ， ， ∴如图3，当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（2）可得：， ， 解得：； 【小问4详解】 解：令相交于点，过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ， ， ∵边经过的中点，， ， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科学习辅助材料 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 某市某日的气温是，则该日的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D.   5. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为亿立方米，人均占有淡水量居世界第位，因此我们要节约用水，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ） A. 众数是85分 B. 中位数是95分 C. 平均数是95分 D. 方差是19 8. 如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________． 12. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为_______． 13. 在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 14. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 15. 如图，已知正方形，点G为的中点，连接交对角线于点E，延长，在延长线上取点F，使，若，则的长为______． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 17. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 18. 近年来，根据最新公开资料，初中学生肥胖占比在全国范围内呈现上升趋势，具体数据因地区和统计口径略有差异，中小学生总体超重肥胖率为，其中初中阶段是高发学段之一； 国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：m）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 某校为了解初中生的健康情况，随机抽取了一部分学生的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图，在扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数为______； （2）基于上述统计结果，学校提议加强体育锻炼，制定健身计划，九年级学生小张身高，值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，请你通过计算说明他的体重至少需要减掉多少？（结果精确到） （3）学校从中抽取了2名正常程度和2名偏胖程度共4名学生，计划在4名学生中随机抽取两名学生进行综合体能检测，请你通过计算判断正好抽取两名正常程度学生的概率． 19. 王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 （1）用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 20. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 21. 阅读与思考 尺规作图之截长补短法 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，解决更多的数学问题．截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 【问题解决】：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 解：延长到点使，连接， 在和中， ， ， ， （______）， 即…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： （1）任务一：写出上述证明过程中空缺处的依据是______． （2）任务二：请结合图1补全上述证明过程； （3）任务三：如图2，在四边形ABCD中，，，分别是边上的两点，且，求证． 22. 综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； （1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； （2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； （3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 23. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动．探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究．如图1，在中，，，分别取的中点，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （4）延伸思考：如图4，在中，，，分别取的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $