专项05 二次函数的综合问题8大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项05 二次函数的综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 二次函数综合题近6年考查4次，稳定出现在解答题第23-25题压轴位置，分值9-12分。题型聚焦三大类型：线段最值、面积最值与等积变换、特殊图形存在性问题（平行四边形、等腰三角形等）。含参讨论与分类讨论思想贯穿始终。 ## 命题趋势 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，二次函数综合题呈现三大趋势： 一是压轴地位稳固，分值权重提升。2026年二次函数综合题仍为第23-25题压轴位置，随着解答题总分由55分提升至61分的结构调整，该题分值预计保持9-12分，强调代数推理与几何直观的深度融合。 二是题型模式成熟，三大类型持续深化。命题围绕核心类型展开：①线段最值问题（含将军饮马模型、线段差最值）；②面积最值与等积变换（含平行四边形对角线平分面积）；③特殊图形存在性问题（平行四边形、矩形、菱形、等腰三角形）。含参讨论与分类讨论仍是解题核心。 三是情境创新增强，可能引入新定义题型。可能融入拱桥、隧道、抛体运动等实际背景，或引入“新定义”题型考查知识迁移能力，体现“用数学解决实际问题”的素养导向。 ## 2026年预测 预计2026年二次函数压轴题仍为第23-25题，分值9-12分。核心考题类型：①含参二次函数的最值讨论与交点问题；②与几何图形结合的特殊图形存在性问题（平行四边形、等腰三角形）；③抛物线与几何图形的面积综合。建议强化“设参求点”、分类讨论及几何模型识别训练。 题型01 二次函数的图象和性质综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东·一模）已知抛物线过点，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，过点P作轴，点Q的横坐标为． ①当线段与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作轴交抛物线于点N，点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段的长随t的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）先根据对称轴公式求得b的值，再代入点A的坐标求得c的值，即可解答； （2）①分或两种情况讨论，当线段与抛物线有两个交点时，点P和点Q分别在对称轴的两侧，且的长度大于等于点P到对称轴距离的2倍，列出不等式组，解不等式组即可； ②根据题意，易得点Q和点N的纵坐标，从而表示出的长度，根据二次函数的性质结合图象讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，轴，点Q的横坐标为， ∴当时，点Q在点P的左侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 当时，点Q在点P的右侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 综上所述，当线段与抛物线有两个交点时，或； ②∵点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t， ∴， ∵轴，点Q的横坐标为，轴交抛物线于点N， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴， 令，解得或0，且对称轴为直线， 如图所示，的图象， 又∵点P在y轴左侧的抛物线上运动， ∴， ∴当或时，y随t的增大而减小， 即当或时，线段的长随t的增大而减小． 研考点·通技法 1. 确定开口、对称轴、顶点 将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，开口方向由a决定（a>0向上，a<0向下）。对称轴x=h，顶点(h,k)。对称轴位置结合a,b符号判断（左同右异）。 2. 利用增减性与最值 开口向上时，在对称轴左侧随x增大而减小，右侧增大。最值在顶点处取得，注意自变量取值范围需比较顶点与端点值。 3. 图象平移与交点 平移遵循“左加右减，上加下减”直接变h,k。求与坐标轴交点：令x=0得y轴交点，令y=0解一元二次方程求x轴交点。结合判别式判断交点个数。 破类题·提能力 1．（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【详解】（1）解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． （2）解：描点，连线如图： （3）解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 2．（2026·广东深圳·二模）综合与探究 关于二次函数，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【特例研究】当时，二次函数为______，并在图中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当时，二次函数为，其图像如图所示； 当时，二次函数为，其图像如图所示； (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数的条特征． (3)【深入探究】对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为，求的值； (4)将在间的图像记为，若图像与直线有个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2)①二次函数恒过点，；②二次函数的对称轴为直线 (3) (4)且 【分析】（1）先确定，再根据列表、描点、连线的步骤在直角坐标系中画出图像即可； （2）结合图像回答即可； （3）根据二次函数图像与性质确定值的最大值与最小值，再列出方程求解即可； （4）分两种情况：当时；当时，结合图像、函数图像上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， 列表如下： 在如图所示的直角坐标系中描点并连线，其图像如图所示， （2）解：观察图像可得如下条特征： ①二次函数恒过点，； ②二次函数的对称轴为直线； （3）解：∵，， 又∵二次函数的对称轴为直线； ∴当时，最大值， 当时，最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； （4）解：如图， 当时， 当时，，即， 将代入，解得， 当时，，即， 将代入，解得， 当图像与直线只有个交点时，则 ，整理得， ∴， 解得：， ∴当且时，图像与直线有个交点； 当时，结合图像知：图像与直线只有1个交点，为， 综上所述，若图像与直线有个交点，的取值范围是且． 题型02 二次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·广东珠海·一模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)该小朋友有危险，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的顶点为可以设解析式为，再将点代入求解即可； （2）根据题意将代入解析式求解即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为：， 将出手点代入解析式： 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：该小朋友有危险，理由如下： 由题意得，将代入抛物线解析式， 得 （米）， ∵小朋友身高为米， ∴， ∴该小朋友有危险． 研考点·通技法 1. 建模求解析式 根据题意设函数形式（如销售利润y = (售价-进价)×销量、喷泉轨迹、桥梁抛物线），利用待定系数法或顶点式 y=a(x-h)2+k求解。注意明确自变量实际意义（如时间、数量）。 2. 最值在顶点处 实际问题中最大值或最小值多在顶点x=-处取得。先判断该点是否在自变量取值范围内：若在，顶点纵坐标即最值；若不在，则考虑区间端点值。 3. 检验解的合理性 确保符合实际情境（如人数为整数、高度非负）。令y=0求落地点时舍去负数解；判断点是否在抛物线上直接代入验证。涉及“利润最大”还需考虑单价取值范围。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2)圆弧 所在圆的半径为 (3)锅盖能正常盖上 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径； （3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上． 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； （3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 2．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 【答案】(1)， (2)喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为： (3)6； 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是掌握并能灵活应用知识解决问题． （1）代入，求得的高度，利用二次函数顶点坐标公式求出的最大值即可； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，对称轴关于y轴对称，据此求出左侧抛物线的解析式； （3）①先求出新的过点的抛物线解析式，再求出它与轴正半轴的交点，结合整数要求确定水池半径； ②设过点的直线解析式为，射灯照射出的光线穿过三段水流，两个临界状态分别是直线过G点和直线与新抛物线相切时，求出临界状态时相应的正切值，进而得到正切值的范围． 【详解】（1）解：当时，； ， 故答案为：，； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：， ∴设轴左侧的抛物线的解析式为：， ∵两条抛物线关于轴对称， ∴两条抛物线对称轴关于y轴对称， ∴， ， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； （3）根据题意，， 右侧原抛物线， ∵新抛物线与原抛物线形状大小相同， ∴设新抛物线为， ∵过点，且顶点纵坐标为， ∴ 解得：，（舍掉，与原抛物线重合）， 则， 故新抛物线解析式为： ， 令，得 解得：（舍）， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为6米； ②设过点的直线解析式为， 射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态， 设切点为，作轴，轴， 当直线过G点时，在中，， 当直线与新抛物线相切时， ， 即， ∵直线与新抛物线相切， ∴， （舍）， 此时抛物线与直线切点为， ∴此时，在中，， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是． 题型03 二次函数中的线段最值问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，，绕着点逆时针旋转，交抛物线于点，连接，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】1）把和代入，可得，，即可得二次函数的解析式； （2）令，可得，可得，即可得的形状； （3）作，使得，连接，，则，证明，可得，，，共线时，的值最小，作于点，，设，则，可得，可得，，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】（1）解：把和代入， 可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由： ∵，， ∴，， ∴， 令， 解得，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：作，使得，连接，，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线时，的值最小， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 研考点·通技法 1. 竖直线段：坐标差表示 设抛物线上点P(x, ax2+bx+c)，直线上的点Q(x, kx+m)，则竖直线段PQ = |(ax2+bx+c) - (kx+m)|。若点在上方，直接作差后化为关于x的二次函数，求顶点最值。 2. 斜线段：转化为竖直线段 利用“水平宽×铅垂高”求面积最值时，斜线段常通过相似三角形转化为竖直线段比例。或直接用两点间距离公式，但通常平方后处理为二次函数。 3. 动点范围定最值 根据自变量x的取值范围（如线段在x1≤ x≤ x2上），先求顶点横坐标是否在区间内：若在，顶点处取最值；若不在，在端点处取最值。注意线段有长度，需检验点是否重合。 破类题·提能力 1．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 2．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案； （2）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论； （3）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴． ∴， ∵，点A的横坐标为3， ∴， ∴，， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）证明：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， 又直线与直线关于直线对称， ∴． 根据（1）可知：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则的面积为定值． （3）解：由（1）得，，，， ∵直线与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点Q的坐标为， ∴点Q是直线上一点． 把代入得：， 解得：， ∴在直线， 把代入得：，设与y轴交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接，，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴，当共线时取最大值， 此时，∵直线， ∴点在直线上，且， ∴根据中点坐标可知：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得， ∴点Q的坐标为． 题型04 二次函数中面积最值问题 析典例·建模型 1．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 研考点·通技法 1. 铅垂法求三角形面积 过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，面积S =×水平宽×铅垂高。铅垂高用动点纵坐标减去直线纵坐标表示，得到关于横坐标的二次函数，求顶点最值。 2. 割补法转化不规则图形 将四边形或多边形分割成几个三角形和梯形，分别用坐标表示面积后求和，得到关于动点坐标的二次函数表达式。 3. 利用平行线处理最大面积 求面积最大的动点位置时，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积最大。联立直线与抛物线，令判别式为零求得切点坐标。注意最小值常为0（点重合时），且需验证所得点是否在限定范围内。 破类题·提能力 1．（2025·广东广州·一模）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)试用关于的代数式表示； (2)用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？ (3)若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式． 【答案】(1) (2)；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）把代入二次函数解析式解答即可求解； （）利用（）求出二次函数解析式，进而求出点的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象可得出随着的变化值的变化情况； （）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，利用待定系数法求出直线与直线的解析式，进而求出点的坐标，再根据解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入二次函数解析式得，， ； （2）∵， ∴二次函数解析式为， 当时，， 的坐标为， 当时，， 解得，， ∵点在点左侧， 的坐标为，的坐标为， ∴， ， 画函数图象如下： 当时，随着增大而减少； 当时，随着增大而增大； 当时，随着增大而减少； 当时，随着增大而增大； （3）解：直线的解析式为或，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数解析式为， 令，则， ∴，， 把代入，得， 解得，， ， 设，，由题意知，且均不为， 设直线的解析式为， 由， 解得， ∴直线的解析式为，（记为①式） 直线过点， ， ∴， 同理设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为，（记为②式） 同理得直线的解析式为，（记为③式） 由②③式联立得， 解得， ， ∵， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， 当时，， 整理得， ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， 直线的解析式为； 当时，， 整理得， 又， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， 直线的解析式为； 综上所述，当时，直线的解析式为或． 2．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 题型05 二次函数中特殊图形存在性问题 析典例·建模型 1．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 研考点·通技法 1. 分类讨论边或角 等腰三角形分“两腰相等”三种情况（AB=AC、BA=BC、CA=CB），直角三角形分“直角顶点”三种情况。用两点间距离公式或勾股定理列方程，注意平方后化简。 2. 平行四边形用中点坐标 已知三个顶点求第四个，按哪条线段为对角线分三类，利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程组。若已知两个顶点，则按AB为边或对角线分类讨论平移。 3. 相似三角形找对应边 按顶点对应关系分类，将相似转化为比例式=列方程。活用已知特殊角（如30°、45°）构造直角三角形，解出点后检验是否在抛物线上且不重合。注意菱形需邻边相等，矩形需邻边垂直。 破类题·提能力 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 2．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 题型06 二次函数与几何图形综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；最小值为． 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （）先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 研考点·通技法 1. 设点坐标表示几何量 设动点坐标（如P(t, at2+bt+c)），利用两点间距离公式、中点坐标公式、斜率公式等表示线段长、面积、角度。常作坐标轴垂线构造直角三角形。 2. 转化条件列方程 将几何关系（如等腰、直角、相似、平行四边形）转化为代数方程。例如等腰三角形用距离相等列式，平行四边形用对角线互相平分（中点重合）列方程组。 3. 数形结合定范围 根据图形位置（如点在抛物线上、在线段上）确定自变量取值范围。联立解析式求交点，利用判别式判断存在性。最后检验解是否满足几何约束（如三点不共线、点在线段内侧），注意多解需取舍。 破类题·提能力 1．（2026·广东珠海·一模）如图1，在中，，．点是边上任意一点（不与，重合），连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，． (1)当时，判断四边形的形状，并证明． (2)点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由． (3)将图1中的绕点旋转到如图2所示位置，得到，使得点，点，点在同一直线上，点为的中点，与交于点，其他条件不变．求的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数求得，则，证明且平分，利用直角三角形的性质以及斜边中线的性质推出，即可证明结论； （2）设，推出，，表示，利用二次函数的性质即可求解； （3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，证明是等边三角形，推出，再根据三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）答：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴且平分， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）答：当时，的面积最大，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，最大，此时， ∴当时，的面积最大； （3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接， 则， ∴， 由题意得：， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴． 2．（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3)的值为或 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或． 题型07 二次函数图象平移变换综合问题 析典例·建模型 1．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 【答案】（1）见解析；（2）和，直线；（3）的值为或；（4）且；（5）或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． （1）当时，，画出图象即可； （2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （4）由题意可知，，从而，进而可得且； （5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，图象如图所示： （2），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （3）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （4）由题意可知，， ， ， ，从而， 即， 故答案为：且， （5）当时， ①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得； ②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得， 当时， 当时，；当时，， 因为， 则， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． 研考点·通技法 1. 顶点平移法 将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，平移后顶点 \((h,k)\) 按“左加右减、上加下减”移动，直接写出新解析式，避免展开计算。 2. 点坐标对应变换 若已知平移前后抛物线上的对应点，可求出平移向量(m,n)，再将原顶点按相同向量平移，代入顶点式得新解析式。 3. 与几何图形结合 平移后若与某线段或抛物线有交点，转化为方程有解（判别式≥0）或区间端点值异号。注意平移方向不明确时需分类讨论，并验证平移后顶点是否在限定区域内。 破类题·提能力 1．（2025·广东深圳·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． (1)求抛物线的解析式； (2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 【答案】(1)； (2)①，81；②． 【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而得到，即可求出矩形的面积； ②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积． 本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】（1）将点，代入， ， 解得， ； （2）①， 顶点C的坐标为； 抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点， 联立，解得：或（舍）， ， 分别过点、作轴、轴的平行线相交于点， 当时，，则， ， ， 点D与点C关于直线对称， ， ， ∴，， 矩形的面积； ②如图，作直线分别交于点、，令直线与的交点为，则， 由①可知，， ， 由题意可知，， 则， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 边与心形图的左、右边缘各相切于一点， 即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求， ， 矩形的面积为． 故答案为：． 2．（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 【答案】(1) (2)，4 (3)①或；②或 (4)或 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）联立抛物线和抛物线即可求出；当时，，求出，，即可求出的长度； （3）①首先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论，分别根据平移的性质求出点F的横坐标，然后代入解析式求解即可； ②首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，然后设出点G和点H的坐标，根据纵坐标相等列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论：当直线与抛物线只有一个交点和当直线经过抛物线与抛物线的交点时，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为：； （2）联立抛物线和抛物线得， 解得 将代入 ∴； ∵抛物线 ∴当时， 解得， ∴， ∴； （3）①∵抛物线 ∴对称轴为直线 ∴当点A平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； ∴当点B平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； 综上所述，点F的坐标为或； ②根据题意得，， ∴ 当点D平移到抛物线上的点G时，则点B平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 当点B平移到抛物线上的点G时，则点D平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （4）如图所示，当直线与抛物线只有一个交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴联立直线与抛物线得 ，即 根据题意得， ∴； 如图所示，当直线经过抛物线与抛物线的交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴将代入得， 解得 综上所述，的值为或． 题型08 二次函数中的新定义型综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 研考点·通技法 1. 解读定义，翻译条件 圈出新定义中的关键词（如“关联点”“k倍函数”），将其转化为数学表达式（如坐标满足的方程、函数系数的关系）。代入特例理解，明确限制条件（如“异于原点”）。 2. 联立方程，分类讨论 按定义将二次函数与其它函数联立，利用判别式、根与系数关系或不等式组求解参数。注意定义中隐含的分类（如“x轴上方”需分开口方向讨论）。 3. 数形结合，验证多解 画出大致图像，验证解是否符合定义中的几何条件（如“始终在下方”即无交点且大小恒定）。多解时结合定义域取舍，答案常用含参数的式子表示。 破类题·提能力 1．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2)反比例函数不一定是“不动点函数”，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握“不动点函数”的定义是解此题的关键． （1）①根据“不动点函数”的定义，令，则，求解即可；②根据“不动点函数”的定义写出符合题意的函数即可； （2）若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到，再分两种情况：当时；当时，分别分析即可得出结果； （3）求出二次函数的顶点坐标为，结合题意可得，若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程，整理可得，求出，从而可得方程有两个不相等的实数解，即可得证． 【详解】（1）解：①令，则， 解得：， ∴该函数图象上的不动点坐标是； ②若一次函数不是“不动点函数”，满足条件的一次函数为； （2）解：反比例函数不一定是“不动点函数”，理由如下： 若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到， 当时，方程无实数解，此时反比例函数不是“不动点函数”； 当时，方程的解为，此时反比例函数是“不动点函数”； 综上所述，反比例函数不一定是“不动点函数”； （3）证明：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 整理可得：， 若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 整理可得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解，即二次函数的图象上有两个不同的不动点． 2．（2025·广东深圳·三模）定义：已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“级函数”点为点关于的“级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数为函数的“级函数” 求的值； 若点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时，请直接写出自变量的取值范围______； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)，或 【分析】本题主要考查了新定义以及二次函数的性质，正确理解新定义是本题解题的关键． （1）写出的解析式，代入值，求得点坐标即可； （2）①根据“级函数”的定义，列出方程，根据常数项求出值，再根据一次项系数求出值即可；设点坐标，求出点坐标，根据点在点上方，求出的取值范围即可； （3）写出的解析式，根据点坐标求出，再根据当时，二次函数的最大值和最小值的差为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点为点关于的“级点”， ∴， 将代入上式，得， ∴； （2）解：①∵函数为函数的“级函数”， ∴， ∴， ，； 故； 由知，， 设，则， 当点在点上方， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）解：∵函数为函数的“级函数”， ∴， 在上， ∴， ， ∴， 上述抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：， 当时，即时，， 解得：， 当时，即时，此时函数最大值为：， 最小值为， 令， 解得：， 当时，，不符合题意，当时，，，不符合题意； 综上所述，或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段． (1)求该抛物线的解析式； (2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 当时，， ， ∵， ， 过和， 则， 解得： 抛物线的解析式为： （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键． 2．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 3．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点的坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 5．（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点 ②不存在这样的，理由见解析 【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解； （2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象解答即可； ②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵ ∴的顶点是 ∴的顶点是 （2）作交于点Q，如图所示 设     依题可知 则     解得        ∴ 设，则 ∴ 记边上的高为，则，记边上的高为，则 ∴ 可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得 ∴最大值为 （3）①当或时有2个交点   当时有4个交点 当时有3个交点   ②令，即 解得 同理令，即     解得 若，即 即，即     ∴ 由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有     ∴不存在这样的使得 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． 6．（2024·广东东莞·三模）阅读理解 【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”． 新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则． 【感知理解】 （1）抛物线的“友好抛物线”为____________________； （2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________； 【综合应用】 （3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长． 【答案】（1） （2），， （3） 【分析】（1）根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可． （2）将抛物线与化为顶点式，根据它们互为“友好抛物线”求解； （3）求出抛物线的顶点为的坐标为，根据“友好抛物线”可得．抛物线，利用待定系数法可得直线的解析式为．根据新知识得直线的解析式为．由，可得，．利用两点的距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由已知抛物线与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状相同，开口方向相反． 抛物线的顶点坐标为， 它的“友好抛物线”的顶点坐标为， ， 故答案为：； （2）抛物线，， 抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，， 抛物线与互为“友好抛物线”． ，，， ，，． 故答案为：，，． （3）抛物线的顶点为，， ． 抛物线的顶点为，的“友好抛物线” 的顶点为， ． 抛物线， ．． 直线的解析式为． 若四边形为菱形，则． 直线的解析式为． 由，可得，． ，． ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项05二次函数的综合问题 。。。。。●。。●●。●●●e。。●●●。●。0。●e●●9●●●●●●●●●●●●●●●●●e●●●●●●e●●●。●●。。。。。0。●e●●●00。e999 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 二次函数综合题近6年考查4次，稳定出现在解答题第23-25题压轴位置，分值9-12分。题型聚焦三大 类型：线段最值、面积最值与等积变换、特殊图形存在性问题（平行四边形、等腰三角形等）。含参讨 论与分类讨论思想贯穿始终。 烘命题趋势 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，二次函数综合题呈现三大趋势： 一是压轴地位稳固，分值权重提升。2026年二次函数综合题仍为第23-25题压轴位置，随着解答题总分 由55分提升至61分的结构调整，该题分值预计保持9-12分，强调代数推理与几何直观的深度融合。 二是题型模式成熟，三大类型持续深化。命题围绕核心类型展开：①线段最值问题（含将军饮马模型、 线段差最值)；②面积最值与等积变换（含平行四边形对角线平分面积）；③特殊图形存在性问题（平 行四边形、矩形、菱形、等腰三角形)。含参讨论与分类讨论仍是解题核心。 三是情境创新增强，可能引入新定义题型。可能融入拱桥、隧道、抛体运动等实际背景，或引入“新定 义”题型考查知识迁移能力，体现“用数学解决实际问题”的素养导向。 拼2026年预测 预计2026年二次函数压轴题仍为第23-25题，分值9-12分。核心考题类型：①含参二次函数的最值讨 论与交点问题；②与几何图形结合的特殊图形存在性问题（平行四边形、等腰三角形）；③抛物线与几 何图形的面积综合。建议强化“设参求点”、分类讨论及几何模型识别训练。 PART 02 解题建模•通技法 1/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 >题型01二次函数的图象和性质综合问题<〈 析典侧：建模型 1.(2026广东一模)已知抛物线y=x2+bx+c过点A1,0),且对称轴是直线x=2. (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t,过点P作PQx轴，点Q的横坐标为-2t. ①当线段PQ与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作QN⊥x轴交抛物线于点N,点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段QN的长随t的 增大而减小，直接写出t的取值范围. 研考点通技法 !1.确定开口、对称轴、顶点 将解析式化为顶点式y=a(c-h)P+k,开口方向由a决定(a>0向上，a<0向下)。对称轴x=h,顶点h,k). !对称轴位置结合a,b符号判断（左同右异)。 !2.利用增减性与最值 开口向上时，在对称轴左侧随x增大而减小，右侧增大。最值在顶点处取得，注意自变量取值范围需比！ 」较顶点与端点值。 !3.图象平移与交点 平移遵循“左加右减，上加下减”直接变，k。求与坐标轴交点：令x0得y轴交点，令y=0解一元二 !次方程求x轴交点。结合判别式判断交点个数。 破送题提能力 1.(2026广东茂名一模)在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学 特性.该轮廓线对应的函数关系为y=x2-2x-3(单位：米)，其中y表示距桥面基准线的垂直高度.小 组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： -2 -1 y=x2-2x-3 12 5 2/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=x2-2x-3 12 5 (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线y=x2-2x-3的图象； (3)根据图象完成以下问题： (i)数学小组探究发现直线y=5与函数y=x2-2x-3的图象交于点E、F,E(-2,5),F(4,5),则不等式 x2-2x-3>5的解集是 ； (i)设函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧)，与y轴交于点C. ①求直线BC的解析式： ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y=x2-2x-3的图象恰好有3个交点，求此时m的 值. 14 09876 4 3 -4-3-21@1234.5678衣 -1 h=x2-2x-3 12 5 0 y=x2-2x-3 12 5 0 2.(2026广东深圳二模)综合与探究 关于二次函数y=ax2-2ax-3aa≠0)，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究. 3/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 3 4 3 456 3 6内-432-10123456 -2 -3引 -4 -5 -9 6 (图1) (图2) (1)【特例研究】当a=1时，二次函数为y=，并在图1中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当a=2时，二次函数为y2=2x2-4x-6,其图像如图1所示； 当a=弓时，二次函数为⅓=+x+子，其图像如图1所示， 3 2 (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)的2条特征. (3)【深入探究】对于二次函数y=ax2-2ax-3aa≠0)，当a<0,-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差 为6，求a的值； (4将y=ax2-2ax-3aa≠0)在-2≤x≤2间的图像记为G,若图像G与直线y=x+1有2个交点，请求出a的 取值范围。 -1 2 0 -3 4 3 0 >题型02二次函数的实际应用问题<《 析典侧：建模里 1.(2026广东珠海一模)掷实心球是某市中考体育考试选考项目.小强为了解自己实心球的训练情况， 他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球 4/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 从y轴上的点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6)，落在 x轴上的点C处. B 3.6m 2m 4m C (1)求抛物线的解析式： (2)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否 有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险)，请说明理由. 考点？通技法 !1.建模求解析式 根据题意设函数形式（如销售利润y=(售价-进价)×销量、喷泉轨迹、桥梁抛物线)，利用待定系数法 或顶点式y=ax-)2+k求解。注意明确自变量实际意义（如时间、数量）。 !2.最值在顶点处 实际问题中最大值或最小值多在顶点x=一卫处取得。先判断该点是否在自变量取值范围内：若在，顶点！ 纵坐标即最值；若不在，则考虑区间端点值。 3.检验解的合理性 确保符合实际情境（如人数为整数、高度非负)。令y=0求落地点时舍去负数解；判断点是否在抛物线 上直接代入验证。涉及“利润最大”还需考虑单价取值范围。 破送题提能力 1. （2026广东东莞一模)某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截 面抛物线组合而成的封闭图形 C 实物图 C 5/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为x轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系.把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为C，C,· 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm,锅深为16cm,锅盖高为8cm. 【建立模型】 (1)请求出抛物线C,的解析式； (2)求出圆弧G所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为24cm,高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说 明理由， 2.(2025·广东深圳二模)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处的喷头向 外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系.水流喷出的高度 7 y(m与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0). ym x/m (1)柱子OA的高度是 米，喷泉最高点距离地面 米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点2.5米处安装一个高度为0.5米的石柱（柱子的宽度忽 略不计，可以看作一条直线)，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点 处相同强度的水流(G点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同)； ①求此时水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（水池的半径要求整数）： ②若要在O点装射灯（射灯照射出来的光线为一条直线），要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉 的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围 x/m 6/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型03二次函数中的线段最值问题<《 析典侧建模型 1.(2026广东东莞一模)如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B(8,0)两点，与y轴交 4 于点C(0,-4),连接CA、CB. 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)判断ABC的形状，并说明理由； (3)如图2，点D在y轴正半轴上，OD=OB,BD绕着点B逆时针旋转90°，交抛物线于点Q,连接DQ, 点E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，且QE=DF,求BE+QF的最小值. 研考点通技法 1.竖直线段：坐标差表示 设抛物线上点Px,ax2+bx+c),直线上的点Qc,x+m),则竖直线段P2=(ax2+bx+c)-(x+ml。若点在 !上方，直接作差后化为关于x的二次函数，求顶点最值。 !2.斜线段：转化为竖直线段 利用“水平宽×铅垂高”求面积最值时，斜线段常通过相似三角形转化为竖直线段比例。或直接用两点 间距离公式，但通常平方后处理为二次函数。 「3.动点范围定最值 根据自变量x的取值范围（如线段在x≤x≤2上），先求顶点横坐标是否在区间内：若在，顶点处取最 !值；若不在，在端点处取最值。注意线段有长度，需检验点是否重合。 破送题提能力 1,(2026广东中山一模)如图，抛物线y=+x+3与x轴交于4，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C 7/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 3 (1)如图1，一次函数y=二x+6的图象与坐标轴分别交于点M,N.点P是抛物线上的一个动点，过点P作 4 直线MN的垂线段，垂足为Q,求PQ的最小值； (2)如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB垂足为点F,交BC于点E,连接CD,是否存 在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理 由； (3)如图3，在(2)的条件下，连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段0G,连接AG, 求线段AG的最小值。 2.(2026广东江门一模)如图1，直线4B:y=mx-nn>0)与反比例函数y=《的图象在第一、三象限交 1 于点A,B,与x轴、y轴分别交于点C,D,过点A作AE⊥x轴于点E,点F为x轴上一点，直线AB与直 线AF关于直线AE对称. 图1 图2 (1)若m=1,AC:CD=2:1,点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作FG⊥x轴交AB于点G,过点A作AP⊥FG于点P,连接DP.若k为定值，求证： △ADP的面积为定值； (3)在(1)的条件下，设抛物线y=ax2-2a2x+a3-a+1(a≠0)的顶点为点Q,在平面直角坐标系中存在点 Q,使FQ-DQ最大，请直接写出点Q的坐标. >题型04二次函数中面积最值问题<《了 8/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一析典侧建摸興 1.(2026广东广州：一模)已知抛物线y=(a>0,点F0, 纵坐标为2的点M在抛物线上，且 MF=3,过点F作直线AB交抛物线于点A(x,),Bx2,》2. (1)求该抛物线的函数表达式， (2)已知点PO,2),直线AP,BP分别交抛物线于C,D两点. ①求证：直线CD过定点； ②求△PAB与△PCD面积和的最小值. 研考点通技法 !1.铅垂法求三角形面积 过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，面积S=1×水平宽×铅垂高。铅垂高用动点纵坐标减去直线纵 」坐标表示，得到关于横坐标的二次函数，求顶点最值。 12.割补法转化不规则图形 将四边形或多边形分割成几个三角形和梯形，分别用坐标表示面积后求和，得到关于动点坐标的二次函 数表达式。 13.利用平行线处理最大面积 求面积最大的动点位置时，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积最大。联立直线与抛 物线，令判别式为零求得切点坐标。注意最小值常为0（点重合时），且需验证所得点是否在限定范围内。 破类题提能力 1.（2025广东广州一模)已知二次函数y=-x2+(2a+4)x+b（Q、b为常数)·该函数图象经过点 2,-a2+4,与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. (1)试用关于a的代数式表示b: (2)用关于a的代数式表示ABC的面积S,并描述随着a的变化，S的值如何变化？ (3)若二次函数图象对称轴为直线x=1,过点C平行于x轴的直线交抛物线于点D(不同于点C),交对称 轴于点M,过点M的直线I(直线l不过C,D两点)与二次函数图象交于E,F两点，直线CE与直线 DF相交于点P.若S△coP=3S△cpp,请求出满足条件的直线l的解析式。 2.(2025·广东广州二模)如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴 9/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交于点C,一次函数y=mx+n经过点、B、C.点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作 直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,连接CP. D B (1)求二次函数和一次函数的解析式： (2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接BP,连接AP交BC于点M,记△ABM面积为S,△PBM面积为S,,在点P运动的过程中，判断 冬是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由. >题型05二次函数中特殊图形存在性问题<《 析典侧：建摸里 1.(2026广东广州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-1,0),B(3,0,C0,3). B (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线沿y轴向下平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点.求 m的值； (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 考点通技法 10/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 厂一-一-一 ，1.分类讨论边或角 等腰三角形分“两腰相等”三种情况(AB=AC、BA=BC、CA=CB)，直角三角形分“直角顶点”三种 情况。用两点间距离公式或勾股定理列方程，注意平方后化简。 2.平行四边形用中点坐标 己知三个顶点求第四个，按哪条线段为对角线分三类，利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程组。 若己知两个顶点，则按AB为边或对角线分类讨论平移。 3.相似三角形找对应边 按顶点对应关系分类，将相似转化为比例式AB=AC列方程。活用已知特殊角（如30°、45°）构造直 D泥 角三角形，解出点后检验是否在抛物线上且不重合。注意菱形需邻边相等，矩形需邻边垂直。 破类题提能力 1.(2025·广东广州模拟预测)如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A-2,0)和点B(6,0),与y轴交 于点C(0,6),点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E. D B 备用图 (1)求抛物线的解析式及点D的坐标： (2)连接BD,若点F是y轴上的动点，直线BF与抛物线交于点G,当∠FBA=∠BDE时，求点G的坐标： (3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内， 以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请求出点Q的坐标， 2.（2025广东深圳二模)如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于点A-1,0),B(3,0),与y轴 交于点C(0,3). 11/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点. ①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D,设△PCD的面积为S,,△ACD面积为S2,若 S-1 S,2,求点P坐标 ②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点E作EF1BC于点F,点Q是对称轴上的一个动点，是否 存在以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标.若不存在，请说 明理由。 >题型06二次函数与几何图形综合问题<〈 析典例.建模型 1.(2026广东广州一模)如图1，在ABC中，AB=AC=4V3,∠B=30°，D为线段BC上一点. D D 图1 图2 (I)尺规作图，作点C关于AD的对称点E,连接DE,AE,并证明△ACD≌△AED; (2)如图2，当D由C点运动到B点过程中， ①若线段DE与线段AB交于点F,当EF·FD取最大值时，求AF的值； ②在DE上取一点G,使得∠GAD=∠E,连接AG,GC,AG+GC是否存在最小值，如存在请求出，若 不存在请说明理由。 研考点：通技法 12/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.设点坐标表示几何量 设动点坐标（如P化，at2+bt+e),利用两点间距离公式、中点坐标公式、斜率公式等表示线段长、面积y ,角度。常作坐标轴垂线构造直角三角形。 2.转化条件列方程 将几何关系（如等腰、直角、相似、平行四边形）转化为代数方程。例如等腰三角形用距离相等列式， 平行四边形用对角线互相平分（中点重合）列方程组。 3. 数形结合定范围 根据图形位置（如点在抛物线上、在线段上)确定自变量取值范围。联立解析式求交点，利用判别式判 断存在性。最后检验解是否满足几何约束（如三点不共线、点在线段内侧），注意多解需取舍。 破类题提能力 1.(2026广东珠海一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=V3.点D是BC边上任意一 点（不与B,C重合），连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接CE,点F为AD中点，连接CF,EF G 图1 图2 (I)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明. (2)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由， (3)将图1中的BDE绕点B旋转到如图2所示位置，得到△BDE',使得点A,点E,点D'在同一直线上， 点F为AD的中点，AD'与BC交于点G,其他条件不变.求∠AF'C的度数 2.(2026广东深圳一模)【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=n(m),宽AB=1m的矩形水池ABCD进行 加长改造（如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩 形水池EFGH(如图2，以下简称水池2)· 【建立模型】 如果设水池1的边AD加长长度DM为x(m)(x>0),加长后水池1的总面积为y(m2),设水池2 的边EF的长为x（m)(0<x<6),面积为(m2)· 13/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 水池 -----1N 图1 小池2 G 01 图2 图3 【问题解决】 (1)当AD=4m时，则片关于x的函数关系式为 ，关于x的函数关系式为 (2)在(1)的条件下，函数片、片在同一平面直角坐标系中的图象如图3，片与y2相交于C、E两点，在 1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值： (3)当水池1与水池2的面积相差2时，x(m)有唯一值，求的值. >题型07二次函数图像平移变换综合问题<《 析典侧：建模梨 1.(2025广东佛山三模)已知二次函数y=mx2-2mx+3m≠0). 【特例分析】 (1)当m=-2,-1,2时，其图象对应为图中的片，，⅓，请在图中画出当m=1时的函数图象： 【性质探究】 (2)观察图象，发现二次函数y=mx2-2mx+3恒过定点，对称轴为 【性质运用】 (3)将函数y=mx2-2mx+3图象向下平移4m个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； (4)设点Mm,a,N(2,b)在该二次函数的图象上，且a<b,实数m的取值范围为： 线段PQ与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为； 14/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3-210 45670 研考点通技法 。一=一。■▣ 1.顶点平移法 将解析式化为顶点式y=c-)+k,平移后顶点(h,)按“左加右减、上加下减”移动，直接写出新 !解析式，避免展开计算。 12. 点坐标对应变换 若己知平移前后抛物线上的对应点，可求出平移向量(m,),再将原顶点按相同向量平移，代入顶点式得！ !新解析式。 ·3.与几何图形结合 平移后若与某线段或抛物线有交点，转化为方程有解（判别式之0）或区间端点值异号。注意平移方向不！ 明确时需分类讨论，并验证平移后顶点是否在限定区域内。 破类题.提能力 1.(2025·广东深圳三模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点(-1,3)，且与一次 函数y=x的图象交于点A和点B(3,3). 15/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 （-1,3) B(3,3) B 图1 图2 D 图3 图4 (1)求抛物线的解析式： (2)某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B 两点)，如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积. ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMWK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点 C(填坐标)，边NK与心形图右边缘相切于点D,点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计 算出矩形AMNK的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A,边EF与心形图的左边缘相切，边 GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为_· 2.(2025·广东深圳·三模)平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变， 仅改变位置 我们先以抛物线C:y=x2为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线C:y=x2先向右平移1个单位，再向 下平移4个单位得到抛物线C2,抛物线C,与x轴交于A,B两点，其对称轴与x轴交于点D. 16/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D IB 图1 图2 (1)抛物线C,的表达式为： (2)如图1，抛物线C:y=x2与抛物线C,的交点C的坐标为：C(,),抛物线C,与x轴交于A,B两点， 线段AB= (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段AB平移，线段的一个端点落在抛物线C,的对称轴上记作点E,另一个端点落在抛物线C,上 记作点F,则点F坐标为：F(,) ②如果把线段DB平移，线段一个端点落在抛物线C上记作点G,另一个端点落在抛物线C,上记作点H, 则点H的横坐标为： (4)对于直线：y=x,通过对其上下平移可得直线l:y=x+b,如果直线恰好与抛物线C,C,共有三个 交点，则b的值为： >题型08二次函数中的新定义型综合问题< 析典侧：建摸买 1.(2026广东江门一模)代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减 半点”，则称该函数为“减半函数” (①函数y=2x+5是“减半函数吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由： (②求函数y=18图像上的减半点， (3)若抛物线G:y=mx2+(m+1x+二m图像上存在唯一的减半点”. A 17/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求抛物线G的解析式； ②将抛物线G向上平移3个单位长度，得到新抛物线H,作直线x=1交抛物线H于点A,作直线x=21+1交 16 抛物线H于点B,连接AB,若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值. 研考点通技法 1. 解读定义，翻译条件 圈出新定义中的关键词（如“关联点”“k倍函数”），将其转化为数学表达式（如坐标满足的方程、 1函数系数的关系)。代入特例理解，明确限制条件（如“异于原点”）。 12.联立方程，分类讨论 按定义将二次函数与其它函数联立，利用判别式、根与系数关系或不等式组求解参数。注意定义中隐含 [的分类（如“x轴上方”需分开口方向讨论)。 3.数形结合，验证多解 画出大致图像，验证解是否符合定义中的几何条件（如“始终在下方”即无交点且大小恒定）。多解时 结合定义域取舍，答案常用含参数的式子表示。 破送题提能力 1.（2026广东佛山一模)【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应的函数值 y=m,那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x 中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数 学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究. 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数y=-3x+2是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是 ②若一次函数y=kx+b(k≠0)不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2反比例函数y=《(k≠0)一定是“不动点函数吗？请说明理由. 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数y=x2+bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数y=x2+bx+c的图象上 有两个不同的不动点. 18/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025广东深圳三模)定义：己知片是自变量x的函数，当y2=y,+1(k为常数，k≠0)时，称函 数为函数片的“k级函数”.点Am,n)和点B(m,n+1)分别在函数片和的图象上，此时称点B为点A关 于的“k级点”. 例如：函数y=x,当k=2时，y2=2y+1=2x+1,则函数是函数片的“2级函数”点B(m,2m+1为点 Am,m关于y的“2级点”. A(1,b) 备用图 (①)如图，点A1,b)在反比例函数片=2的图象上，当点B为点A关于片的“2级点”时，求点B的坐标； (2)函数y2=ax-14为函数y=-x+5的“k级函数 ①求a的值； ②若点A在函数乃的图象上，点B为点A关于y的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的 取值范围 ; (3)函数y为函数y,=-x2+2x+c的“-3级函数”，点C在函数片的图象上，点D(2,-8)为点C关于y的“-3级 点”，当t-1≤x≤1时，若二次函数乃的最大值和最小值的差为3，请直接写出c和t的值. ☑PART 03 实战刷题·冲高分 (建议用时：45分钟) 刷模拟 1.(2025广东惠州一模)如图，已知直线y+1与)轴交于点4，与轴交于点D,抛物线 19/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=二x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段0A=OB. 2 D OB (1)求该抛物线的解析式： (2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M,使AM-CM的值最大，求点M的坐标. 2.(2026广东深圳一模)综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销 售，并对销售过程中的数学问题进行了研究. 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y(元)是销售单价x (元/个)的二次函数(8<x<32),部分相关数据如表所示： 销售单价x(元/个) 14 15 16 17 销售额y(元) 504 510 512 510 亚 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y(元)与 销售单价x（元/个)之间的关系式： 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为9（个），求销售数量9（个）与销售单价x(元/个)之间的关系式， 并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； 20/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 3.(2026广东汕头·一模)2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢 运动轨迹可以近似看作一条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且 与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线x=3对称. B 图① 图② (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标 (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求出 点Q的坐标，若不存在，请说明理由， (3)如图②，在平面内有一点P,使得∠APB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+EP的最小信 4.(2026广东深圳模拟预测)综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究. 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点0处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点0的水平距离为 6m时达到最高点，最大高度为18m. 信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m. 信息3：若消防员将水枪喷水口从点0处向右移动至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水 流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处 (以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状) 【问题解决】 21/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/m本 高楼 y/m 高楼 D E i 可B地面x/m o 地面m 图1 图2 图3 (1)求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式： (2)求信息3中移动距离t的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如 3,无人机出水口点E位于)轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为y三。？+h,下沿抛物线的表 为，=-：x+h(6为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高 度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即CD两端恰好分别位于水流上沿、 下沿抛物线上且CD=4.9m)？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由 5.(2025·广东·一模)如图所示，抛物线G:y=x2-2x-3交x轴于A4,B两点，将G在x轴下方部分翻折 得到抛物线G,将抛物线G与G,整体视作曲线W,以下设问均不考虑抛物线G在x轴下方的部分. 【知识技能】 (1)直接写出抛物线G,的解析式； 【数学理解】 (2)记曲线W交y轴于点C,连接BC,点P为在BC上方且在曲线W上的一个动点，连接PC,PB,求 △PBC面积的最大值； 【拓展探究】 22/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设平面内存在动直线y=nn≥0) ①讨论并直接写出动直线y=n与曲线W的交点个数； ②若动直线y=n与曲线W有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为x,x2:x,x4,问是否存在 这样的动直线，使满足xx3=x2x4？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6.(2024广东东莞·三模)阅读理解 【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好 抛物线”. 新知识：对于直线y=kx+b,(k≠0)和y2=k,x+bk≠0)，若k·k2=-1,则直线y与互相垂直；若直 线y与互相垂直，则k·k2=-1. 【感知理解】 (1)抛物线y,=-2(x+2)2-3的“友好抛物线”为y2= (2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y2=mx2+nx+q(m≠0)互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为 ,b与n的数量关系为 ,c与g的数量关系为 【综合应用】 (3)如图，抛物线L:y,=x2-4x+3的顶点为E,4的“友好抛物线”马的顶点为F,过点O的直线4与抛物 线交于点A,B(点A在B的左侧)，与抛物线马交于点C,D(点C在D的左侧).若四边形AFDE为 菱形，求AB的长 23/23